Adatsokaságok jellemzői, a valószínűség-számítás elemei [emeltmatek]

A matematikai statisztika elemei

Adathalmazok vizsgálata

a) adatgyűjtés
(reprezentatív mintán: az a kis százalék, akit kérdeznek, hasonlít az egészre)

b) rendszerezés különböző szempontok alapján (pl.: gyakorisági táblázat)

c) ábrázolás

1) oszlopdiagram

2) kördiagram

3) vonaldiagram

Statisztikai közepek

módusz: az adathalmaz legnagyobb gyakoriságú eleme (ha több, egyforma gyakoriságú ilyen elem van, akkor ezek a móduszok halmazát alkotják)

medián: a nem csökkenő sorrendbe rendezett adatok közül:

- ha páratlan számú elem van, a középső

- ha páros számú elem van, a középső kettő számtani közepe

aritmetikai (számtani) közép: az adatok összegének és az elemek számának hányadosa

alsó kvartilis: a mediánnál kisebb adatok mediánja

felső kvartilis: a mediánnál nagyobb adatok mediánja

Szóródásmértékek

a) terjedelem: Az adathalmaz legnagyobb és legkisebb elemének különbsége.

b) átlagos abszolút eltérés: Egy statisztikai középtől vett eltérések számtani közepe.

c) átlagos négyzetes eltérés: Egy statisztikai középtől vett eltérések négyzeteinek átlaga.

d) szórásnégyzet: Az mintaközéptől való eltérések négyzetösszegének átlaga.

e) szórás: A sokaság szórásnégyzetének (varianciájának) négyzetgyöke.

Tételek:

Az átlagos abszolút eltérés a medián választása esetén lesz minimális.

Az átlagos négyzetes eltérés a számtani közép választása esetén lesz minimális.

A valószínűség-számítás elemei

Események

Véletlen jelenség: olyan jelenség, amelyeket az ismert feltételek nem határoznak meg egyértelműen.
Példa: Ha egy pénzérmét feldobunk, nem tudjuk előre, melyik oldalára esik.

Kísérlet: egy véletlen jelenség megfigyelése. A kísérletet akárhányszor ugyanolyan körülmények között végrehajthatjuk.

A kísérlet kimenetele: a kísérlet minden eredményéhez kell tartozzon egy egyértelműen meghatározható kimenetel.
Példa: az érmével fejet dobunk, vagy írást.

Elemi eseménynek nevezzük a véletlen jelenségre vonatkozó kísérlet kimenetelét a kísérlet minden kimeneteléhez tartozik egy-egy elemi esemény.

Eseménytérnek nevezzük az elemi események halmazát. Jele: H.

Esemény: az eseménytér részhalmazai. Egy esemény bekövetkezik, ha a kísérlet kimenetele az eseménynek megfelelő részhalmazba tartozó elemi esemény.

Biztos esemény: a H halmazhoz tartozó esemény, amely mindenképpen bekövetkezik. Jele: H.

Lehetetlen esemény: az üres halmazhoz tartozó esemény, amely semmiképpen sem következhet be.

Műveletek eseményekkel

Két esemény egyenlő, ha a kísérlet bármely kimenetele esetén vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem.

Az A esemény komplementere az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor A nem következik be. Jele: .

Bármely esemény komplementerének komplementere az eredeti esemény: .

A biztos esemény komplementere a lehetetlen esemény.

A lehetetlen esemény komplementere a biztos esemény.

Tetszőleges A és B események összege az az esemény, amelyik pontzosan akkor következik be, amikor A vagy B bekövetkezik. Jele: .

Tétel: Minden esemény előáll elemi események összegeként.

Tetszőleges A és B események szorzata az az esemény, amelyik pontzosan akkor következik be, amikor A és B bekövetkezik. Jele: .

Tetszőleges A és B események egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz Ø.

Azonosságok az eseményekkel kapcsolatos műveletekre, melyek a halmazokra ismert azonosságok következtében igazak:

Kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség

Ha n kísérletből az A esemény k-szor következik be, akkor k-t az A esemény gyakoriságának, -t pedig az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük.

A relatív gyakoriság nem lehet negatív, mivel és , ezért .

A biztos esemény relatív gyakorisága 1, mert a biztos esemény minden kísérletnél bekövetkezik, így k=n.

