Friss tételek

Függvények vizsgálata elemi úton és a differenciálszámítás felhasználásával [emeltmatek]

Definíciók:

1. Függvény:
Legyen X és Y két nem üres halmaz. Azt mondjuk, hogy megadtuk az X halmazon értelmezett Y-beli értékeket felvevő függvényt, ha X minden eleméhez hozzárendeltük az Y egy és csakis egy elemét. A függvény egyértelmű hozzárendelés (leképezés).
Jele: f.

2. Értelmezési tartomány:
Értelmezési tartománynak nevezzük az X halmazt. Az f függvény értelmezési tartományának jele: Df

3. Értékkészlet:
Az Y halmaz azon elemeiből álló halmaz, amelyek a hozzárendelésnél előfordulnak: Az f függvény értékkészletének jele: Rf

Megjegyzés: Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük az értelmezési tartományát, és annak minden eleméről tudjuk, hogy a függvény melyik értékkészletbeli elemet rendeli hozzá. A függvény megadása történhet formulával, táblázattal, nyíldiagrammal vagy grafikonnal – ha az értelmezési tartomány és az értékkészlet is számhalmaz. Ezek a leggyakoribb megadási módok.

4. Helyettesítési érték, vagy függvényérték:
Ha , akkor a c helyen felvett függvényértéket f(c)-vel jelöljük.

5. Zérushely:
Az értelmezési tartomány azon eleme, ahol a függvényérték nulla.
f(x0)=0

6. Függvénygrafikon:
Ha az értelmezési tartomány és az értékkészlet is számhalmaz, akkor a függvényt grafikonon tudjuk szemléltetni. A grafikon az (x;f(x)) pontok halmaza.

7. Egy-egyértelmű, vagy kölcsönösen egyértelmű függvény:
Az olyan függvényt, amelynél az értékkészlet minden elemét pontosan egy értelmezési tartománybeli elemhez rendeltük hozzá, egy-egyértelmű, vagy kölcsönösen egyértelmű függvénynek nevezzük.

8. Inverz függvény:
Legyen f olyan függvény, amely értelmezési tartománya és értékkészlete között kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot létesít. Ekkor f inverz függvényének azt az f--1 függvényt nevezzük, amelynek értelmezési tartománya az f függvény értékkészlete, és f—1(f(x))=x; xDf.

Megjegyzés: Bármely invertálható f valós függvény f—1 inverzének a grafikonját megkapjuk, ha az f grafikonját tükrözzük az y=x egyenesre, amennyiben egyenlő beosztást vettünk fel a két koordinátatengelyen.

9. Összetett függvény:
Ha adottak az f és g függvények, amelyekre teljesül, akkor értelmezhető a következő összetett függvény: minden esetén.

Elemi függvények:

* Elsőfokú függvény

* Másodfokú függvény

* Abszolútértékes kifejezést tartalmazó függvény

* Hatványfüggvény

* Gyökfüggvény

* Elsőfokú törtfüggvény

* Exponenciális függvény

* Logaritmusfüggvény

* Trigonometrikus függvények

Függvénytranszformációk:

A függvényérték transzformációi

A változó transzformációi

f(x)+c

f(x+c)

A függvény képe az y tengellyel párhuzamosan eltolódik |c| egységgel;
ha c>0 pozitív,
ha c<0>

A függvény képe az x tengellyel párhuzamosan eltolódik |c| egységgel;
ha c>0 balra,
ha c<0>

-f(x)

f(-x)

A függvény képe az x tengelyre tükröződik.

A függvény képe az y tengelyre tükröződik.

c∙f(x)

f(c∙x)

A függvény képe az y tengellyel párhuzamosan c-szeresére
megnyúlik, ha c>1
összenyomódik, ha 0<1.


A függvény képe az x tengellyel párhuzamosan 1/c-szeresére
összenyomódik, ha c>1
megnyúlik, ha 0< c<1.


Függvények vizsgálata elemi úton:

Elemi úton vizsgálhatók azok a függvények, amelyek valamely alapfüggvény transzformációjaként előállíthatók.

Függvények vizsgálata differenciálszámítással:

A függvények vizsgálatánál elsődleges feladatunk az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata.

Ezután azt vizsgáljuk, hogy vannak-e zérushelyei, és ha vannak, akkor azokat a változó mely értékeinél veszi fel a függvény.

A függvények menetének jellemzésére bevezettünk néhány új fogalmat.
Ha az f függvény értelmezési tartományának egy intervallumában a változó bármely x1<x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll, hogy

f(x1)>f(x2), akkor ott a függvény

szigorúan monoton csökkenő

f(x1)<f(x2), akkor ott a függvény

szigorúan monoton növekvő

f(x1)≥f(x2), akkor ott a függvény

monoton csökkenő

f(x1)≤f(x2), akkor ott a függvény

monoton növekvő

* Az f függvénynek minimuma van a változó x1 értékénél, ha a függvény az ott felvett f(x1) értéknél sehol sem vesz fel kisebb értéket.
Az f függvénynek maximuma van a változó x1 értékénél, ha a függvény az ott felvett f(x1) értéknél sehol sem vesz fel nagyobb értéket.
Az f függvénynek helyi minimuma van a változó a értékénél, ha létezik az a-nak egy olyan környezete, amelyben az f függvény az x=a-nál felvett f(a) függvényértéknél kisebb értéket nem vesz fel.
Az f függvénynek helyi maximuma van a változó b értékénél, ha létezik az b-nek egy olyan környezete, amelyben az f függvény az x=b-nél felvett f(b) függvényértéknél nagyobb értéket nem vesz fel.

