Szögfüggvények és alkalmazásuk a geometriában
A szögfüggvények általános definíciója:
A koordináta-rendszer origója körül forgatott egységvektorral bármely pozitív vagy negatív szöget létrehozhatunk. Ennek segítségével értelmezzük a forgásszögek szögfüggvényeit.
Definíciók:
Az α szög szinusza a koordinátasíkon az i egységvektortól α szöggel elforgatott egységvektor második koordinátája.
A β szög koszinusza a koordinátasíkon az i egységvektortól β szöggel elforgatott egységvektor első koordinátája.
Az α szög tangense a koordinátasíkon annak a pontnak az y koordinátája, amelyet az α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör (1;0) pontjához húzott érintőjéből kimetsz.
A β szög kotangense a koordinátasíkon annak a pontnak az x koordinátája, amelyet az β szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör (0;1) pontjához húzott érintőjéből kimetsz.
Hegyesszögek szögfüggvényei
Két háromszög hasonló, ha két szöge egyenlő. Hasonló háromszögekben az oldalak aránya egyenlő. Ebből következik, hogy bármely két derékszögű háromszög hasonló, ha egy hegyesszögük egyenlő. Ebben az esetben tehát oldalaik aránya egyenlő.
Ha a derékszögű háromszögben megváltoztatjuk az egyik hegyesszöget, akkor megváltozik az oldalak aránya, és fordítva, ha két derékszögű háromszögben az oldalak aránya eltérő, akkor azok nem hasonlóak, hegyesszögeik eltérőek.
Tehát a derékszögű háromszögekben az oldalak aránya jellemző a hegyesszögre, ezért ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük.
Definíciók:
A derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó arányát a szög szinuszának nevezzük. 
A derékszögű háromszögben a hegyesszög melletti befogó és az átfogó arányát a szög koszinuszának nevezzük.
A derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó arányát a szög tangensének nevezzük.
A derékszögű háromszögben a hegyesszög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó arányát a szög kotangensének nevezzük.
A szögfüggvények ábrázolása és jellemzése
| A szinuszfüggvény | |
|
| A függvény jellemzése Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Korlátosság: korlátos Folytonosság: folytonos Periodikus, a periódusa: Zérushelyei: Maximumhelyei: Maximumértéke: Minimumhelyei: Minimumértéke: Monotonitás: Szigorúan monoton nő a Szigorúan monoton csökken a Paritás: páratlan függvény. |
| A koszinuszfüggvény | |
|
| A függvény jellemzése Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Korlátosság: korlátos Folytonosság: folytonos Periodikus, a periódusa: Zérushelyei: Maximumhelyei: Maximumértéke: Minimumhelyei: Minimumértéke: Monotonitás: Szigorúan monoton nő a Szigorúan monoton csökken a Paritás: páros függvény. |
| A tangensfüggvény | |
|
| A függvény jellemzése Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Korlátosság: nem korlátos Folytonosság: a Periodikus, a periódusa: Zérushelyei: Szélsőértéke nincs. Monotonitás: Szigorúan monoton nő a Paritás: páratlan függvény. |
| A kotangensfüggvény | |
|
| A függvény jellemzése Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Korlátosság: nem korlátos Folytonosság: a Periodikus, a periódusa: Zérushelyei: Szélsőértéke: nincs Monotonitás: Szigorúan monoton csökken a Paritás: páratlan függvény. |
A szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggések:
Pótszögek szögfüggvényei:
Egy szög szinusza egyenlő pótszögének koszinuszával: 
.
Egy szög koszinusza egyenlő a pótszögének szinuszával: 
.
Az α szög tangense egyenlő a pótszögének kotangensével, ha 
: 
.
Az α szög kotangense egyenlő a pótszögének tangensével, ha 
: 
.
Kiegészítő szögek szögfüggvényei:
Az α szög szinusza egyenlő a kiegészítő szögének szinuszával: 
.
Az α szög koszinusza egyenlő a kiegészítő szöge koszinuszának ellentettjével: 
.
Az α szög tangense egyenlő a kiegészítő szöge tangensének ellentettjével, ha : 
.
Az α szög kotangense egyenlő a kiegészítő szöge kotangensének ellentettjével, ha : 
.
Negatív szögek szögfüggvényei:
, mert a koszinuszfüggvény páros.
,
,
, mert a szinusz-, tangens- és kotangensfüggvény páratlan.
A szögfüggvények kapcsolata:
A pitagoraszi összefüggés
Tetszőleges α szög esetén igaz, hogy 
.
Az összefüggés a Pitagorasz-tétel következménye.
Írjuk fel a derékszögű háromszögben a két befogót az átfogó és az egyik hegyesszög szögfüggvényeivel!
Most írjuk fel a Pitagorasz tételt ebben a háromszögben:
Osszuk el az egyenletet 
-tel!
Nevezetes szögek szögfüggvényei:
A szabályos háromszög és az egyenlő szárú derékszögű háromszög oldalainak segítségével kiszámíthatjuk a 30°, 60°illetve a 45°szögfüggvényeit.
|
|
|
|
|
|
A szinusztétel:
Bármely háromszögben bármely két oldal aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak az arányával.
Bizonyítás:
a) Hegyesszögű háromszög esetén:
A bal oldalak egyenlőségéből következik:
b) Tompaszögű háromszög esetén:
A bal oldalak egyenlőségéből következik:
Mivel 
, 
.
Mindkét esetben ugyanahhoz az összefüggéshez jutunk:
A koszinusztétel: Bármely háromszögben, bármely oldal négyzete megkapható úgy, hogy a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk azt a háromtényezős szorzatot, amelynek tényezői a másik két oldal és a közbezárt szög koszinusza.
Bizonyítás:
Tekintsük a következő vektorokat!
A tangenstétel:
A háromszögben alkalmazva a szokásos jelöléseket, ha a≠b:
A háromszög területének kiszámítása két oldalból és az általuk közbezárt szögből:
Most is a 
képletet használjuk. Mivel az ma magasság nem ismert, azt kell kiszámolnunk.
Az ABT derékszögű háromszögben 
, vagyis 
. Ezt behelyettesítve az eredeti területképletbe a következőt kapjuk:
Derékszögű háromszög esetén:
Tompaszögű háromszög esetén:
Addíciós tételek:
Ezekből levezethető:
Szög kétszeresének szögfüggvényei (az addíciós tételek segítségével írhatjuk fel):
Hasonló gondolatmenettel kapjuk:
Alkalmazások:
Matematikai:
Szögszámítás sík- és térgeometriai problémákban
Területszámítás
Skaláris szorzat kiszámítása
Matematikán kívüli:
Térképészeti alkalmazás: Háromszögelés
Építészet
Megjegyzés küldése