Egymást kizáró események összegének relatív gyakorisága a tagok relatív gyakoriságának összege.

Adott A esemény valószínűségének azt a számot tekintjük, ami körül a relatív gyakoriság ingadozik. (Minél több kísérletet végzünk, az ingdozás általában annál kisebb.)
Az A esemény valószínűségének jele: .

A valószínűséget nem definiáljuk, hanem axiómákkal (Kolmogorov) határozzuk meg, melyek a relatív gyakoriság tulajdonságai alpján a tapasztalatnak megfelelően adódnak.

I. axióma: Ha A tetszőleges esemény, akkor .

II. axióma:

III. axióma: Ha A és B tetszőleges események, melyekre , akkor .

A valószínűség klasszikus modellje

A valószínűség klasszikus modellje akkor alkalmazható, ha egy kísérletnek véges sok kimenetele van, és ezek valószínűsége egyenlő.

Esemény valószínűsége .

A fenti képlet a valószínűség axiómáiból levezethető, hiszen n darab P valószínűségű elemi esemény esetén alapján, mivel az elemi események egymást páronként kizárják, és H az elemi események összege, a III. axióma miatt , így . Ha egy A esemény k darab egymást kizáró elemi esemény összege, akkor a II. axióma miatt .

A gyakorlatban a klasszikus modell feltételei sokszor nem teljesülnek, ezt mindig statisztikai vizsgálatokkal kell ellenőrizni.

Geometriai valószínűség

Ha egy kísérlettel kapcsolatos események egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetők meg úgy, hogy az események valószínűsége az eseményhez rendelt részhalmaz geometriai mértékével arányos, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.
Ekkor az A esemény valószínűsége:

Alkalmazások:

Matematikai:

A kombinatorika a valószínűség-számítás kombinatorikus modelljénél használatos.

Matematikán kívüli:

Statisztikai vizsgálatok

Közvélemény-kutatás

Biztosítótársaságoknál a valószínűség-számítás segítségével számítják ki, hogy mekkora biztosítási díjat kérjenek az ügyfelektől.

Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben [emeltmatek]

Nevezetes ponthalmazok a síkban:

Szakaszfelező merőleges: a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.

Szögfelező: két adott, metsző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.

Középpárhuzamos: két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon

Két, egy adott egyenessel párhuzamos egyenes: az adott egyenestől egyenlő távolságokra lévő pontok halmaza a síkban.

A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai:

Háromszög köré írható köre: az a kör, amely tartalmazza az adott háromszög mindhárom csúcsát (középpontja az oldalfelezők metszéspontja).

Háromszög beírható köre: a háromszög belsejében található kör, mely mindhárom oldalt belülről érinti (középpontja a szögfelezők metszéspontja).

Magasságvonal, magasságegyenes: a háromszögnek egy csúcsából a szemközti oldalegyenesére bocsátott szakaszt (egyenest) a háromszög magasságának (magasságvonalának) nevezzük.

Oldalfelező merőleges: azt az egyenest, amely egy szakasz felezőpontján halad át, és amely merőleges a szakaszra, a szakasz (oldal) felezőmerőlegesének nevezzük. (A szakasz felezőmerőlegese a szakasz két végpontjától egyenlő távol lévő pontok halmaza a síkon.)

Nevezetes ponthalmazok a térben:

Gömbfelület: egy adott O ponttól megadott r távolságban lévő pontok halmaza a térben.

Gömbtest: egy adott O ponttól r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza a térben.

Végtelen felületű hengerpalást: egy adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben.

Szakaszfelező merőleges sík: azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak

Szögfelező sík: azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek két metszősíktól egyenlő távolságban vannak.

Kocka: olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő hosszú.

Hasáb: olyan test, amelyet két egybevágó és párhuzamos sokszög, és annyi paralelogramma határol, ahány oldala van a sokszögnek.

Gúla: olyan test, amelyet egy sokszöglap, és annyi egy csúcsban összefutó háromszöglap határol, ahány oldala van a sokszögnek.

Kúp: olyan test, amelyet egy zárt vezérgörbéjű kúpfelület és egy – e kúpfelület minden alkotóját átmetsző – sík határol.

Tételek:

A háromszög oldalfelezői egy pontban metszik egymást.