A függvény menetét és szélsőértékeit az első derivált segítségével határozzuk meg, a következőképpen (x0 az első derivált zérushelye):

f’

+

0

+

ponton növekedve halad át

f

k

k

f’

+

0

-

f

k

Max.

m

f’

-

0

+

f

m

Min.

k

f’

-

0

-

ponton csökkenve halad át

f

m

m

* Egy f függvény az [a; b] intervallumon (alulról) konvex, ha ott értelmezve van, és az intervallumon minden a <>1 <>2 <> pontpárra a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz alatt halad.

* Egy f függvény az [a; b] intervallumban (alulról) konkáv, ha ott értelmezve van, és az intervallumon minden a <>1 <>2 <> pontpárra a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz felett halad.

A görbületet a második derivált segítségével határozzuk meg, a következőképpen (x0 a második derivált zérushelye):

f’’

+

0

+

f

f’’

+

0

-

f

Infl.

f’’

-

0

+

f

Infl.

f’’

-

0

-

f

Ezután a határértékeket vizsgáljuk a végtelenben és a szakadáspontokban, ha vannak ilyenek.

Végül ábrázoljuk a függvényt.

* Az függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan konstans, hogy minden x-re fennáll, hogy , és az egyenlőség. Az ilyen p számok közül a legkisebbet a függvény periódusának nevezzük.

* Az függvényt páros függvénynek nevezzük, ha bármely x értékkel együtt –x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és bármely x-re . Páros függvény képe szimmetrikus a koordinátasík tengelyére.
Az függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha bármely x értékkel együtt –x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és bármely x-re . Páratlan függvény képe szimmetrikus a koordinátasík origójára.

Lagrange-tétel:

Ha f az -on differenciálható, akkor van olyan c pont, hogy a< c, és .

A monotonitás és a differenciálhányados kapcsolata

Legyen f értelmezve valamely -on, és tegyük fel, hogy itt differenciálható is. Tekintve, hogy a különbségi hányados számlálójában két függvényérték, a nevezőben pedig a megfelelő argumentumok különbsége szerepel, ezért várható, hogy a derivált előjele és a függvény monotonsága között szoros kapcsolat van.

Ha minden -re, akkor az f függvény szigorúan monoton növekvő az -on.

Bizonyítás

Ha minden -re, akkor bárhogyan is adunk meg az -ból két pontot, a Lagrange tétel szerint van olyan , hogy .

A feltevés szerint és , ebből pedig következik. az két tetszőleges pontja volt, ezért tehát f szigorúan monoton növekvő függvény az -on.

Ha minden -re, akkor az f függvény szigorúan monoton csökkenő az -on.

Bizonyítás

Ha minden -re, akkor bárhogyan is adunk meg az -ból két pontot, a Lagrange tétel szerint van olyan , hogy .

A feltevés szerint és , ebből pedig következik. az két tetszőleges pontja volt, ezért tehát f szigorúan monoton csökkenő függvény az -on.

Alkalmazások:

Matematikai:

* Szélsőérték feladatok megoldásánál

* Másodfokú egyenletek megoldása

* Függvényvizsgálatnál

* Érintő egyenletének fölírásánál

* A geometriai transzformációk ponthalmazhoz ponthalmazt rendelő függvények.

* A kétszeres nagyítás inverze az ugyanilyen középpontú, ½-szeres nagyítás (azaz kicsinyítés).

* A sokszögek területe olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a sokszögek halmaza, értékkészlete pedig a pozitív valós számok halmaza.

* A számsorozat a pozitív egész számok halmazán értelmezett függvény, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza.

Matematikán kívüli:

* Az év minden napjához egyértelműen hozzárendelhetjük az aznapi átlaghőmérsékletet. Az adatokat grafikonon ábrázolhatjuk.

* A Celsius és Fahrenheit hőmérsékleti skálák közötti kapcsolatot a lineáris függvény írja le, ahol az értelmezési tartomány a Fahrenheitben mért hőmérsékletek halmaza. Ezzel az összefüggéssel kapjuk, hogy pl. 35°C-nak 95°F, -4°F-nak pedig -20°C felel meg.

* Út-idő, sebesség-idő, gyorsulás-idő grafikonja

* Változó erő munkájának kiszámításánál

Share this:

1 megjegyzés :

  1. Jó lenne ez a tétel, csak kár h a képleteket, matematikai jelöléseket tartalmazó képeket nem jeleníti meg. :(

    VálaszTörlés

 
Copyright © 2007- Érettségi vizsga tételek gyűjteménye. Designed by OddThemes | Distributed By Gooyaabi Templates