Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek
Húrnégyszögek:
Húrnégyszög: olyan konvex négyszög, amelynek minden oldala egy körnek egy-egy húrja.
Tétel:
Egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.
Bizonyítás:
a) Ha egy konvex négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180°.
Vegyük fel az ABCD húrnégyszöget a köré írt körével együtt. Válasszuk ki a húrnégyszög α és γ szemközti szögeit. Az α szög a C csúcsot tartalmazó BD ívhez, a γ pedig az A csúcsot tartalmazó BD ívhez tartozó kerületi szög. A kerületi és középponti szögek tétele miatt a hozzájuk tartozó középponti szögek 2α és 2γ nagyságúak. Ezek összege viszont éppen a telje szög, azaz 360°.
2α+2γ=360°, vagyis α+γ=180°. Ezt akartuk belátni.
Mivel a négyszög belső szögeinek összege 360°, ezért a másik két szemközti szög összege is 180°.
b) Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180°, akkor az húrnégyszög.
Legyen ABCD négyszög szemközti szögeinek összege 180°!
E négyszög tetszőleges három csúcsa köré mindig írható kör, ezért rajzoljuk meg az ABD csúcsok köré írható k kört! Megmutatjuk, hogy a C csúcs is rajta van ugyanezen a körön.
Vegyünk fel egy tetszőleges P pontot az A csúcsot nem tartalmazó BD köríven! Így az ABPD húrnégyszöghöz jutunk, melyben a P-nél lévő szög a húrnégyszög-tétel miatt (180°-α), azaz P-ből BD szakasz (180°-α) szögben látszik. A kerületi szögek tétele miatt azonban a k kör ezen ívének mindegyik pontjából (180°-α) szögben látszik BD. Tudjuk, hogy azon pontok halmaza, amelyekből a BD szakasz (180°-α) szögben látszik, két, a BD-re szimmetrikus körív, melyek közül az egyik az előbb megmutatott. Emiatt C csak a k kör említett ívén, vagy annak BD-re vonatkozó tükörképén lehet. Azonban a tükörképen nem lehet, mert akkor az ABCD négyszög konkáv lenne. Tehát C csúcs rajta van a k körön, vagyis ABCD húrnégyszög.
Érintőnégyszögek:
Érintőnégyszög: olyan konvex négyszög, amelynek minden oldala egy körnek egy-egy érintője.
Tétel:
Egy konvex négyszög akkor és csakis akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak hossza egyenlő.
Bizonyítás:
a) Ha egy konvex négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő.
Ez nyilvánvalóan következik abból az elemi tételből, hogy az O középpontú körhöz egy külső A pontból húzott AE és AH érintőszakaszok hossza egyenlő, mert az AO egyenes ezek szimmetriatengelye.
Az ABCD érintőnégyszögben
AE=AH
BE=BF
CF=CG
DG=DH
Felírjuk a szemközti oldalhosszak összegét:
AB+CD=AE+EB+CG+GD
AD+BC=AH+HD+BF+FC
Figyelembe véve az előző egyenlőségeket, valóban a szemközti oldalhosszak összege egyenlő.
b) Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.
A bizonyításhoz meg kell mutatnunk, hogy a feltételnek eleget tevő konvex négyszögnek van beírt köre, azaz van olyan belső pontja, amely mind a négy oldaltól egyenlő távolságra van.
A konvex deltoidnak van beírható köre, mert a tengelyes szimmetria miatt szögfelezői egy ponton haladnak át, és ez egyenlő távolságra van mind a négy oldaltól.
2. Ha a négyszög nem deltoid:
Ebben az esetben vagy mind a négy oldal különböző hosszúságú, vagy legfeljebb két szemközti oldal egyenlő hosszú, és a másik kettő egyike ezeknél nagyobb, a másik kisebb. Tehát mindkét esetben van leghosszabb oldal. Legyen ez az ábrán az AB oldal!
A feltétel az ábra jelöléseivel: AB+CD=BC+DA
Ezt átrendezve: AB-BC=DA-CD.
Mérjünk fel az AB oldalra egy BC hosszúságú, a DA oldalra pedig egy CD hosszúságú szakaszt! Így kapjuk a P és a Q pontokat. A PQ, QC és CP szakaszokat behúzva a négyszöget négy háromszögre bontottuk, amelyek közül a külső három egyenlő szárú, a belsőt pedig ezek alapjai határolják. A külső háromszögek szimmetriatengelyei a belső háromszög oldalfelező merőlegesei (a egy pontban metszik egymást), a négyszög három belső szögét pedig felezik. Ezért ez a pont egyenlő távolságra van a négyszög oldalaitól, tehát a beírható kör középpontja.
Tengelyesen szimmetrikus négyszögek:
Tengelyesen szimmetrikus négyszög: Egy négyszög tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli tengelyes tükrözés, amelynek az adott négyszög invariáns alakzata. E tükrözés tengelyét a négyszög szimmetriatengelyének nevezzük.
1. Nincs a szimmetriatengelyen csúcs:
Ha nincs a szimmetriatengelyen csúcs, akkor a négyszög két-két csúcsa egymásnak tükörképei, vagyis a tengely két szemközti oldal közös felezőmerőlegese. E két, a tengelyre merőleges oldal párhuzamos, így ezek a négyszögek szimmetrikus trapézok (illetve azok speciális esetei: téglalap, négyzet).
