Adathalmazok vizsgálata
a) adatgyűjtés
(reprezentatív mintán: az a kis százalék, akit kérdeznek, hasonlít az egészre)
b) rendszerezés különböző szempontok alapján (pl.: gyakorisági táblázat)
c) ábrázolás
1) oszlopdiagram
2) kördiagram
3) vonaldiagram
Statisztikai közepek
módusz: az adathalmaz legnagyobb gyakoriságú eleme (ha több, egyforma gyakoriságú ilyen elem van, akkor ezek a móduszok halmazát alkotják)
medián: a nem csökkenő sorrendbe rendezett adatok közül:
- ha páratlan számú elem van, a középső
- ha páros számú elem van, a középső kettő számtani közepe
aritmetikai (számtani) közép: az adatok összegének és az elemek számának hányadosa
alsó kvartilis: a mediánnál kisebb adatok mediánja
felső kvartilis: a mediánnál nagyobb adatok mediánja
Szóródásmértékek
a) terjedelem: Az adathalmaz legnagyobb és legkisebb elemének különbsége.
b) átlagos abszolút eltérés: Egy statisztikai középtől vett eltérések számtani közepe.
c) átlagos négyzetes eltérés: Egy statisztikai középtől vett eltérések négyzeteinek átlaga.
d) szórásnégyzet: Az mintaközéptől való eltérések négyzetösszegének átlaga.
e) szórás: A sokaság szórásnégyzetének (varianciájának) négyzetgyöke.
Tételek:
Az átlagos abszolút eltérés a medián választása esetén lesz minimális.
Az átlagos négyzetes eltérés a számtani közép választása esetén lesz minimális.
A valószínűség-számítás elemei
Események
Véletlen jelenség: olyan jelenség, amelyeket az ismert feltételek nem határoznak meg egyértelműen.
Példa: Ha egy pénzérmét feldobunk, nem tudjuk előre, melyik oldalára esik.
Kísérlet: egy véletlen jelenség megfigyelése. A kísérletet akárhányszor ugyanolyan körülmények között végrehajthatjuk.
A kísérlet kimenetele: a kísérlet minden eredményéhez kell tartozzon egy egyértelműen meghatározható kimenetel.
Példa: az érmével fejet dobunk, vagy írást.
Elemi eseménynek nevezzük a véletlen jelenségre vonatkozó kísérlet kimenetelét a kísérlet minden kimeneteléhez tartozik egy-egy elemi esemény.
Eseménytérnek nevezzük az elemi események halmazát. Jele: H.
Esemény: az eseménytér részhalmazai. Egy esemény bekövetkezik, ha a kísérlet kimenetele az eseménynek megfelelő részhalmazba tartozó elemi esemény.
Biztos esemény: a H halmazhoz tartozó esemény, amely mindenképpen bekövetkezik. Jele: H.
Lehetetlen esemény: az üres halmazhoz tartozó esemény, amely semmiképpen sem következhet be.
Műveletek eseményekkel
Két esemény egyenlő, ha a kísérlet bármely kimenetele esetén vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem.
Az A esemény komplementere az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, amikor A nem következik be. Jele: .
Bármely esemény komplementerének komplementere az eredeti esemény: .
A biztos esemény komplementere a lehetetlen esemény.
A lehetetlen esemény komplementere a biztos esemény.
Tetszőleges A és B események összege az az esemény, amelyik pontzosan akkor következik be, amikor A vagy B bekövetkezik. Jele: .
Tétel: Minden esemény előáll elemi események összegeként.
Tetszőleges A és B események szorzata az az esemény, amelyik pontzosan akkor következik be, amikor A és B bekövetkezik. Jele: .
Tetszőleges A és B események egymást kizárják, ha egyszerre nem következhetnek be, azaz Ø.
Azonosságok az eseményekkel kapcsolatos műveletekre, melyek a halmazokra ismert azonosságok következtében igazak:
Kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség
Ha n kísérletből az A esemény k-szor következik be, akkor k-t az A esemény gyakoriságának, -t pedig az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük.
A relatív gyakoriság nem lehet negatív, mivel és , ezért .
A biztos esemény relatív gyakorisága 1, mert a biztos esemény minden kísérletnél bekövetkezik, így k=n.
Egymást kizáró események összegének relatív gyakorisága a tagok relatív gyakoriságának összege.
Adott A esemény valószínűségének azt a számot tekintjük, ami körül a relatív gyakoriság ingadozik. (Minél több kísérletet végzünk, az ingdozás általában annál kisebb.)
Az A esemény valószínűségének jele: .
A valószínűséget nem definiáljuk, hanem axiómákkal (Kolmogorov) határozzuk meg, melyek a relatív gyakoriság tulajdonságai alpján a tapasztalatnak megfelelően adódnak.
I. axióma: Ha A tetszőleges esemény, akkor .
II. axióma:
III. axióma: Ha A és B tetszőleges események, melyekre , akkor .
A valószínűség klasszikus modellje
A valószínűség klasszikus modellje akkor alkalmazható, ha egy kísérletnek véges sok kimenetele van, és ezek valószínűsége egyenlő.
Esemény valószínűsége .
A fenti képlet a valószínűség axiómáiból levezethető, hiszen n darab P valószínűségű elemi esemény esetén alapján, mivel az elemi események egymást páronként kizárják, és H az elemi események összege, a III. axióma miatt , így . Ha egy A esemény k darab egymást kizáró elemi esemény összege, akkor a II. axióma miatt .
A gyakorlatban a klasszikus modell feltételei sokszor nem teljesülnek, ezt mindig statisztikai vizsgálatokkal kell ellenőrizni.
Geometriai valószínűség
Ha egy kísérlettel kapcsolatos események egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetők meg úgy, hogy az események valószínűsége az eseményhez rendelt részhalmaz geometriai mértékével arányos, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.
Ekkor az A esemény valószínűsége:
Alkalmazások:
Matematikai:
A kombinatorika a valószínűség-számítás kombinatorikus modelljénél használatos.
Matematikán kívüli:
Statisztikai vizsgálatok
Közvélemény-kutatás
Biztosítótársaságoknál a valószínűség-számítás segítségével számítják ki, hogy mekkora biztosítási díjat kérjenek az ügyfelektől.
Megjegyzés küldése