A kör és a parabola a koordinátasíkon
A kör
A kör (körvonal) a sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyek a sík egy adott pontjától adott (nullától különböző) távolságra vannak. Az adott pontot a kör középpontjának, az adott távolságot a kör sugarának, rádiuszának nevezzük.
A kör egyenlete:
Adott a C(u;v) középpontú, r sugarú kör. A középponttól a körvolnal bármely P(x;y) pontja r távolságban van. Ezért 
. Ez rendezett alakban: 
.
Ezt az egyenletet az (u;v) középpontú, r sugarú körvonal minden pontjának a koordinátái kielégítik és más pont koordinátái nem elégítik ki. Ez az egyenlet a kör egyenlete.
A rendezett alak mutatja, hogy bármely kör egyenlete másodfokú, kétismeretlenes egyenlet. Kérdéses azonban, hogy bármely másodfokú, kétismeretlenes egyenlet körnek az egyenlete-e.
A másodfokú kétismeretlenes egyenlet általános alakja:
A kör egyenletének rendezett alakjából látjuk, hogy abban nem szerepelhet xy-os tag, és azt, hogy x2 és y2 együtthatója egyenlő. Ezért, hogy egy másodfokú kétismeretlenes egyenlet egy kör egyenlete legyen, az együtthatóira szükséges a C=0 és az A=B feltétel.
A alakú egyenletek helyett csak a 
alakú másodfokú kétismeretlenes egyenletek állíthatnak elő kört. azt még külön meg kell vizsgálnunk, hogy ezek közül mind előállít-e kört.
A kapott egyenletet osszuk el A-val:
Ez az egyenlet akkor és csak akkor állít elő kört, ha a jobb oldalon (az r2-nek megfelelő helyen) pozitív szám áll, azaz: 
.
Ez az a három feltétel, amelyeknek meg kell felelnie egy másodfokú kétismeretlenes egyenletnek ahhoz, hogy kör egyenlete legyen.
Kör és egyenes kölcsönös helyzete:
Egy síkban körnek és egyenesnek 0, 1 vagy 2 metszéspontja lehet.
E metszéspontok koordinátáit a kör és az egyenes egyenleteiből álló egyenletrendszer valós megoldásai adják.
Az egyenletrendszerek megoldásai során kapott egyismeretlenes másodfokú egyenlet diszkriminánsának előjele határozza meg a megoldások számát.
Két kör kölcsönös helyzete:
Két kör metszéspontjainak számát a körök egyenleteiből álló egyenletrendszer valós megoldásainak száma határozza meg.
Ha két megoldás van, a két kör metsző.
Ha egy megoldás van, a két kör érinti egymást.
Ha nincs megoldás, a két körnek nincs közös pontja.
A parabola
A parabola adott egyenestől és egy adott, rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.
Az adott egyenes a parabola vezéregyenese (v), az adott pont a parabola fókuszpontja (F).
A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p>0).
A fókuszpontra illeszkedő, a vezéregyenesre merőleges egyenes a parabola szimmetriatengelye, röviden tengelye (t).
A parabola tengelyen lehelyezkedő pontja a parabola tengelypontja (T), vagy csúcspontja.
A tengelypont felezi a fókuszpont és a vezéregyenes távolságát.
A parabola csúcsponti egyenlete:
Olyan parabolákkal foglalkoztunk, amelyek tengelye párhuzamos a koordináta-rendszer egyik tengelyével.
Elsőként olyan helyzetű parabolát tekintünk, amelynek tengelye az y tengely, tengelypontja az origó és a parabola a koordináta-rendszer I. és II. negyedében van. Az ilyen parabolát már egyértelműen meghatározza a p paramétere. Fókuszpontja: 
.
Egyenletének felírásához a definíciója a kiindulópont: d(P;F)=d(P;v).
Az egyenlet mindkét oldalán távolságok szerepelnek, ezek nem lehetnek negatív számok, így mindkét oldal négyzetre emelésével ekvivalens átalakítást végzünk:
Rendezve: 
vagy 
Ezt az origó tengelypontú fókuszpontú parabola tengelyponti vagy csúcsponti egyenletének nevezzük.
Az előző parabolát tükrözzük az x tengelyre. E transzformáció miatt ennek egyenlete: .
Az elsőként tárgyalt egyenletű parabolát tükrözzük az y=x egyenesre, ekkor a parabola tengelye az x tengely lesz. Ennél a tükrözésnél a két tengely és az x, y koordináta felcserélődik.
Az ilyen helyzetű parabola egyenlete: 
; rendezve: 
.
Az előző parabolát tükrözzük az y tengelyre. A transzformáció miatt ennek a parabolának az egyenlete: 
.
Az előzőekben tárgyalt parabolákat eltoljuk a koordinátasíkon egy (u;v) vektorral. Ekkor, az új helyzetben, a tengelypontjuk a T(u;v) pont lesz. Ha ezeket az új helyzetű parabolákat
(-u;-v) vektorral toljuk el, akkor visszajutunk az eredeti helyzetű parabolákhoz. Ennél a „visszatolásnál” minden P(x;y) pontból P’(x-u;y-v) pont lesz. Ennek a P’ pontnak a koordinátáiban szereplő x, y az eltolt új helyzetű parabolák koordinátái. Ezért felírhatjuk az egyenletüket.
Alkalmazások:
Matematikai:
Adott tulajdonságú ponthalmazt koordináta-geometriai eszközökkel határozunk meg.
A kör területének meghatározásánál a kör egyenletének segítségével felírt függvény határozott integrálját használjuk. 
Matematikán kívüli:
A vízszintesen elhajított test pályaegyenletének meghatározásánál egy parabola egyenletét kapjuk.
Mesterséges holdak vagy az űrhajók adott sebességgel (I. kozmikus sebesség) fellőve a Föld körül körpályán keringenek. Ha a sebességük valamivel nagyobb, de az úgynevezett II. kozmikus sebességnél kisebb, akkor a pálya ellipszis. Ha a sebesség éppen a II. kozmikus sebesség, akkor a pálya parabola, ha annál nagyobb, akkor hiperbola, és a hold vagy űrhajó mindkét esetben távozik a naprendszerből.
Homogén mágneses mezőben mozgó töltött részecske, ha sebessége merőleges az indukcióvonalakra, körpályán mozog. Ezt használják ki a részecskegyorsítók működésénél, hogy a részecskéket adott pályán tudják vezetni.
Megjegyzés küldése