Sokszögek, szimmetrikus sokszögek [emeltmatek]

Sokszögek, szimmetrikus sokszögek

Sokszögek tulajdonságai:

Definíciók:

Konvex sokszög: olyan sokszög, amely bármely két pontjával együtt a két pontot összekötő szakasz valamennyi pontját is tartalmazza.
(Olyan sokszög, amelynek minden szöge kisebb az egyenesszögnél.)

Konkáv sokszög: olyan sokszög, amelynek nem minden pontpárjára igaz, hogy az összekötő szakaszukat teljes egészében tartalmazza, azaz, amely nem konvex.
(Olyan sokszög, amelynek van az egyenesszögnél nagyobb szöge.)

Tengelyesen szimmetrikus sokszög: Egy sokszög tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli tengelyes tükrözés, amelynek az adott sokszög invariáns alakzata. E tükrözés tengelyét a sokszög szimmetriatengelyének nevezzük.

Középpontosan szimmetrikus sokszög: Egy sokszög középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, melynek az adott sokszög invariáns alakzata. E tükrözés középpontját a sokszög szimmetria-középpontjának nevezzük.

Forgásszimmetrikus sokszög: Egy sokszög forgásszimmetrikus, ha van a síkjában olyan (az identitástól különböző) pont körüli forgatás, melynek a sokszög invariáns alakzata. E forgatás középpontját a sokszög forgáscentrumának nevezzük.

Bizonyítható, hogy ha egy sokszögnek egynél több szimmetriatengelye van, akkor azok egy pontban metszik egymást. Az ilyen sokszög forgásszimmetrikus is, és forgáscentruma a tengelyek metszéspontja.

A középpontos tükrözés egyenértékű a forgáscentrum körüli 180°-os elforgatással, ezért a középpontosan szimmetrikus sokszögek ezeknek a forgatásoknak is invariáns alakzatai, így a középpontosan szimmetrikus sokszögek forgásszimmetrikusak is.

Szabályos sokszög: olyan sokszög, amelynek oldalai és szögei egyenlők.

Érintősokszög: olyan sokszög, amelynek van beírható köre.

Húrsokszög: olyan sokszög, amelynek van köré írható köre.

Tételek:

1. Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma: .

Bizonyítás:
Az n oldalú konvex sokszög egy tetszőleges csúcsából n-3 átló húzható, mert önmagába és a két szomszédos csúcsba nem vezet átló. Ha minden csúcsból meghúzzuk az n-3 átlót, akkor összesen átlót rajzoltunk meg, hiszen minden átlóhoz két csúcs tartozik.
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

2. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2)∙180˚.

Bizonyítás:
Válasszuk ki egy n oldalú (n≥3) sokszög tetszőleges csúcsát. Ebből a csúcsból n-3 átló húzható, amely átlók a sokszög belsejében haladnak, így azt n-2 darab háromszögre bontják. A sokszög belső szögeinek összegét ezen háromszögek belső szögeinek összege adja, ami .
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

3. Az n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360°.

Bizonyítás:
Tekintsük az n oldalú konvex sokszög külső szögeit. Ezek a külső szögek és a hozzájuk tartozó belső szögek mellékszögpárt alkotnak, így összegük 180°. Ha képezzük ezeknek a külső-belső szögpároknak az összegét, -ot kapunk. Ebből a belső szögek összege, tehát a külső szögeké .
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

4. A szabályos n-szög belső szögeinek nagysága:.

Bizonyítás:
Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege , és a szabályos n-szögnek n egyenlő nagyságú szöge van, ezért a tétel igaz.

5. Az n oldalú szabályos sokszögek forgásszimmetrikusak, mégpedig mindegyikhez n különböző olyan elforgatás adható meg, amelynek invariáns alakzata (0°≤α<360°).

A forgáscentrum a szabályos sokszög szimmetria-középpontja, a forgatások szögei pedig:

Szabályos sokszögek kerülete, területe:

Az n oldalú szabályos sokszög kerülete oldalhosszának n-szerese.

Ha az n oldalú szabályos sokszög köré írható körének sugara R, akkor területét a , kerületét pedig a összefüggés adja.

Az n oldalú szabályos sokszög területét megadhatjuk a t=ρ∙s összefüggéssel is, ahol ρ a szabályos sokszög beírható körének sugara, s pedig kerületének a fele.

