A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában
Definíció: Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi.
Jelölése: A~B A alakzat hasonló B alakzathoz
Tulajdonságai:
Minden alakzat hasonló önmagához, azaz A~A
Ha A~B, akkor B~A
Ha A~B és B~C, akkor A~C
Definíció: A középpontos hasonlósági transzformáció és egybevágósági transzformáció egymás utáni végrehajtásával kapott transzformációkat hasonlósági transzformációknak nevezzük.
Ha a hasonlósági transzformáció egy λ arányú középpontos hasonlóság és egy egybevágósági transzformáció egymásutánja, akkor λ arányú hasonlósági transzformációról beszélünk.
Az egybevágósági transzformációk olyan hasonlósági transzformációk, amelyekre |λ|=1.
Ha λ=1, akkor identitás, ha λ=-1, akkor középpontos tükrözés.
Tulajdonságai:
A hasonlósági transzformáció egyenest egyenesbe transzformál.
A hasonlósági transzformáció szögtartó, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságú.
A λ arányú hasonlósági transzformáció esetén bármely A, B pontokra és A', B' képeikre teljesül, hogy A'B'/AB=|λ|
Definíció: Adott egy O pont és egy λ (O-tól különböző) valós szám. Az O középpontú, λ arányú középpontos hasonlósági transzformáció a sík egy tetszőleges, az O ponttól különböző P pontjához rendel egy P' pontot úgy, hogy P' az OP egyenes azon pontja, amelyre OP'=|λ|∙OP, és ha λ>0, akkor P' az OP félegyenes pontja, ha λ<0, p="O," p="P'.
Ha |λ|>1, akkor nagyításról, ha |λ|<1,>
Tulajdonságai:
Ha λ≠1, akkor a transzformáció egyetlen fixpontja az O középpont. Ha λ=1, akkor a tér minden pontja fixpont, azaz a transzformáció az identikus leképezés.
Az O középpontra illeszkedő egyenesek a transzformáció invariáns egyenesei. Ha λ≠1, akkor más invariáns egyenes nincs.
Bármely, az O középpontra nem illeszkedő egyenes képe az eredetivel párhuzamos, O-ra nem illeszkedő egyenes.
A középpontos hasonlóság szögtartó transzformáció, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságúak.
A λ arányú középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének hossza az eredeti szakasz hosszának |λ|-szerese (aránytartó), azaz bármely A és B pontok esetén A'B'=|λ|∙AB.
A síkbeli középpontos hasonlóság nem változtatja meg az alakzatok körüljárási irányát, azaz irányítástartó.
Tétel: Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül:
megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő
két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek nagysága egyenlő
két-két szögük páronként egyenlő nagyságú
két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemben levő szögek nagysága egyenlő.
Tétel: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő, és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak.
A következőkben néhány fontos tételt bizonyítunk be a hasonlóság alkalmazásával.
Tételek:
1. A háromszög bármely két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont mindkét súlyvonalat 1:2 arányban osztja két részre, a nagyobbik rész másik végpontja a háromszög megfelelő csúcsa.
Az ABC háromszögben E az AC oldal, F a BC oldal felezőpontja. AF és BE a háromszög súlyvonalai. S pont a súlyvonalak metszéspontja, a háromszög súlypontja. Az EF szakasz a háromszög középvonala, tehát párhuzamos AB-vel és a szakasz 
hossza az AB oldal hosszának fele. A BEF és ABE szögek, illetve az AFE és FAB szögek váltószögek, tehát egyenlő nagyságúak. Ezért EFS és ABS háromszögek hasonlóak, tehát megfelelő oldalaik aránya egyenlő.
2∙EF=AB 2∙SF=AS 2∙SE=BS
2. Magasságtétel:
Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja.
Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az m magasságra bizonyítjuk, hogy a BT (p) és az AT (q) mértani közepe. Az ATC és a CTB háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik merőleges szárú szögek, tehát egyenlők. A hasonlóság miatt megfelelő oldalaik aránya megegyezik.
3. Befogótétel:
Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának.
ill. 
4. Pitagorasz-tétel:
A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.
A befogótétel miatt:
5. Két természetes szám számtani közepe nagyobb vagy egyenlő a mértani közepükkel.
Alkalmazás:
A hasonlóságot használják ki például a térképészetben is. Mivel Földünk megközelítőleg gömb alakú, geometriailag teljesen hű képét egy síkban torzítás nélkül elő nem állíthatjuk. A térkép készítésekor keresztülvihető az, hogy egy kívánt tulajdonság torzításmentes legyen, de csakis egy. A térkép lehet távolságtartó, ha a rajta ábrázolt távolságok a természetben levővel a térkép középpontjából sugarasan mérve egyformán arányosak; területtartó, ha a területek a térképen arányosak a valóságos területtel; szögtartó, ha a térképen rajzolt minden szög éppen akkora, mint a valóságban. Ezek közül síklapon egyszerre csak egy követelmény valósítható meg s a másik kettő akkor torzulást mutat.
Megjegyzés küldése