A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete, kerületi szög, középponti szög
Kör: adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon.
Zárt körlap: azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolságra vannak.
Nyílt körlap: azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól adott távolságnál kisebb távolságra vannak.
Körgyűrű: azon pontok halmaza a síkban, amelyek két egyközepű (koncentrikus) kör között helyezkednek el.
A kör érintője: olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel, összes többi pontja pedig külső pont.
A kör szelője: olyan egyenes, amelynek két közös pontja van a körrel.
A kör húrja: a szelő körrel való metszéspontjai közé eső szakasza.
Átmérő: a kör középpontján áthaladó húr.
Az átmérő a kör leghosszabb húrja, hossza a sugár kétszerese.
Körszelet: a körlapot egy szelője két körszeletre bontja.
Középponti szög: olyan szög, melynek csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara.
Körív: A kört két pontja két körívre bontja. Minden középponti szög a körvonal egy ívét tartalmazza.
Körcikk: A körlapot két sugara két körcikkre bontja. A középponti szög és a körlap közös részét körcikknek nevezzük.
Kerületi szög: olyan konvex szög, amelyet a kör két közös végpontú húrja alkot.
Érintőszárú kerületi szög: az a konvex szög, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érintő félegyenes alkot.
Látószög: Adott három pont a síkon: A, B és P. Ha az 
, akkor azt mondhatjuk, hogy az AB szakasz a P pontból α szög alatt látszik.
Látószögkörív: azon pontok halmaza a síkon, amelyekből egy AB szakasz adott α szög alatt látszik. (Ez két, az AB egyenesére szimmetrikusan elhelyezkedő körív.)
Ívmérték, radián: 1 radián (1 rad) annak a középponti szögnek a nagysága, amelyhez az r sugarú körben r hosszúságú körív tartozik.
Tételek:
Bizonyítás: indirekt úton.
Vegyük fel az O középpontú kör egy érintőjét, és húzzuk meg az érintési ponthoz tartozó sugarat. Tegyük fel, hogy az e érintő és az OE sugár nem merőlegesek egymásra. Bocsássunk merőlegest az O középpontból az e érintőre, ennek talppontját jelöljük T-vel. Ez körön kívüli pont. Az OET derékszögű háromszög, a derékszög csúcspontja T, ezért a háromszögnek OE az átfogója. Ezzel ellentmondáshoz jutunk, mert OE=r és r 2. Adott körben a körív hossza egyenesen arányos a középponti szöggel, 3. Adott körben a körcikk területe egyenesen arányos a hozzá tartozó középponti szöggel, 4. Adott pontból adott körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők. A PBE és PAE háromszögek hasonlóak, mert: Ebből következik, hogy megfelelő oldalaik aránya egyenlő: Ezt szorzat alakba írva: 6. Középponti és kerületi szögek tétele: A középponti és a kerületi szög szára egy egyenesbe esik. AOC háromszög egyenlő szárú, mert OC és OA a kör sugara. Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők, tehát Mivel AOC háromszögnek β külső szöge, így az megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével, azaz Alkalmazások: Matematikai: Matematikán kívüli:
vagyis, ha α és β két középponti szög, iα, és iβ a hozzájuk tartozó ívek, akkor 
.
Ez az összefüggés teszi lehetővé a szögek ívhosszal történő mérését is.
vagyis, ha α és β két középponti szög, tα, és tβ a hozzájuk tartozó körcikkek területei, akkor 
.
Bizonyítás:
Rajzoljuk meg a külső P ponton át az adott körhöz húzható két érintőt, az érintési pontok legyenek A és B. Vegyük fel a P ponton és a kör O középpontján átmenő szakaszt. Mivel a kör tengelyesen szimmetrikus a középpontján átmenő egyenesekre, így az PO szakasz egyenesére is. Az A érintési pont tükörképe B, így a PA érintőszakasz tükörképe a PB érintőszakasz, tehát egyenlő hosszúak.
5. Szelőtétel:
A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek.
A mellékelt ábra jelölései szerint: 
, mivel mindkettő az AE ívhez tartozó kerületi szög
a P-nél fekvő szögük egyenlő.
Adott körben, adott ívhez tartozó bármely kerületi szög nagysága fele az ugyanazon ívhez tartozó középponti szög nagyságának.
Mivel a kerületi szögek többféle helyzetűek lehetnek, ezért a tétel bizonyítása több lépésben történik. Mi ebből csak egyet bizonyítsunk!
.
, vagyis 
.
Szögek mérése radiánban. Húrnégyszögek tételének bizonyításánál a középponti és kerületi szögek tételét használjuk. Thalész tételének bizonyításánál a középponti és kerületi szögek tételét használjuk. A gépészmérnökök minden olyan alkatrész megtervezésekor használják a körre vonatkozó ismereteket, melyeknek valamelyik síkmetszete kör. Körmozgások, forgó mozgások leírásakor a körrel kapcsolatos ismereteket használják fel a fizikában. A látószögeket a csillagászatban is alkalmazzák.
Megjegyzés küldése