A szimmetrikus trapézok húrnégyszögek.
A tengelyszimmetria miatt ezek mindegyikére igaz, hogy:
alapon fekvő szögeik egyenlő nagyságúak,
száraik egyenlő hosszúak
átlóik egyenlő hosszúak és a szimmetriatengelyen metszik egymást
2. Van a szimmetriatengelyen csúcs:
Ha van csúcs a szimmetriatengelyen, akkor a négyszög két csúcsa is a szimmetriatengelyen kell, hogy legyen, a másik kettő pedig egymásnak tükörképe. Így az ábra jelöléseivel: AD=AB és DC=BC. Tehát ezek a négyszögek a deltoidok (illetve azok speciális esetei: rombusz, négyzet).
A konvex deltoidok érintőnégyszögek.
A tengelyszimmetria miatt ezek mindegyikére igaz, hogy:
két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosszú,
egyik átlójuk merőlegesen felezi a másik átlót
egyik átlójuk (a szimmetriatengely) felezi a négyszög két szemközti szögét,
van két szemközti egyenlő nagyságú szögük.
Szimmetriatengelyek száma szerinti csoportosítás:
1 tengely: szimmetrikus trapéz és deltoid
2 tengely: rombusz és téglalap
4 tengely: négyzet
Középpontosan szimmetrikus négyszögek:
Középpontosan szimmetrikus négyszög: Egy négyszög középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, melynek az adott négyszög invariáns alakzata. E tükrözés középpontját a négyszög szimmetria-középpontjának nevezzük.
Ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus, akkor két-két csúcsa egymásnak középpontos tükörképe, vagyis az átlók felezik egymást. Tehát középpontosan szimmetrikus négyszögek a paralelogrammák (illetve speciális eseteik: rombusz, téglalap, négyzet).
A középpontos szimmetria miatt ezek mindegyikére igaz, hogy:
szemközti oldalaik párhuzamosak,
szemközti szögeik egyenlő nagyságúak,
bármely két szomszédos belső szögük összege 180°,
szemközti oldalaik egyenlők,
van két szemközti oldaluk, amelyek párhuzamosak és egyenlő hosszúak,
átlóik felezik egymást, és metszéspontjuk a szimmetriacentrum.
Forgásszimmetrikus négyszögek:
Forgásszimmetrikus négyszög: Egy négyszög forgásszimmetrikus, ha van a síkjában olyan (az identitástól különböző) pont körüli forgatás, melynek a négyszög invariáns alakzata. E forgatás középpontját a négyszög forgáscentrumának nevezzük.
A középpontos tükrözés egyenértékű a forgáscentrum körüli 180°-os elforgatással, ezért a középpontosan szimmetrikus négyszögek ezeknek a forgatásoknak is invariáns alakzatai, Így a középpontosan szimmetrikus négyszögek forgásszimmetrikusak is.
A forgásszimmetrikus négyszögek a paralelogrammák.
A négyzet a 90°-os és a 270°-os elforgatásnak is invariáns alakzata a 180°-os mellett.
Alkalmazások:
Matematikai:
Bizonyítsuk be, hogy egy hegyesszögű háromszög magasságpontjának az oldalfelező pontokra vonatkozó tükörképei a háromszög köré írható körén vannak.
A hegyesszögű ABC háromszög magasságtalppontjai rendre Ta, Tb, Tc, M a magasságpont. M’ a magasságpont BC oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe.
A bizonyítandó állítás, hogy ABM’C húrnégyszög.
Mutassuk meg, hogy a szemben fekvő szögeinek összege 180°!
1. Az ATcMTb négyszög belső szögösszege 360°. Így, mivel a Tc és Tb csúcsoknál lévő szögek derékszögek, az A-nál lévő α szöggel szemben az M csúcsnál 180°-α nagyságú szög van.
2. Az MBM’C négyszög a középpontos tükrözés miatt paralelogramma. Ennek M-nél fekvő szöge 180°-α, mert csúcsszögpárt alkot az előbbi ATcMTb négyszög M-nél fekvő 180°- α nagyságú szögével.
4. Mivel az ABM’C négyszögben két szemközti szög α és 180°- α nagyságú, teljesül rá a húrnégyszögekre vonatkozó tétel megfordítása, vagyis húrnégyszög. Ebből az következik, hogy az M’ pont az ABC háromszög köré írható körén van.
A másik két oldalfelező pontra történő bizonyítás hasonlóképpen történhet.
Matematikán kívüli:
A szimmetrikus négyszögek fontos szerepet játszanak az építészetben (pl. mozaikdíszítések, padlók) és a művészetben.
Mivel az erőhatásokat jelképező vektorok a paralelogramma módszer segítségével adhatók össze, a fizikában is fontos szerepet játszanak a szimmetrikus négyszögekkel kapcsolatos ismeretek.
A szilárdtest-fizika is támaszkodik a szimmetrikus négyszögekkel kapcsolatos ismeretekre a kristályszerkezetek felépítésének vizsgálatakor.
Megjegyzés küldése