Sokszögek, szimmetrikus sokszögek
Sokszögek tulajdonságai:
Definíciók:
Konvex sokszög: olyan sokszög, amely bármely két pontjával együtt a két pontot összekötő szakasz valamennyi pontját is tartalmazza.
(Olyan sokszög, amelynek minden szöge kisebb az egyenesszögnél.)
Konkáv sokszög: olyan sokszög, amelynek nem minden pontpárjára igaz, hogy az összekötő szakaszukat teljes egészében tartalmazza, azaz, amely nem konvex.
(Olyan sokszög, amelynek van az egyenesszögnél nagyobb szöge.)
Tengelyesen szimmetrikus sokszög: Egy sokszög tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli tengelyes tükrözés, amelynek az adott sokszög invariáns alakzata. E tükrözés tengelyét a sokszög szimmetriatengelyének nevezzük.
Középpontosan szimmetrikus sokszög: Egy sokszög középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, melynek az adott sokszög invariáns alakzata. E tükrözés középpontját a sokszög szimmetria-középpontjának nevezzük.
Forgásszimmetrikus sokszög: Egy sokszög forgásszimmetrikus, ha van a síkjában olyan (az identitástól különböző) pont körüli forgatás, melynek a sokszög invariáns alakzata. E forgatás középpontját a sokszög forgáscentrumának nevezzük.
Bizonyítható, hogy ha egy sokszögnek egynél több szimmetriatengelye van, akkor azok egy pontban metszik egymást. Az ilyen sokszög forgásszimmetrikus is, és forgáscentruma a tengelyek metszéspontja.
A középpontos tükrözés egyenértékű a forgáscentrum körüli 180°-os elforgatással, ezért a középpontosan szimmetrikus sokszögek ezeknek a forgatásoknak is invariáns alakzatai, így a középpontosan szimmetrikus sokszögek forgásszimmetrikusak is.
Szabályos sokszög: olyan sokszög, amelynek oldalai és szögei egyenlők.
Érintősokszög: olyan sokszög, amelynek van beírható köre.
Húrsokszög: olyan sokszög, amelynek van köré írható köre.
Tételek:
1. Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma: 
.
Bizonyítás:
Az n oldalú konvex sokszög egy tetszőleges csúcsából n-3 átló húzható, mert önmagába és a két szomszédos csúcsba nem vezet átló. Ha minden csúcsból meghúzzuk az n-3 átlót, akkor összesen átlót rajzoltunk meg, hiszen minden átlóhoz két csúcs tartozik.
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.
2. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2)∙180˚.
Bizonyítás:
Válasszuk ki egy n oldalú (n≥3) sokszög tetszőleges csúcsát. Ebből a csúcsból n-3 átló húzható, amely átlók a sokszög belsejében haladnak, így azt n-2 darab háromszögre bontják. A sokszög belső szögeinek összegét ezen háromszögek belső szögeinek összege adja, ami 
.
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.
3. Az n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360°.
Bizonyítás:
Tekintsük az n oldalú konvex sokszög külső szögeit. Ezek a külső szögek és a hozzájuk tartozó belső szögek mellékszögpárt alkotnak, így összegük 180°. Ha képezzük ezeknek a külső-belső szögpároknak az összegét, 
-ot kapunk. Ebből a belső szögek összege, tehát a külső szögeké 
.
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.
.
Bizonyítás:
Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege , és a szabályos n-szögnek n egyenlő nagyságú szöge van, ezért a tétel igaz.
5. Az n oldalú szabályos sokszögek forgásszimmetrikusak, mégpedig mindegyikhez n különböző olyan elforgatás adható meg, amelynek invariáns alakzata (0°≤α<360°).
A forgáscentrum a szabályos sokszög szimmetria-középpontja, a forgatások szögei pedig:
Szabályos sokszögek kerülete, területe:
Az n oldalú szabályos sokszög kerülete oldalhosszának n-szerese.
Ha az n oldalú szabályos sokszög köré írható körének sugara R, akkor területét a 
, kerületét pedig a 
összefüggés adja.
Az n oldalú szabályos sokszög területét megadhatjuk a t=ρ∙s összefüggéssel is, ahol ρ a szabályos sokszög beírható körének sugara, s pedig kerületének a fele.
Alkalmazások:
Matematikai:
A matematikában a sokszögek segítségével ívhosszakat, görbe vonallal határolt síkidomok kerületét és területét határozhatjuk meg.
Például a kör területének meghatározásánál, ahol a körbe és a kör köré írható, 2n oldalú szabályos sokszögek területeiből, a kétoldali közelítés módszerét használva juthatunk eredményre.
Melyek azok a szabályos sokszögek, amelyekkel hézagmentesen lefedhető a sík?
Matematikán kívüli:
Kristályszerkezetekben gyakran találkozhatunk szabályos sokszögekkel, például a grafit kristályszerkezetében szabályos hatszögek fedezhetők fel.
A szabályos sokszögeket az építészetben is használják statikai és esztétikai célokra egyaránt. Szerephez jutnak modern épületek tartószerkezetének tervezésekor is.
A természetben gyakran előfordul az aranymetszés aránya (a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez), amit „isteni aránynak” tartottak az ókorban, és szívesen alkalmazták művészeti alkotásokban: szobrokon, festményeken, épületeken. A szabályos ötszög átlóinak osztásaránya éppen ez az arány.
A görbült felületekkel határolt testek számítógépes ábrázolásakor a test felületét sokszöglapokból álló felületekkel közelítik meg.
Méhsejt-szerkezetű gyepvédő rács
Megjegyzés küldése