A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás

Húzzuk meg az ABC háromszög A és B csúcsából induló szögfelezőit.

Ezek biztosan metszik egymás a háromszög belsejében, mert az A-nál és B-nél lévő szögek összege kevesebb, mint 180°.

Metszéspontjukat jelöljük M-mel!

M illeszkedik az A csúcsból induló szögfelezőre, ezért M ugyanakkora távolságra van a b oldaltól, mint a c oldaltól.

M illeszkedik az B csúcsból induló szögfelezőre, ezért M ugyanakkora távolságra van az a oldaltól, mint a c oldaltól.

Tehát az M pont ugyanakkora távolságra van az a és a b oldalaktól.

Azok a pontok, amelyek egyenlő távolságra vannak az a és a b oldalaktól, rajta vannak a C csúcsból induló szögfelezőn.

Igazoltuk, hogy a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást.

A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög beírt körének középpontja.

Bizonyítás

Előző tételünkből tudjuk, hogy M ugyanakkora távolságra van mindhárom oldaltól, ezért az M pont mint középpont köré szerkeszthető olyan kör, amely a háromszög mindhárom oldalát érinti.

A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.

Bizonyítás

A mellékelt ABC háromszögben az A csúcsnál lévő α szög felezője a szemközti oldalt a D csúcsban metszi.

A bizonyítandó állítás:

Hosszabbítsuk meg az AB=c oldal egyenesét A csúcson túl.

Forgassuk le erre az AC=b oldalt az A pont körül. Így kapjuk a C' pontot.

Kössük össze a kapott C' pontot a háromszög C csúcsával. Vizsgáljuk meg az AC'C háromszöget!

AZ AC'C háromszög egyenlőszárú, hiszen AC'=AC, ezért . Mivel külső szöge az ABC háromszögnek, ezért , így .

Mivel és C'A és AB egy egyenesbe esik, ezért CC’ párhuzamos AD-vel.

A párhuzamos szelők tétele szerint .

Mivel C'A=AC, így az arány .

Ezt kellett bizonyítani.

Alkalmazások:

Matematikai:

geometriában

Matematikán kívüli:

parabola antenna

naperőműveknél: parabola alakú tükör

reflektorok

fizikában: a Földről fellőtt rakéták, űrhajók pályája:

A rakéta pályája lehet olyan ellipszis, melynek a fellövési helytől számított távolabbi fókuszpontja a Föld középpontja.

A műhold pályája lehet kör.

Az űrhajó pályája lehet olyan ellipszis, melynek a fellövési helytől számított közelebbi fókuszpontja a Föld középpontja.

A rakéta pályája lehet olyan hiperbola, amelynek egyik fókuszpontja a Föld középpontja.

Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), halmazok számossága [emeltmatek]

Definíciók:

1. Természetes számok (N):

A pozitív egész számokat és a 0-t együtt természetes számoknak nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve. (A zártság annyit jelent, hogy ezek a műveletek a számhalmaz elemeivel korlátlanul elvégezhetők, és az eredmény is természetes szám marad.)

Kivonásokat is végezhetünk a természetes számok körében, pl.: 13-5=8. Ha azonban azt akarjuk, hogy ez a művelet korlátlanul elvégezhető legyen, tehát kisebb számból is ki tudjunk vonni nagyobbat, akkor bővítenünk kell a számhalmazt. Ezért bevezettük a negatív egész számokat. A negatív egész számok halmazának a jele: Z^-

2. Egész számok (Z):

A természetes számokat és a negatív egészeket együtt egész számoknak nevezzük.

Ez a halmaz már zárt az összeadásra, szorzásra és a kivonásra nézve is. Az egész számok halmazán az osztás nem mindig végezhető el. Pl.: az 5:3 művelet eredménye kivezet a halmazból. Ahhoz, hogy az ilyen osztás is elvégezhető legyen, bővítenünk kell a számhalmazt. Ezért vezetjük be a törtszámokat.

A törteket és az egészeket együtt racionális számoknak nevezzük.

3. Racionális számok (Q):

A két egész szám hányadosaként felírható számokat racionális számoknak nevezzük.

Racionális számok a véges- vagy a végtelen szakaszos tizedestörtek.

Ezzel még nem ért véget a számfogalom bővítése. Például az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza nem adható meg két egész szám hányadosaként.