Alkalmazások:

Matematikai:

A matematikában a sokszögek segítségével ívhosszakat, görbe vonallal határolt síkidomok kerületét és területét határozhatjuk meg.
Például a kör területének meghatározásánál, ahol a körbe és a kör köré írható, 2ⁿ oldalú szabályos sokszögek területeiből, a kétoldali közelítés módszerét használva juthatunk eredményre.

Melyek azok a szabályos sokszögek, amelyekkel hézagmentesen lefedhető a sík?

Matematikán kívüli:

Kristályszerkezetekben gyakran találkozhatunk szabályos sokszögekkel, például a grafit kristályszerkezetében szabályos hatszögek fedezhetők fel.

A szabályos sokszögeket az építészetben is használják statikai és esztétikai célokra egyaránt. Szerephez jutnak modern épületek tartószerkezetének tervezésekor is.

A természetben gyakran előfordul az aranymetszés aránya (a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez), amit „isteni aránynak” tartottak az ókorban, és szívesen alkalmazták művészeti alkotásokban: szobrokon, festményeken, épületeken. A szabályos ötszög átlóinak osztásaránya éppen ez az arány.

A görbült felületekkel határolt testek számítógépes ábrázolásakor a test felületét sokszöglapokból álló felületekkel közelítik meg.

Méhsejt-szerkezetű gyepvédő rács

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete, kerületi szög, középponti szög [emeltmatek]

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete, kerületi szög, középponti szög

Kör: adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon.

Zárt körlap: azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolságra vannak.

Nyílt körlap: azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól adott távolságnál kisebb távolságra vannak.

Körgyűrű: azon pontok halmaza a síkban, amelyek két egyközepű (koncentrikus) kör között helyezkednek el.

A kör érintője: olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel, összes többi pontja pedig külső pont.

A kör szelője: olyan egyenes, amelynek két közös pontja van a körrel.

A kör húrja: a szelő körrel való metszéspontjai közé eső szakasza.

Átmérő: a kör középpontján áthaladó húr.
Az átmérő a kör leghosszabb húrja, hossza a sugár kétszerese.

Körszelet: a körlapot egy szelője két körszeletre bontja.

Középponti szög: olyan szög, melynek csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara.

Körív: A kört két pontja két körívre bontja. Minden középponti szög a körvonal egy ívét tartalmazza.

Körcikk: A körlapot két sugara két körcikkre bontja. A középponti szög és a körlap közös részét körcikknek nevezzük.

Kerületi szög: olyan konvex szög, amelyet a kör két közös végpontú húrja alkot.

Érintőszárú kerületi szög: az a konvex szög, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érintő félegyenes alkot.

Látószög: Adott három pont a síkon: A, B és P. Ha az , akkor azt mondhatjuk, hogy az AB szakasz a P pontból α szög alatt látszik.

Látószögkörív: azon pontok halmaza a síkon, amelyekből egy AB szakasz adott α szög alatt látszik. (Ez két, az AB egyenesére szimmetrikusan elhelyezkedő körív.)

Ívmérték, radián: 1 radián (1 rad) annak a középponti szögnek a nagysága, amelyhez az r sugarú körben r hosszúságú körív tartozik.

Tételek:

1. A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra.

Bizonyítás: indirekt úton.

Vegyük fel az O középpontú kör egy érintőjét, és húzzuk meg az érintési ponthoz tartozó sugarat. Tegyük fel, hogy az e érintő és az OE sugár nem merőlegesek egymásra. Bocsássunk merőlegest az O középpontból az e érintőre, ennek talppontját jelöljük T-vel. Ez körön kívüli pont. Az OET derékszögű háromszög, a derékszög csúcspontja T, ezért a háromszögnek OE az átfogója. Ezzel ellentmondáshoz jutunk, mert OE=r és r

2. Adott körben a körív hossza egyenesen arányos a középponti szöggel,
vagyis, ha α és β két középponti szög, i_α, és i_β a hozzájuk tartozó ívek, akkor .
Ez az összefüggés teszi lehetővé a szögek ívhosszal történő mérését is.

3. Adott körben a körcikk területe egyenesen arányos a hozzá tartozó középponti szöggel,
vagyis, ha α és β két középponti szög, t_α, és t_β a hozzájuk tartozó körcikkek területei, akkor .

