Szakaszfelező merőleges: a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.
Szögfelező: két adott, metsző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.
Középpárhuzamos: két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon
Két, egy adott egyenessel párhuzamos egyenes: az adott egyenestől egyenlő távolságokra lévő pontok halmaza a síkban.
A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai:
Háromszög köré írható köre: az a kör, amely tartalmazza az adott háromszög mindhárom csúcsát (középpontja az oldalfelezők metszéspontja).
Háromszög beírható köre: a háromszög belsejében található kör, mely mindhárom oldalt belülről érinti (középpontja a szögfelezők metszéspontja).
Magasságvonal, magasságegyenes: a háromszögnek egy csúcsából a szemközti oldalegyenesére bocsátott szakaszt (egyenest) a háromszög magasságának (magasságvonalának) nevezzük.
Oldalfelező merőleges: azt az egyenest, amely egy szakasz felezőpontján halad át, és amely merőleges a szakaszra, a szakasz (oldal) felezőmerőlegesének nevezzük. (A szakasz felezőmerőlegese a szakasz két végpontjától egyenlő távol lévő pontok halmaza a síkon.)
Nevezetes ponthalmazok a térben:
Gömbfelület: egy adott O ponttól megadott r távolságban lévő pontok halmaza a térben.
Gömbtest: egy adott O ponttól r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza a térben.
Végtelen felületű hengerpalást: egy adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben.
Szakaszfelező merőleges sík: azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak
Szögfelező sík: azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek két metszősíktól egyenlő távolságban vannak.
Kocka: olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő hosszú.
Hasáb: olyan test, amelyet két egybevágó és párhuzamos sokszög, és annyi paralelogramma határol, ahány oldala van a sokszögnek.
Gúla: olyan test, amelyet egy sokszöglap, és annyi egy csúcsban összefutó háromszöglap határol, ahány oldala van a sokszögnek.
Kúp: olyan test, amelyet egy zárt vezérgörbéjű kúpfelület és egy – e kúpfelület minden alkotóját átmetsző – sík határol.
Tételek:
A háromszög oldalfelezői egy pontban metszik egymást.
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást.
Bizonyítás
Húzzuk meg az ABC háromszög A és B csúcsából induló szögfelezőit.
Ezek biztosan metszik egymás a háromszög belsejében, mert az A-nál és B-nél lévő szögek összege kevesebb, mint 180°.
Metszéspontjukat jelöljük M-mel!
M illeszkedik az A csúcsból induló szögfelezőre, ezért M ugyanakkora távolságra van a b oldaltól, mint a c oldaltól.
M illeszkedik az B csúcsból induló szögfelezőre, ezért M ugyanakkora távolságra van az a oldaltól, mint a c oldaltól.
Tehát az M pont ugyanakkora távolságra van az a és a b oldalaktól.
Azok a pontok, amelyek egyenlő távolságra vannak az a és a b oldalaktól, rajta vannak a C csúcsból induló szögfelezőn.
Igazoltuk, hogy a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást.
A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög beírt körének középpontja.
Bizonyítás
Előző tételünkből tudjuk, hogy M ugyanakkora távolságra van mindhárom oldaltól, ezért az M pont mint középpont köré szerkeszthető olyan kör, amely a háromszög mindhárom oldalát érinti.
A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.
Bizonyítás
A mellékelt ABC háromszögben az A csúcsnál lévő α szög felezője a szemközti oldalt a D csúcsban metszi.
A bizonyítandó állítás:
Hosszabbítsuk meg az AB=c oldal egyenesét A csúcson túl.
Forgassuk le erre az AC=b oldalt az A pont körül. Így kapjuk a C' pontot.
Kössük össze a kapott C' pontot a háromszög C csúcsával. Vizsgáljuk meg az AC'C háromszöget!
AZ AC'C háromszög egyenlőszárú, hiszen AC'=AC, ezért . Mivel külső szöge az ABC háromszögnek, ezért , így .
Mivel és C'A és AB egy egyenesbe esik, ezért CC’ párhuzamos AD-vel.
A párhuzamos szelők tétele szerint .
Mivel C'A=AC, így az arány .
Ezt kellett bizonyítani.
Alkalmazások:
Matematikai:
geometriában
Matematikán kívüli:
parabola antenna
naperőműveknél: parabola alakú tükör
reflektorok
fizikában: a Földről fellőtt rakéták, űrhajók pályája:
A rakéta pályája lehet olyan ellipszis, melynek a fellövési helytől számított távolabbi fókuszpontja a Föld középpontja.
A műhold pályája lehet kör.
Az űrhajó pályája lehet olyan ellipszis, melynek a fellövési helytől számított közelebbi fókuszpontja a Föld középpontja.
A rakéta pályája lehet olyan hiperbola, amelynek egyik fókuszpontja a Föld középpontja.
Megjegyzés küldése