4. Irracionális számok (Q*):

Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük.

Irracionális számok a végtelen nem szakaszos tizedestörtek.

5. Valós számok (R):

A racionális és az irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük.

R=QQ*

Bizonyítható, hogy a valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.

Az a, b és c valós számok összeadására és szorzására érvényesek a következő tulajdonságok:

Kommutativitás:
a+b=b+a ab=ba

Asszociativitás:
(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)

Disztributivitás:
(a+b)c=ac+bc

8. Komplex számok:

A gyökvonás művelete kivezet a valós számok halmazából, ezért szükséges egy újabb számhalmaz, a komplex számok bevezetése.

7. Ekvivalens halmazok:

Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha létezik közöttük bijekció (kölcsönösen egyértelmű ráképezés).

8. Halmaz számossága:

Egy H halmaz számossága az elemeinek száma. Jele: |H|.

9. Véges halmaz:

Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem.

10. Végtelen halmaz:

Egy halmaz végtelen, ha nem véges.

11. Megszámlálhatóan végtelen halmaz:

Azokat a halmazokat, amelyek ekvivalensek a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen halmaznak nevezzük.

A megszámlálhatóan végtelen halmaz számosságát a héber ABC első betűjével jelöljük: א₀ (alefnull).

|N|=|Z⁺|=|Z|=|Q⁺|=|Q|=א₀

12. Kontinuum számosság:

A valós számok halmazával ekvivalens halmazokat nem megszámlálhatóan végtelen vagy kontinuum számosságú halmazoknak nevezzük.

A kontinuum számosságot a gót ABC c betűjével jelöljük.

|R|=|Q*|=|a sík pontjainak halmaza|=|egyenes pontjainak halmaza|=|félegyenes pontjainak halmaza|=|szakasz pontjainak halmaza|=|körív pontjainak halmaza|=kontinuum

Tételek:

1. Minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként.

Mivel a racionális számok véges- vagy végtelen szakaszos tizedestörtek, azt kell bizonyítanunk, hogy bármely két egész szám hányadosa felírható ilyen alakban.

Az (a;bZ) osztást elvégezve a lehetséges maradékai: 0; 1; 2; … b-1. Ha a maradék 0, akkor véges tizedestört, ha nem 0, akkor végtelen szakaszos tizedestört. Legfeljebb a b-edik lépésben olyan maradék jön elő, ami már szerepelt. Igaz a tétel megfordítása is, mi szerint bármely véges, vagy végtelen szakaszos tizedestört racionális szám.

2. A irracionális szám.

A bizonyítás indirekt módon történik.

egyszerűsíthető 2-vel; nem teljesül az indirekt feltétel a irracionális szám

3. Az egész számok halmaza megszámlálhatóan végtelen.

Ezt úgy bizonyíthatjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű ráképezést, azaz bijekciót keresünk az egész számok halmaza és a természetes számok halmaza között.

Alkalmazások:

Matematikai:

Értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatánál számhalmazokat keresünk.

Beszélhetünk a prímszámok, a páros számok, a négyjegyű számok, a négyzetszámok (...) halmazáról.

A teljes indukcióval való bizonyításnál a természetes számoknak azt a tulajdonságát használjuk ki, hogy minden természetes számhoz egyet adva ismét természetes számot kapunk.

Egyéb:

A termékek ára egy-egy pozitív egész (vagy racionális) szám.

A fizika a vezetékes átviteltechnikában komplex számokat használ.

Pozitív számok nevezetes közepei. Adatsokaságok jellemzői [emeltmatek]

Definíciók:

1. Nevezetes közepek
• Két pozitív szám számtani (vagy aritmetikai) közepének nevezzük a két szám összegének a felét:

• Két pozitív szám mértani (vagy geometriai) közepének nevezzük a két szám szorzatának négyzetgyökét:

• Két pozitív szám harmonikus közepének nevezzük a két szám reciprokából számított számtani közép reciprokát:

• Két pozitív szám négyzetes közepének nevezzük azt a számot, amelyet a két szám négyzetének számtani közepéből négyzetgyökvonással kapunk:

2. Statisztikai sokaság


3. Adatok rendszerezése


4. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés


5. Szórás


6. Átlag


7. Medián
Adatsokaság mediánja a nagyság szerint rendezett adatok közül a középső, ha az adatok száma páratlan, és ha az adatok száma páros, akkor a medián a két középső szám számtani közepe.


