Halmazok, halmazmûveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon [emeltmatek]

Az 1870-es években G. Cantor (1845 -1918) a matematikának egy új fejezetét teremtette meg, ezt halmazelméletnek nevezzük. Ő a halmazokat úgy vizsgálta, hogy azokat függetlenítette elemeinek tulajdonságaitól, azoktól elvonatkoztatta. Az a gondolata, hogy a végtelen halmazok között is lehet értelmezni az "ugyanakkora", "kisebb", "nagyobb" fogalmakat, új utat nyitott a matematikában. A halmazelmélet azóta is fejlődik, fogalmai, eredményei a matematika különböző területein hasznosíthatók.

Fogalmak, definíciók:

1. Halmaz fogalmának körülírása
Üres halmaz: olyan halmaz, amelynek egyetlen eleme sincs.

Halmazok megadása:felsorolás, képlet, körülírás)


2. Részhalmaz, valódi részhalmaz fogalma

3. Műveletek halmazokkal
Unióképzés Metszetképzés

Két halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük, vagyis metszetük az üres halmaz.
Az unió disztributív a metszetre nézve:

A metszet disztributív az unióra nézve:

Különbségképzés
Komplementerhalmaz

De Morgan-azonosságok:

Szimmetrikus differencia

5. Számhalmazok
Természetes és egész számok
Racionális számok
Irracionális számok
Valós számok, számegyenes, halmazábra

6. Nevezetes ponthalmazok
Szakaszfelező merőleges, szögfelező
Kör és gömb
Parabola
Forgáskúppalást síkkal való metszetei

Tételek:

1. Egy n elemű véges halmaz részhalmazainak száma 2ⁿ.
Bizonyítás:
Mivel a halmaz elemeinek száma véges, sorszámozhatjuk az elemeket 1-től n-ig. Ha az i-edik elemet kiválasztjuk a részhalmazba, akkor ehhez az elemhez rendeljünk 1-et, ha nem, akkor 0-t. Így látható, hogy minden részhalmazhoz rendeltünk egy 0 és 1 számjegyekből álló n hosszúságú számsort, illetve minden számsorhoz tartozik egy részhalmaz, vagyis a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű (üres részhalmaznak a csak 0-ból álló, az eredeti halmaznak a csak 1-esből álló számsor felel meg). Az így képzett n hosszúságú számsorok száma 2ⁿ, tehát a részhalmazok száma is ennyi.

Bizonyítás

Alkalmazások:

Matematikai:
Függvények értelmezési tartománya, értékkészlete
Egyenlőtlenségrendszerek megoldása
Geometriai szerkesztések a mértani hely módszerével

Egyéb:
Adatok gyűjtése, rendszerezése
Biológiában a rendszertanban



Feladatok:
1.
Egy matematika versenyen 34-en indultak, ahol három feladatot tűztek ki. Mindenki megoldott legalább egy feladatot. Az elsőt 15-en, a másodikat 16-an, a harmadikat 25-en oldották meg helyesen. Mindhárom feladatot 4 versenyző tudta megoldani. Hány tanuló oldott meg pontosan két feladatot?
2.
Legyen A a rombuszok, B a téglalapok, C a deltoidok halmaza. Ezen halmazok segítségével írja fel a következő halmazokat!
a/ négyzetek halmaza
b/ azon rombuszok halmaza, amelyek nem négyzetek
c/ azon deltoidok halmaza, amelyek téglalapok
3.
Egy 39 főből álló kirándulócsoportról tudjuk, hogy tagjai közül
12-en jártak a Fátrában, 18-an a Mátrában, 16-an a Tátrában;
9-en jártak a Fátrában és Mátrában, 6-an a Fátrában és Tátrában, 7-en a Mátrában és Tátrában.
Hányan nem jártak a három hegység egyikében sem, ha négyen már mindhárom hegységben jártak?

származási hely: www.sulinet.hu Konfár László

Share this: