Területszámítás elemi úton és az integrálszámítás felhasználásával
Síkidomok területe:
A terület fogalma:
Sokszögek területmérésénél minden sokszöghöz hozzárendelünk egy pozitív számot. A hozzárendeléshez kell egy területegység.
Megállapodunk abban, hogy a területegység az a négyzet, amelynek oldalai 1 hosszúságegységek.
A sík minden sokszögéhez úgy rendeljük hozzá a terület mérőszámát – egy pozitív valós számot – hogy teljesüljön az alábbi két feltétel:
a) Az egybevágó sokszögekhez ugyanazt a számot rendeljük, azaz megkívánjuk, hogy az egybevágó sokszögek területének azonos mérőszáma legyen.
b) Ha egy sokszöget véges számú sokszögre feldarabolunk, akkor az egyes részek területeinek összege az eredeti sokszög területével azonos legyen.
Sokszögek területe:
Téglalap:
A téglalap területe két szomszédos oldalhosszának szorzata.
(Nem bizonyítjuk, elfogadjuk.)
Négyzet:
Mivel a négyzet olyan téglalap, amelynek oldalai egyenlők, a négyzet területe oldalhosszának négyzete.
Paralelogramma:
Bármely paralelogrammát átalakíthatunk vele egyenlő területű téglalappá. 
Ezzel beláttuk, hogy bármely paralelogramma területe egyenlő egy ugyanakkora alaphosszúságú és ugyanakkora magasságú téglalapéval.
Háromszög:
Tükrözzük az ABC háromszöget az AB oldal F felezőpontjára. Az eredeti háromszög és a tükörképe együtt egy paralelogrammát alkotnak. Mivel ABC és BAC’ háromszögek egybevágóak, a háromszög területe ennek a paralelogrammának a fele.
A háromszög területének kiszámítása két oldalból és az általuk közbezárt szögből:
Most is a 
képletet használjuk. Mivel az ma magasság nem ismert, azt kell kiszámolnunk.
Az ABT derékszögű háromszögben 
, vagyis 
. Ezt behelyettesítve az eredeti területképletbe a következőt kapjuk:
Trapéz:
Az ABCD trapézt tükrözzük a BC oldalfelező pontjára. Az eredeti trapéz és tükörképe paralelogrammát alkot. A trapéz területe a paralelogramma területének fele.
Sokszögek:
A sokszögek területének meghatározásánál azokat háromszögekre bonjuk, és ezen háromszögek területeinek összege adja a sokszög területét.
Szabályos sokszögek:
Szabályos sokszögek területének meghatározásánál a csúcspontokat a szabályos sokszög középpontjával kötjük össze. Így annyi egybevágó, egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahány oldalú a szabályos sokszög, és ezen háromszögek területeinek összege adja a sokszög területét.
Integrálszámítás:
Primitív függvény (antiderivált): 
függvény valamely véges vagy végtelen I intervallumon primitív függvénye az 
-nek, ha 
.
Tétel: Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különböznek egymástól.
Bizonyítás: Legyen 
és 
f két primitív függvénye. Ez a definíció alapján az alábbit jelenti:
Határozatlan integrál:
Az f függvény primitív függvényeinek halmazát az f függvény határozatlan integráljának nevezzük.
Jele: 
Riemann-szerint integrálható függvény:
Az [a;b] zárt intervallumon értelmezett korlátos f függvényt az [a;b] zárt intervallumon integrálhatónak nevezzük, ha pontosan egy olyan szám létezik, amely egyetlen alsó közelítő összegnél sem kisebb, és egyetlen felső közelítő összegnél sem nagyobb.
Ezt a számot az f függvény [a;b] zárt intervallumon vett határozott integráljának nevezzük.
Jele: 
(a,b: integrációs határok)
A határozott integrál és a terület kapcsolata:
A határozott integrál a függvény görbéje által meghatározott síkidom területét előjelesen adja meg: a görbe alatti terület pozitív, a görbe feletti negatív.
Newton – Leibniz tétel:
Ha az f függvény az [a;b] zárt intervallumon folytonos, 
pedig az f függvény egy tetszőleges primitív függvénye, akkor 
A kör területe:
A hasonlóság miatt elég, ha az egységsugarú kör területét számoljuk ki: 
Az r sugarú kör területe a hasonlóság miatt: 
.
Alkalmazások:
Matematikai:
Területszámítás
Felszínszámítás
Térfogatszámítás
Matematikán kívüli:
A szobafestők a területszámításra alkalmas képletekkel kiszámolják, hogy mekkora falfelületet kell befesteniük, majd ebből adnak árajánlatot.
Egy hajó lakkozásánál a felszín kiszámítására alkalmazhatják az integrálszámítást.
Megjegyzés küldése