8. Módusz
A statisztikai sokaságban leggyakrabban előforduló érték a módusz.


Tételek:

Nevezetes közepek közötti összefüggések.

(Az egyenlőségek akkor és csak akkor teljesülnek, ha a=b.)

Bizonyítások:

▪ G(a;b)≤A(a;b)

▪ H(a;b)≤G(a;b)
Alkalmazzuk a már bizonyított számtani és mértani közép közötti összefüggést az 1/a illetve 1/b pozitív számokra, majd vegyük az egyenlőtlenség mindkét (pozitív) oldalának reciprokát.

▪ A(a;b)≤N(a;b)
A bizonyítandó egyenlőtlenség:

Az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, így a két oldal négyzetre emelése ekvivalens átalakítás, amelyből kapjuk, hogy:

Ez az állítás igaz, és mivel minden lépés megfordítható, a kiinduló állítás is igaz. Az utolsó egyenlőtlenségből következik, hogy egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a = b.

Alkalmazások:

Matematikai:
1. Szélsőérték feladatok megoldása.
2. Egyenlőtlenségek bizonyítása.

Egyéb:
1. Átlagsebesség meghatározása.
2. Véletlenszerű illetve reprezentatív mintavétel adatsokaságának jellemzése.

Feladatok:

1.
A Kaposvári KK előbbi felkészülési tornára benevezett csapata tagjainak magasságai a következők a műsorfüzet szerint: 187, 203, 190, 199, 210, 195, 200, 204, 198, 188, 207 cm. Számítsuk ki a magasságok szóródásának mérőszámait! (Terjedelem, abszolút átlagos eltérés, variancia, szórás.)

2.
Miért használunk többféle statisztikai középértéket! Mutassunk példákat, hogy mikor érdemes a móduszt, mediánt, maximumot, minimumot tekinteni.

3.
120 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkora területű téglalap alakú telket lehet körülkeríteni?

4.
Igazoljuk a következő egyenlőtlenséget!

www.sulinet.hu Konfár László

Gyökvonás, gyökfüggvény [emeltmatek]

Definíciók:

1. Négyzetgyök definíciója

2. n-edik gyök definíciója
Ha a gyökkitevő páros szám - 2k (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely nemnegatív a valós szám 2k-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek 2k-adik hatványa a.
Ha a gyökkitevő páratlan szám - 2k+1 (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely a valós szám 2k+1-edik gyöke olyan szám, amelynek 2k+1-edik hatványa a.

3. Gyökfüggvények

hozzárendelési szabállyal megadott függvények tulajdonságai:

1. páratlan gyökkitevő esetén
• a függvény minden valós számra értelmezve van
• értékkészlete a valós számok halmaza
• szigorúan monton növekedő

2. páros gyökkitevő esetén
• a függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív számok halmaza
• értékkészlete a nemnegatív számok halmaza
• szigorúan monoton növekedő
• minimuma x= 0 helyen van, értéke 0

Tételek

1. A 2 négyzetgyöke irracionális.

2. Négyzetgyökvonás azonosságai:

3. n-edik gyökvonás azonosságai (Az alábbiakban minden páros kitevőjű gyök alatt csak nem negatív szám állhat!)

• Szorzat n-edik gyöke:

A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. A bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján ab. Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonosságai és a definíció alapján:

Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.

• Hányados n-edik gyöke:

A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. Bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján

Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonossága és a definíció alapján:

Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.

• k-adik hatvány n-edik gyöke:

Pozitív egész k esetén a bal oldal átalakításával eljuthatunk a jobb oldalon álló kifejezéshez.

A bizonyítás negatív k egész esetén is hasonlóan történik.

• k-adik gyök n-edik gyöke:

A bal oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója és a hatványozás azonosságai alapján:

A jobb oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója alapján szintén a. Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és nk-adik hatványa is egyenlő, igaz az egyenlőség.

