Számrendszerek, átváltások [informatika]

Számrendszerek, átváltások

- A bináris számrendszer szerepe a számítástechnikában

- A számrendszer alapszáma

- A hexadecimális számrendszer

- Átváltások (6 db)

- Gyak.: Átváltások!

Számrendszerek

Alapok

Egy számrendszer alapszáma a számrenszerben a legnagyobb alaki értéknél eggyel nagyobb természetes számot jelenti (pl.:tizes számrendszerben a legnagyobb alaki érték 9).Azt, hogy egy szám milyen számrendszerben értendő, az utána alsó indexben megadott alapszám mutatja meg (pl.:1010110₂). Az alapszám megjelölésének elhagyása esetén az érték tizes számrendszerben értendő.

Azokban a számrendszerekben, melyeknek alapszáma nagyobb tíznél, a számjegyekkel már le nem írható értékeknek az ábécé betűit feleltetjük meg. pl.:tizenhatos számrendszer:

Alaki érték	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Jel	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Azoknak a számjegyeknek illetve szimbólumoknak az összességét, melyeket egy adott számrendszerbeli szám felírásánál használhatunk, a számrendszer jelkészletének nevezzük.

(1.1)

alakban megadott szám értéke, ahol a_n…a₀ a az egész, a_-1…a_-m a tört helyiértékeken álló alaki értékeket jelenti, a következőképpen számítható:

p a számrendszer alapszáma (pl.: tizes számrendszerben 10)

m a tört helyiértékek száma

n+1 az egész helyiértékek száma

Példa:123.45=5·10^-2+4·10^-1+3·10⁰+2·10¹+1·10²

Konverziók

Az 1.1-es képlet alapján bármilyen számrendszerben megadott számot átalakíthatunk tizes számrendszerbelivé.

Példa:

I. 10110.101₂=1·2^-3+0·2^-2+1·2^-1+0·2⁰+1·2¹+1·2²+0·2³+1·2⁴=22.375

II. 3AB.2D=13·16^-2+2·16^-1+11·16⁰+10·16¹+3·16²≈939.176

A fordított irányú konverzióhoz át kell alakítanunk a képletet:

Mivel törtrész törtrész, az egészrész egészrész marad átváltás után is, ezért a konverziójukat külön tárgyaljuk.

1.1.1. Egészrész konverziója

Ha a kifejezést maradékosan osztjuk p-vel (a számrendszer alapjával), a maradék a₀, azaz a legkisebb helyiértékű számjegy, az eredmény pedig a zárójelen belüli kifejezés () lesz. Ezt ismét osztjuk p-vel, ekkor a maradékul a₁-et kapunk.Következő lépésben megint p-vel osztunk, és ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg az eredmény nulla lesz. Ekkor a maradék a legnagyobb helyiértékű számot adja meg.

1.1.2. A törtész konverziója

Az eljárás hasonló az előbbihez, de itt szorzást kell végeznünk. Első lépésben a törtrészt ( ) megszorozzuk p-vel. Az így kapott eredményben ( ) és , tehát az első számjegyet (a_-m) a kapott érték egészrésze adja. Ezt levágjuk, majd a megmaradt rész újabb beszorzása után az eredmény egészrésze a következő számjegyet adja meg. Elképzelhető, hogy az eljárás nem ér véget véges számú lépésben, ekkor a kívánt pontosságig számolunk.

Példák:

1. 213.31=?₂

I. 213:2=106 maradék 1→ a tizedespont előtti számjegy 1

II. 106:2=53 maradék 0

III. 53:2=26 maradék 1

IV. 26:2=13 maradék 0

V. 13:2=6 maradék 1

VI. 6:2=3 maradék 0

VII. 3:2=1 maradék 1

VIII. 1:2=0 maradék 1

A szám egészrésze:11010101₂

I. 0.31·2=0.62 → a tizedespont utáni első számjegy 0

II. 0.62·2=1.24 → 1

III. 0.24·2=0.48 → 0

IV. 0.48·2=0.96 → 0

V. 0.96·2=1.92 → 1

Ha megelégszünk ekkora pontossággal, itt abbahagyhatjuk az eljárást.

213.38=11010101.01001₂

Az átváltás rövidebben így írható:

213	:2
106	1
53	0
26	1
13	0
6	1
3	0
1	1
0	1

0.31	·2
0.62	0
0.24	1
0.48	0
0.96	0
0.92	1

2. 12438.964=?₁₆

12438	:16
777	6
48	9
3	0
0	3

0.964	·16
0.424	15→F
0.784	6
0.544	12→C

12438.964=3096.F6C₁₆

Kérdések

3. Mi a bináris számrendszer alapszáma? 2

4. Mi a hexadecimális számrendszer alapszáma? 16

5. Mi a decimális számrendszer alapszáma? 10

6. Váltsuk át a következő decimális számot bináris számrendszerbe:123 ! 1111011

7. Váltsuk át a következő decimális számot bináris számrendszerbe:12 ! 1100

8. Váltsuk át a következő decimális számot bináris számrendszerbe:13 ! 1101

9. Váltsuk át a következő decimális számot bináris számrendszerbe:23 !10111

10. Váltsuk át a következő decimális számot hexadecimális számrendszerbe:123 ! 7B

Értékelési táblázat

Témakör	Kulcsszavak, fogalmak	Pont
Alapok	Alapszám, jelkészlet	2
Konverziók	Egészrész, törtrész konverziója	4
Konverziók gyakorlat		2