Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között
Definíciók:
A háromszög csúcsai: Három, nem egy egyenesbe eső pont.
A háromszög oldalai: A háromszög csúcsait összekötő szakaszok.
A háromszög belső szöge: A háromszög egyik csúcsából induló, a másik két csúcsot tartalmazó félegyenesek által bezárt szög.
Derékszögű háromszög: Olyan háromszög, aminek egyik belső szöge derékszög.
Befogó: A derékszögű háromszögben a derékszög melletti oldalakat befogóknak nevezzük.
Átfogó: A derékszögű háromszögben a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük.
Tételek:
1. Ha egy háromszögben van két egyenlő oldal, akkor az azokkal szemben fekvő szögek egyenlők.
Bizonyítás:
Kössük össze a harmadik oldal felezéspontját az egyenlő oldalak közös csúcsával! Ekkor a háromszöget két egybevágó háromszögre bontottuk. (Három oldaluk egyenlő.)
Egybevágó háromszögek megfelelő szögei egyenlők, a tételt bebizonyítottuk.
Bizonyítás:
Indirekt módon bizonyítjuk, az előző tétellel kerülünk ellentmondásba.
3. Ha egy háromszögbe egyik oldal nagyobb, mint a másik, akkor az elsővel szemközti szög is nagyobb, mint a másodikkal szemközti.
a<baα<β
Bizonyítás:
Ha a<b, akkor a b oldalra felmérhetünk egy a hosszúságú szakaszt.
Így egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek alapon fekvő δ szöge kisebb, mint β.
Toljuk el a szaggatott vonalat α csúcsához! A keletkező szög ismét δ nagyságú, és nagyobb α-nál.
α<δ<β
α<βaa<b
Bizonyítás:
Ha α<β, akkor ismét létrehozhatunk egy egyenlő szárú háromszöget, melynek két alapn fekvő szöge α. Toljuk el a szaggatott vonalat a háromszög harmadik csúcsához! Így egy újabb egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek két szára b hosszúságú, és nagyobb, mint a.
5. Pitagorasz-tétel:
A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.
Bizonyítás:
A befogótétel miatt:
6. Szinusztétel:
Bármely háromszögben bármely két oldal aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak az arányával.
Bizonyítás:
a) Hegyesszögű háromszög esetén:
A bal oldalak egyenlőségéből következik:
b) Tompaszögű háromszög esetén:
A bal oldalak egyenlőségéből következik:
Mivel 
, 
.
Mindkét esetben ugyanahhoz az összefüggéshez jutunk:
7. Koszinusztétel: Bármely háromszögben, bármely oldal négyzete megkapható úgy, hogy a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk azt a háromtényezős szorzatot, amelynek tényezői a másik két oldal és a közbezárt szög koszinusza.
Bizonyítás:
Tekintsük a következő vektorokat!
8. Tangenstétel:
A háromszögben alkalmazva a szokásos jelöléseket, ha a≠b:
Alkalmazások:
Matematikai:
A háromszög oldalainak és szögeinek kiszámításánál.
Matematikán kívüli:
A fizika minden olyan területén használják ezeket az ismereteket, ahol vektorok összegzése, hajlásszögük kiszámítása a feladat.
A háromszögelésnél (tereppontok térbeli helyzetének meghatározása).
GPS (Global Positioning System)
Megjegyzés küldése