Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei
Definíciók:
Oldalfelező merőleges: A háromszög oldalának szakaszfelező merőlegese.
Belső szögfelező: A háromszög egy belső szögének felező egyenese.
Magasságegyenes: A háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges egyenes.
Magasság: A magasságegyenes csúcs és oldal közé eső szakasza.
Külső szögfelező: A háromszög egyik külső szögének felező egyenese.
Súlyvonal: A háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezéspontjával összekötő szakasz.
Euler-egyenes: A háromszög magasságpontján és köré írt körének középpontján átmenő egyenes.
A háromszög középvonala: A háromszög két oldalának felezéspontját összekötő szakasz.
A háromszög köré írt kör középpontja: Annak a körnek a középpontja, amelynek a háromszög csúcsai pontjai.
A háromszögbe írt kör középpontja: Annak a körnek a középpontja ami érinti a háromszög minden oldalát.
A háromszög magasságpontja: A háromszög két magasságegyenesének metszéspontja.
A háromszög súlypontja: A háromszög két súlyvonalának metszéspontja.
A háromszöghöz írt kör középpontja: Olyan körnek a középpontja, ami érinti a háromszög egy oldalát és két oldalegyenesét a háromszög oldalán kívül.
A háromszög izogonális pontja: Olyan pont, melyből a háromszög oldalai egyenlő szög alatt látszanak.
A háromszög köré írt köre: Az a kör, amelynek a háromszög csúcsai pontjai.
A háromszögbe írt kör: Olyan kör, ami érinti a háromszög minden oldalát.
A háromszöghöz írt kör: Olyan kör, ami a háromszög egy oldalát és két oldalegyenesét a háromszög oldalán kívül érinti.
Feuerbach-kör (kilenc pont köre, Euler-kör): A háromszög oldalainak felezőpontjai által meghatározott háromszög köré írt köre.
Tételek:
A háromszög oldalainak felezõmerõlegesei egy pontban metszik egymást.
Legyen az ABC háromszög AB oldalának felezõmerõlegese e. Ennek minden pontja egyenlõ távolságra van A-tól és B-tõl.
A BC oldal felezõmerõlegese legyen f. Ennek minden pontja egyenlõ távolságra van B-tõl és C-tõl.
Mivel AB és BC metszi egymást, a felezõmerõlegeseik is metszik egymást, mert a metszõ egyenesekre merõlegesek.
A felezõmerõlegesek M metszéspontja egyenlõ távolságra van A-tól, B-tõl és C-tõl is, tehát rajta van az AC oldal felezõmerõlegesén is.
Az M metszéspont rajta van mindhárom felezõmerõlegesen, így egyenlõ távolságra van A, B és C csúcstól.
Tehát ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.
A háromszög belsõ szögfelezõi egy pontban metszik egymást.
Mivel K ráesik az f
-re, K egyenlõ távolságra van b-tõl és c-tõl.
Mivel K ráesik az f
-re, K egyenlõ távolságra van a-tól és c-tõl.
Ezért K egyenlõ távolságra van a-tól és b-tõl, és ráesik a c szög szögfelezõ egyenesére is.
Mivel K egyenlõ távolságra van mindhárom oldaltól, ez a pont megfelel a háromszögbe írható kör középpontjának.
Minden háromszögnek van három hozzáírt köre.
Az előző tétel bizonyításához hasonlóan meg lehet mutatni, hogy a háromszög egy belső és két külső szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a pont egyenlő távolságra van a háromszög oldalegyeneseitől.
A háromszög bármely két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont mindkét súlyvonalat 1:2 arányban osztja két részre, a nagyobbik rész másik végpontja a háromszög megfelelő csúcsa.
Az ABC háromszögben E az AC oldal, F a BC oldal felezőpontja. AF és BE a háromszög súlyvonalai. S pont a súlyvonalak metszéspontja, a háromszög súlypontja. Az EF szakasz a háromszög középvonala, tehát párhuzamos AB-vel és a szakasz 
hossza az AB oldal hosszának fele. A BEF és ABE szögek, illetve az AFE és FAB szögek váltószögek, tehát egyenlő nagyságúak. Ezért EFS és ABS háromszögek hasonlóak, tehát megfelelő oldalaik aránya egyenlő.
2∙EF=AB 2∙SF=AS 2∙SE=BS
A háromszög magasságegyenesei egy pontban metszik egymást.
C’B’||BC
C’A’||AC
A’B’||BA
ABA'C paralelogramma (szembelévõ oldalai párhuzamosak
CA' = AB
AC = BA'
Hasonlóan belátható, hogy:
B'C = AB
C'B = AC
B'A = CB
AC' = CB
Þ A, B, C az A'B'C' háromszög oldalfelezõ pontjai
Mc ^ AB és A'B' || AB Þ Mc ^ A'B'
Þ Mc az A'B'C' háromszög egyik oldalfelezõ merõlegese
Hasonló módon belátható, hogy Ma és Mb szintén oldalfelezõ merõlegesek.
Így az A'B'C' háromszög oldalfelezõ merõlegesei egybeesnek az ABC háromszög magasságvonalaival.
Mivel az oldalfelezõ merõlegesek egy pontban metszik egymást, az ABC háromszög magasságvonalai is.
Alkalmazások:
Matematikai:
A háromszög területe egyenlő a beírt kör sugarának és a félkerületnek a szorzatával.
A háromszög területe egyenlő a félkerület és egy oldal különbsége valamint az oldalhoz írt kör sugarának szorzatával.
Egyéb:
Egy homogén, vékony háromszög lemezt egy gombostű hegyén akarjuk egyensúlyozni. Hol támasszuk alá a tűvel, hogy ne essen le?
Három ház elektromos árammal történő ellátását egy oszlopról akarják megoldani. Hova állítsák az oszlopot, ha a lehető legkevesebb vezetéket akarják felhasználni.
Egy ismert oldalú, háromszög alaprajzú telken egy kör alaprajzú víztározót akarnak építeni. Mekkora lehet ennek a sugara?
Megjegyzés küldése