Derékszögű háromszögek
Definíciók:
Derékszögű háromszög: olyan háromszög, amelynek van 90°-os szöge.
Befogó: a derékszöget közrefogó oldalakat nevezzük befogónak.
Átfogó: a derékszöggel szemközti oldal.
Magasságvonal, magasságegyenes: a háromszögnek egy csúcsából a szemközti oldalegyenesére bocsátott szakaszt (egyenest) a háromszög magasságának (magasságvonalának) nevezzük.
Derékszögű háromszögeknél a befogóhoz tartozó magasságok a másik befogóval egyeznek meg: 
.
Oldalfelező merőleges: azt az egyenest, amely egy szakasz felezőpontján halad át, és amely merőleges a szakaszra, a szakasz (oldal) felezőmerőlegesének nevezzük. (A szakasz felezőmerőlegese a szakasz két végpontjától egyenlő távol lévő pontok halmaza a síkon.)
Hegyesszögek szögfüggvényei:
Két háromszög hasonló, ha két szöge egyenlő. Hasonló háromszögekben az oldalak aránya egyenlő. Ebből következik, hogy bármely két derékszögű háromszög hasonló, ha egy hegyesszögük egyenlő. Ebben az esetben tehát oldalaik aránya egyenlő.
Ha a derékszögű háromszögben megváltoztatjuk az egyik hegyesszöget, akkor megváltozik az oldalak aránya, és fordítva, ha két derékszögű háromszögben az oldalak aránya eltérő, akkor azok nem hasonlóak, hegyesszögeik eltérőek.
Tehát a derékszögű háromszögekben az oldalak aránya jellemző a hegyesszögre, ezért ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük.
A derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó arányát a szög szinuszának nevezzük. 
A derékszögű háromszögben a hegyesszög melletti befogó és az átfogó arányát a szög koszinuszának nevezzük.
A derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó arányát a szög tangensének nevezzük.
A derékszögű háromszögben a hegyesszög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó arányát a szög kotangensének nevezzük.
Tételek:
Magasságtétel:
Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja.
Bizonyítás
Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az m magasságra bizonyítjuk, hogy a BT (p) és az AT (q) mértani közepe. Az ATC és a CTB háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik merőleges szárú szögek, tehát egyenlők. A hasonlóság miatt megfelelő oldalaik aránya megegyezik.
Befogótétel:
Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának.
Bizonyítás
ill. 
Pitagorasz-tétel:
A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.
Bizonyítás
A befogótétel miatt:
Thalész tétele
Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.
Bizonyítás
Vegyünk fel egy O középpontú kört, és annak egy AB átmérőjét, majd az A és a B pontokat kössük össze a kör egy tetszőleges C pontjával az ábra szerint.
OA=OC=r, tehát OAC háromszög egyenlő szárú, így 
.
OB=OC=r, tehát OBC háromszög egyenlő szárú, így 
.
A háromszög belső szögeinek összege 180°: 
Thalész tételének megfordítása
Ha egy háromszög derékszögű, akkor a köré írható körének középpontja az átfogó felezőpontja.
Bizonyítás
Vegyünk fel egy ABC derékszögű háromszöget, és tükrözzük átfogójának felezőpontjára.
A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt BC=AC’ és AC’BC szögei 90°-osak (), tehát AC’BC téglalap. A téglalap átlói egyenlők és felezik egymást, így AF=FB=FC, vagyis F egyenlő távol van az ABC háromszög csúcsaitól, így a köré írható kör középpontja.
Alkalmazások:
Matematikai:
A matematikában a síkidomok magasságának kiszámításánál gyakran használjuk Pitagorasz tételét.
Testek térfogatának, felszínének kiszámításánál, megfelelő síkmetszetben.
Matematikán kívüli:
Fizikában az erők felbontásánál (vízszintes és függőleges komponensekre).
Forgatónyomatékok kiszámításánál, sebességek, mágneses indukcióvektor, térerősség felbontásánál.
Építészetben
Földmérésnél
Megjegyzés küldése