4. Adott pontból adott körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők.

Bizonyítás:
Rajzoljuk meg a külső P ponton át az adott körhöz húzható két érintőt, az érintési pontok legyenek A és B. Vegyük fel a P ponton és a kör O középpontján átmenő szakaszt. Mivel a kör tengelyesen szimmetrikus a középpontján átmenő egyenesekre, így az PO szakasz egyenesére is. Az A érintési pont tükörképe B, így a PA érintőszakasz tükörképe a PB érintőszakasz, tehát egyenlő hosszúak.

5. Szelőtétel:
A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek.
A mellékelt ábra jelölései szerint:

A PBE és PAE háromszögek hasonlóak, mert:
, mivel mindkettő az AE ívhez tartozó kerületi szög
a P-nél fekvő szögük egyenlő.

Ebből következik, hogy megfelelő oldalaik aránya egyenlő:

Ezt szorzat alakba írva:

6. Középponti és kerületi szögek tétele:
Adott körben, adott ívhez tartozó bármely kerületi szög nagysága fele az ugyanazon ívhez tartozó középponti szög nagyságának.

Mivel a kerületi szögek többféle helyzetűek lehetnek, ezért a tétel bizonyítása több lépésben történik. Mi ebből csak egyet bizonyítsunk!

A középponti és a kerületi szög szára egy egyenesbe esik.

AOC háromszög egyenlő szárú, mert OC és OA a kör sugara. Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők, tehát .

Mivel AOC háromszögnek β külső szöge, így az megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével, azaz , vagyis .

Alkalmazások:

Matematikai:

Szögek mérése radiánban.

Húrnégyszögek tételének bizonyításánál a középponti és kerületi szögek tételét használjuk.

Thalész tételének bizonyításánál a középponti és kerületi szögek tételét használjuk.

Matematikán kívüli:

A gépészmérnökök minden olyan alkatrész megtervezésekor használják a körre vonatkozó ismereteket, melyeknek valamelyik síkmetszete kör.

Körmozgások, forgó mozgások leírásakor a körrel kapcsolatos ismereteket használják fel a fizikában.

A látószögeket a csillagászatban is alkalmazzák.

Számhalmazok, halmazok számossága [emeltmatek]

A címben jelzett téma rendkívül nagy és összetett. Ebből következően az általunk említetendő tételek egy részének bizonyításával foglalkozunk csak ebben az írásban.

Tekintettel arra, hogy a vizsgázóknak 15 - 20 perc áll rendelkezésükre arra, hogy kifejtsék a vele kapcsolatos gondolataikat, mindenképpen válogatniuk kell az anyagból.

Semmiképpen sem szeretnénk azt a látszatot kelteni, hogy tudjuk azt, mi a célszerű vagy elvárt válogatás módja, ezért ezt a tételt három részre bontva dolgozzuk fel.
Az első, bevezető rész esetleg mindenki számára elfogatható lesz. A másik kettő pedig, két matematikai tudományágnak, a halmazelméletnek és az algebrának megfelelő továbblépést tartalmaz.

Az, hogy a vizsgázó ezek közül melyiket választja, vagy esetleg mindegyikből szemezget egy kicsit, az önálló döntése lehet.

Bevezető

Egy fontos dologra még fel kell hívni a figyelmet! A halmazelmélet axiomatikus felépítése a - történelem során fellépő - paradoxonok kezelése miatt vált szükségszerűvé.
Ennek köszönhetően tény, hogy az összes halmazok halmaza nem létezik. Ebből következően a tétel tárgyalása során csínján kell bánni az olyan fogalmakkal, mint a művelet, reláció, . . . , stb., amelyek halmazokon értelmezett hozzárendelések!


Definíciók:

1. Ekvivalens halmazok
Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha létezik közöttük bijekció (kölcsönösen egyértelmű ráképezés).

2. Véges halmaz
Egy halmaz véges, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem.

3. Végtelen halmaz
Egy halmaz végtelen, ha nem véges.

4. Halmazok számossága
Minden halmazhoz rendelünk egy számosságot oly módon, hogy az ekvivalens halmazok számossága egyenlő, és a nem ekvivalens halmazok számossága különböző.

5. Természetes számok
A véges halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

6. Pozitív egész számok
A természetes számok az üreshalmaz számossága kivételével.

7. Természetes számok összege
Legyen n és m két természetes szám. Legyenek N és M olyan diszjunkt halmazok , melyekre igaz, hogy az M számossága m, és az N számossága n. Az m+n a M és N halmazok egyesítésének a számossága.

