Definíciók:
1. Négyzetgyök definíciója
2. n-edik gyök definíciója
Ha a gyökkitevő páros szám - 2k (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely nemnegatív a valós szám 2k-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek 2k-adik hatványa a.
Ha a gyökkitevő páratlan szám - 2k+1 (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely a valós szám 2k+1-edik gyöke olyan szám, amelynek 2k+1-edik hatványa a.
3. Gyökfüggvények
1. Négyzetgyök definíciója
2. n-edik gyök definíciója
Ha a gyökkitevő páros szám - 2k (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely nemnegatív a valós szám 2k-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek 2k-adik hatványa a.
Ha a gyökkitevő páratlan szám - 2k+1 (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely a valós szám 2k+1-edik gyöke olyan szám, amelynek 2k+1-edik hatványa a.
3. Gyökfüggvények
 |
hozzárendelési szabállyal megadott függvények tulajdonságai:
1. páratlan gyökkitevő esetén
• a függvény minden valós számra értelmezve van
• értékkészlete a valós számok halmaza
• szigorúan monton növekedő
 |
2. páros gyökkitevő esetén
• a függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív számok halmaza
• értékkészlete a nemnegatív számok halmaza
• szigorúan monoton növekedő
• minimuma x= 0 helyen van, értéke 0
• a függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív számok halmaza
• értékkészlete a nemnegatív számok halmaza
• szigorúan monoton növekedő
• minimuma x= 0 helyen van, értéke 0
 |
Tételek
1. A 2 négyzetgyöke irracionális.
2. Négyzetgyökvonás azonosságai:
3. n-edik gyökvonás azonosságai (Az alábbiakban minden páros kitevőjű gyök alatt csak nem negatív szám állhat!)
• Szorzat n-edik gyöke:
 |
A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. A bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján ab. Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonosságai és a definíció alapján:
 |
Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.
• Hányados n-edik gyöke:
• Hányados n-edik gyöke:
 |
A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. Bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján
 |
Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonossága és a definíció alapján:
 |
Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.
• k-adik hatvány n-edik gyöke:
• k-adik hatvány n-edik gyöke:
 |
Pozitív egész k esetén a bal oldal átalakításával eljuthatunk a jobb oldalon álló kifejezéshez.
 |
A bizonyítás negatív k egész esetén is hasonlóan történik.
• k-adik gyök n-edik gyöke:
• k-adik gyök n-edik gyöke:
 |
A bal oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója és a hatványozás azonosságai alapján:
 |
A jobb oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója alapján szintén a. Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és nk-adik hatványa is egyenlő, igaz az egyenlőség.
Alkalmazások:
Matematikai:
• másod- és magasabbfokú egyenletek megoldása
• gyökös egyenletek megoldása
• mértani sorozatok
Egyéb:
• kamatszámítás
• inga lengésidejének meghatározása
• harmonikus rezgőmozgás körfrekvenciájanak kiszámítása
Alkalmazások:
Matematikai:
• másod- és magasabbfokú egyenletek megoldása
• gyökös egyenletek megoldása
• mértani sorozatok
Egyéb:
• kamatszámítás
• inga lengésidejének meghatározása
• harmonikus rezgőmozgás körfrekvenciájanak kiszámítása
www.sulinet.hu Konfár László
Megjegyzés küldése