Alkalmazások:

Matematikai:
• másod- és magasabbfokú egyenletek megoldása
• gyökös egyenletek megoldása
• mértani sorozatok

Egyéb:
• kamatszámítás
• inga lengésidejének meghatározása
• harmonikus rezgőmozgás körfrekvenciájanak kiszámítása

www.sulinet.hu Konfár László

Számhalmazok, halmazok számossága [emeltmatek]

A címben jelzett téma rendkívül nagy és összetett. Ebből következően az általunk említetendő tételek egy részének bizonyításával foglalkozunk csak ebben az írásban.

Tekintettel arra, hogy a vizsgázóknak 15 - 20 perc áll rendelkezésükre arra, hogy kifejtsék a vele kapcsolatos gondolataikat, mindenképpen válogatniuk kell az anyagból.

Semmiképpen sem szeretnénk azt a látszatot kelteni, hogy tudjuk azt, mi a célszerű vagy elvárt válogatás módja, ezért ezt a tételt három részre bontva dolgozzuk fel.
Az első, bevezető rész esetleg mindenki számára elfogatható lesz. A másik kettő pedig, két matematikai tudományágnak, a halmazelméletnek és az algebrának megfelelő továbblépést tartalmaz.

Az, hogy a vizsgázó ezek közül melyiket választja, vagy esetleg mindegyikből szemezget egy kicsit, az önálló döntése lehet.

Bevezető

Egy fontos dologra még fel kell hívni a figyelmet! A halmazelmélet axiomatikus felépítése a - történelem során fellépő - paradoxonok kezelése miatt vált szükségszerűvé.
Ennek köszönhetően tény, hogy az összes halmazok halmaza nem létezik. Ebből következően a tétel tárgyalása során csínján kell bánni az olyan fogalmakkal, mint a művelet, reláció, . . . , stb., amelyek halmazokon értelmezett hozzárendelések!


Definíciók:

1. Ekvivalens halmazok
Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha létezik közöttük bijekció (kölcsönösen egyértelmű ráképezés).

2. Véges halmaz
Egy halmaz véges, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem.

3. Végtelen halmaz
Egy halmaz végtelen, ha nem véges.

4. Halmazok számossága
Minden halmazhoz rendelünk egy számosságot oly módon, hogy az ekvivalens halmazok számossága egyenlő, és a nem ekvivalens halmazok számossága különböző.

5. Természetes számok
A véges halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

6. Pozitív egész számok
A természetes számok az üreshalmaz számossága kivételével.

7. Természetes számok összege
Legyen n és m két természetes szám. Legyenek N és M olyan diszjunkt halmazok , melyekre igaz, hogy az M számossága m, és az N számossága n. Az m+n a M és N halmazok egyesítésének a számossága.

8. Természetes számok szorzata
Legyen n és m két természetes szám. Legyenek N és M olyan halmazok, melyekre igaz, hogy az M számossága m, és az N számossága n. Az mn a M és N halmazok direktszorzatának a számossága.

9. Megszámlálhatóan végtelen halmaz
Azokat halmazokat, amelyek ekvivalensek a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük.

Tételek:

1. A halmazok ekvivalenciája reflexív, tranzitív és szimmetrikus.
Bizonyítás:
a) Alkalmazzuk a függvényt, ami egy halmaz minden elemének önmagát felelteti meg. Ez nyilvánvalóan bijekció, ezért a halmaz ekvivalens önmagával.

b)Ha két halmaz, A és B, ekvivalens, akkor létezik A->B bijekció. Tekintsük ennek inverzét, ez B->A bijekció. Ez azt jelenti, hogy B ekvivalens A-val, teljesül a szimmetrikusság feltétele.

c)Ha két halmaz, A és B, ekvivalens, akkor létezik A->B bijekció. Ha két halmaz, B és C, ekvivalens, akkor létezik B->C bijekció. Tekintsük e két bijekció szorzatát, ez nyilvánvalóan A->C bijekció. Teljesül a tranzitivitás.

2. A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve.
A bizonyítás a definíciók közvetlen alkalmazásával történhet.

3. A természetes számok halmazán az összeadás és a szorzás kommutatív és asszociatív, és a szorzás az összeadásra nézve disztributív.
A bizonyítások a definíciók közvetlen alkalmazásával és a halmazokkal végzett műveletek tulajdonságainak felhasználásával történhetnek.