8. Természetes számok szorzata
Legyen n és m két természetes szám. Legyenek N és M olyan halmazok, melyekre igaz, hogy az M számossága m, és az N számossága n. Az mn a M és N halmazok direktszorzatának a számossága.

9. Megszámlálhatóan végtelen halmaz
Azokat halmazokat, amelyek ekvivalensek a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük.

Tételek:

1. A halmazok ekvivalenciája reflexív, tranzitív és szimmetrikus.
Bizonyítás:
a) Alkalmazzuk a függvényt, ami egy halmaz minden elemének önmagát felelteti meg. Ez nyilvánvalóan bijekció, ezért a halmaz ekvivalens önmagával.

b)Ha két halmaz, A és B, ekvivalens, akkor létezik A->B bijekció. Tekintsük ennek inverzét, ez B->A bijekció. Ez azt jelenti, hogy B ekvivalens A-val, teljesül a szimmetrikusság feltétele.

c)Ha két halmaz, A és B, ekvivalens, akkor létezik A->B bijekció. Ha két halmaz, B és C, ekvivalens, akkor létezik B->C bijekció. Tekintsük e két bijekció szorzatát, ez nyilvánvalóan A->C bijekció. Teljesül a tranzitivitás.

2. A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve.
A bizonyítás a definíciók közvetlen alkalmazásával történhet.

3. A természetes számok halmazán az összeadás és a szorzás kommutatív és asszociatív, és a szorzás az összeadásra nézve disztributív.
A bizonyítások a definíciók közvetlen alkalmazásával és a halmazokkal végzett műveletek tulajdonságainak felhasználásával történhetnek.

4. A természetes számok halmaza végtelen halmaz
Bizonyítás:
A pozitív egész számok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának. Tekintsük azt a függvényt, aminek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, képhalmaza a pozitív egész számok halmaza, és a hozzárendelési szabálya az, hogy minden halmaz számossághoz hozzárendeli a halmaz és egy vele közös rész nélküli egyelemű halmaz egyesítésének a számosságát.
Ez a függvény bijekció, tehát a pozitív egész számok halmaza és a természetes számok halmaza ekvivalens.

Gyökvonás, gyökfüggvény [emeltmatek]

Definíciók:

1. Négyzetgyök definíciója

2. n-edik gyök definíciója
Ha a gyökkitevő páros szám - 2k (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely nemnegatív a valós szám 2k-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek 2k-adik hatványa a.
Ha a gyökkitevő páratlan szám - 2k+1 (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely a valós szám 2k+1-edik gyöke olyan szám, amelynek 2k+1-edik hatványa a.

3. Gyökfüggvények

hozzárendelési szabállyal megadott függvények tulajdonságai:

1. páratlan gyökkitevő esetén
• a függvény minden valós számra értelmezve van
• értékkészlete a valós számok halmaza
• szigorúan monton növekedő

2. páros gyökkitevő esetén
• a függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív számok halmaza
• értékkészlete a nemnegatív számok halmaza
• szigorúan monoton növekedő
• minimuma x= 0 helyen van, értéke 0

Tételek

1. A 2 négyzetgyöke irracionális.

2. Négyzetgyökvonás azonosságai:

3. n-edik gyökvonás azonosságai (Az alábbiakban minden páros kitevőjű gyök alatt csak nem negatív szám állhat!)

• Szorzat n-edik gyöke:

A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. A bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján ab. Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonosságai és a definíció alapján:

Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.

• Hányados n-edik gyöke:

A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. Bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján

Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonossága és a definíció alapján:

Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.

• k-adik hatvány n-edik gyöke:

Pozitív egész k esetén a bal oldal átalakításával eljuthatunk a jobb oldalon álló kifejezéshez.

A bizonyítás negatív k egész esetén is hasonlóan történik.

• k-adik gyök n-edik gyöke:

A bal oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója és a hatványozás azonosságai alapján:

A jobb oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója alapján szintén a. Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és nk-adik hatványa is egyenlő, igaz az egyenlőség.

Alkalmazások:

Matematikai:
• másod- és magasabbfokú egyenletek megoldása
• gyökös egyenletek megoldása
• mértani sorozatok

Egyéb:
• kamatszámítás
• inga lengésidejének meghatározása
• harmonikus rezgőmozgás körfrekvenciájanak kiszámítása

www.sulinet.hu Konfár László