Definíciók:
1. Nevezetes közepek
• Két pozitív szám számtani (vagy aritmetikai) közepének nevezzük a két szám összegének a felét:
1. Nevezetes közepek
• Két pozitív szám számtani (vagy aritmetikai) közepének nevezzük a két szám összegének a felét:
 |
• Két pozitív szám mértani (vagy geometriai) közepének nevezzük a két szám szorzatának négyzetgyökét:
 |
• Két pozitív szám harmonikus közepének nevezzük a két szám reciprokából számított számtani közép reciprokát:
 |
• Két pozitív szám négyzetes közepének nevezzük azt a számot, amelyet a két szám négyzetének számtani közepéből négyzetgyökvonással kapunk:
 |
2. Statisztikai sokaság
3. Adatok rendszerezése
4. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés
5. Szórás
6. Átlag
7. Medián
Adatsokaság mediánja a nagyság szerint rendezett adatok közül a középső, ha az adatok száma páratlan, és ha az adatok száma páros, akkor a medián a két középső szám számtani közepe.
8. Módusz
A statisztikai sokaságban leggyakrabban előforduló érték a módusz.
Tételek:
Nevezetes közepek közötti összefüggések.
3. Adatok rendszerezése
4. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés
5. Szórás
6. Átlag
7. Medián
Adatsokaság mediánja a nagyság szerint rendezett adatok közül a középső, ha az adatok száma páratlan, és ha az adatok száma páros, akkor a medián a két középső szám számtani közepe.
8. Módusz
A statisztikai sokaságban leggyakrabban előforduló érték a módusz.
Tételek:
Nevezetes közepek közötti összefüggések.
 |
(Az egyenlőségek akkor és csak akkor teljesülnek, ha a=b.)
Bizonyítások:
▪ G(a;b)≤A(a;b)
▪ H(a;b)≤G(a;b)
Alkalmazzuk a már bizonyított számtani és mértani közép közötti összefüggést az 1/a illetve 1/b pozitív számokra, majd vegyük az egyenlőtlenség mindkét (pozitív) oldalának reciprokát.
▪ A(a;b)≤N(a;b)
A bizonyítandó egyenlőtlenség:
Bizonyítások:
▪ G(a;b)≤A(a;b)
▪ H(a;b)≤G(a;b)
Alkalmazzuk a már bizonyított számtani és mértani közép közötti összefüggést az 1/a illetve 1/b pozitív számokra, majd vegyük az egyenlőtlenség mindkét (pozitív) oldalának reciprokát.
▪ A(a;b)≤N(a;b)
A bizonyítandó egyenlőtlenség:
 |
Az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, így a két oldal négyzetre emelése ekvivalens átalakítás, amelyből kapjuk, hogy:
 |
Ez az állítás igaz, és mivel minden lépés megfordítható, a kiinduló állítás is igaz. Az utolsó egyenlőtlenségből következik, hogy egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a = b.
Alkalmazások:
Matematikai:
1. Szélsőérték feladatok megoldása.
2. Egyenlőtlenségek bizonyítása.
Egyéb:
1. Átlagsebesség meghatározása.
2. Véletlenszerű illetve reprezentatív mintavétel adatsokaságának jellemzése.
Feladatok:
1.
A Kaposvári KK előbbi felkészülési tornára benevezett csapata tagjainak magasságai a következők a műsorfüzet szerint: 187, 203, 190, 199, 210, 195, 200, 204, 198, 188, 207 cm. Számítsuk ki a magasságok szóródásának mérőszámait! (Terjedelem, abszolút átlagos eltérés, variancia, szórás.)
2.
Miért használunk többféle statisztikai középértéket! Mutassunk példákat, hogy mikor érdemes a móduszt, mediánt, maximumot, minimumot tekinteni.
3.
120 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkora területű téglalap alakú telket lehet körülkeríteni?
4.
Igazoljuk a következő egyenlőtlenséget!
Alkalmazások:
Matematikai:
1. Szélsőérték feladatok megoldása.
2. Egyenlőtlenségek bizonyítása.
Egyéb:
1. Átlagsebesség meghatározása.
2. Véletlenszerű illetve reprezentatív mintavétel adatsokaságának jellemzése.
Feladatok:
1.
A Kaposvári KK előbbi felkészülési tornára benevezett csapata tagjainak magasságai a következők a műsorfüzet szerint: 187, 203, 190, 199, 210, 195, 200, 204, 198, 188, 207 cm. Számítsuk ki a magasságok szóródásának mérőszámait! (Terjedelem, abszolút átlagos eltérés, variancia, szórás.)
2.
Miért használunk többféle statisztikai középértéket! Mutassunk példákat, hogy mikor érdemes a móduszt, mediánt, maximumot, minimumot tekinteni.
3.
120 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkora területű téglalap alakú telket lehet körülkeríteni?
4.
Igazoljuk a következő egyenlőtlenséget!
 |
www.sulinet.hu Konfár László
Megjegyzés küldése