4. A természetes számok halmaza végtelen halmaz
Bizonyítás:
A pozitív egész számok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának. Tekintsük azt a függvényt, aminek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, képhalmaza a pozitív egész számok halmaza, és a hozzárendelési szabálya az, hogy minden halmaz számossághoz hozzárendeli a halmaz és egy vele közös rész nélküli egyelemű halmaz egyesítésének a számosságát.
Ez a függvény bijekció, tehát a pozitív egész számok halmaza és a természetes számok halmaza ekvivalens.

Halmazok, halmazmûveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon [emeltmatek]

Az 1870-es években G. Cantor (1845 -1918) a matematikának egy új fejezetét teremtette meg, ezt halmazelméletnek nevezzük. Ő a halmazokat úgy vizsgálta, hogy azokat függetlenítette elemeinek tulajdonságaitól, azoktól elvonatkoztatta. Az a gondolata, hogy a végtelen halmazok között is lehet értelmezni az "ugyanakkora", "kisebb", "nagyobb" fogalmakat, új utat nyitott a matematikában. A halmazelmélet azóta is fejlődik, fogalmai, eredményei a matematika különböző területein hasznosíthatók.

Fogalmak, definíciók:

1. Halmaz fogalmának körülírása
Üres halmaz: olyan halmaz, amelynek egyetlen eleme sincs.

Halmazok megadása:felsorolás, képlet, körülírás)


2. Részhalmaz, valódi részhalmaz fogalma

3. Műveletek halmazokkal
Unióképzés Metszetképzés

Két halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük, vagyis metszetük az üres halmaz.
Az unió disztributív a metszetre nézve:

A metszet disztributív az unióra nézve:

Különbségképzés
Komplementerhalmaz

De Morgan-azonosságok:

Szimmetrikus differencia

5. Számhalmazok
Természetes és egész számok
Racionális számok
Irracionális számok
Valós számok, számegyenes, halmazábra

6. Nevezetes ponthalmazok
Szakaszfelező merőleges, szögfelező
Kör és gömb
Parabola
Forgáskúppalást síkkal való metszetei

Tételek:

1. Egy n elemű véges halmaz részhalmazainak száma 2ⁿ.
Bizonyítás:
Mivel a halmaz elemeinek száma véges, sorszámozhatjuk az elemeket 1-től n-ig. Ha az i-edik elemet kiválasztjuk a részhalmazba, akkor ehhez az elemhez rendeljünk 1-et, ha nem, akkor 0-t. Így látható, hogy minden részhalmazhoz rendeltünk egy 0 és 1 számjegyekből álló n hosszúságú számsort, illetve minden számsorhoz tartozik egy részhalmaz, vagyis a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű (üres részhalmaznak a csak 0-ból álló, az eredeti halmaznak a csak 1-esből álló számsor felel meg). Az így képzett n hosszúságú számsorok száma 2ⁿ, tehát a részhalmazok száma is ennyi.

Bizonyítás

Alkalmazások:

Matematikai:
Függvények értelmezési tartománya, értékkészlete
Egyenlőtlenségrendszerek megoldása
Geometriai szerkesztések a mértani hely módszerével

Egyéb:
Adatok gyűjtése, rendszerezése
Biológiában a rendszertanban



Feladatok:
1.
Egy matematika versenyen 34-en indultak, ahol három feladatot tűztek ki. Mindenki megoldott legalább egy feladatot. Az elsőt 15-en, a másodikat 16-an, a harmadikat 25-en oldották meg helyesen. Mindhárom feladatot 4 versenyző tudta megoldani. Hány tanuló oldott meg pontosan két feladatot?
2.
Legyen A a rombuszok, B a téglalapok, C a deltoidok halmaza. Ezen halmazok segítségével írja fel a következő halmazokat!
a/ négyzetek halmaza
b/ azon rombuszok halmaza, amelyek nem négyzetek
c/ azon deltoidok halmaza, amelyek téglalapok
3.
Egy 39 főből álló kirándulócsoportról tudjuk, hogy tagjai közül
12-en jártak a Fátrában, 18-an a Mátrában, 16-an a Tátrában;
9-en jártak a Fátrában és Mátrában, 6-an a Fátrában és Tátrában, 7-en a Mátrában és Tátrában.
Hányan nem jártak a három hegység egyikében sem, ha négyen már mindhárom hegységben jártak?

származási hely: www.sulinet.hu Konfár László