Vektorok
A vektorok irányított szakaszok, hosszuk a vektor abszolútértéke.
Definíciók:
Egyállású vektorok: olyan vektorok, amelyekhez találhatunk olyan egyenest, amely mindegyikkel párhuzamos.
Egyenlő vektorok: olyan vektorok, melyek egyállásúak, irányuk azonos és abszolútértékük egyenlő.
Nullvektor: olyan vektor, melynek abszolútértéke 0 és bármely vektorral egyállású (iránya tetszőleges).
Ellentett vektorok: abszolútértékük egyenlő, egyállásúak és ellentétes irányúak.
Egysíkú vektorok: olyan vektorok, amelyekhez találhatunk olyan síkot, amely mindegyikkel párhuzamos.
Műveletek vektorokkal:
Vektorok összegzése:
Két vektor összeadásánál egy pontból kiindulva felmérjük az egyik vektort, majd ennek végpontjába a másik vektort. Összegük az a vektor, amely az első kezdőpontjából a második végpontjába mutat.
Két vektor összeadása kommutatív művelet, ugyanis, ha az ábrán látható a és b vektort ugyanazon pontból mindkét sorrendben felmérjük, akkor egy paralelogramma alakul ki. Az a+b vektor mindkét esetben a paralelogrammának az az átlója, amely a közös kezdőpontból indul ki.
Több vektor összeadása esetén először két vektort összegezünk, majd ehhez az összegvektorhoz hozzáadunk egy újabb vektort stb.
A vektorok összeadása asszociatív művelet, ezt az ábra segítségével megmutathatjuk. 
Több vektor összeadása esetén a vektorok egymás utáni felmérésével, a vektorok „egymáshoz fűzésével” szerkesztjük meg az összegvektort.
Két vektor különbsége:
Az a és b vektorok különbségén az a+(-b) összeget értjük, azaz a vektorhoz hozzáadjuk a b vektor ellentettjét.
Két vektor különbségének a megszerkesztése történhet a definíció alapján, de a különbségvektort megszerkeszthetjük úgy is, hogy a két vektort egy pontból kiindulva mérjük fel. A két vektor különbsége a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor.
Vektor szorzása számmal (skaláris szorzat):
Vektorok skaláris szorzatát több lépésben értelmezzük:
Ha a vektor nullvektor, akkor bármilyen λ valós számmal szorozzuk, a szorzat nullvektor.
Ha a≠0 és λ valós számmal szorozzuk, akkor λa olyan vektor, amelynek abszolútértéke |λ|∙|a| és iránya
· 0<λ esetén a iránya,
· λ=0 esetén λa=0, iránya tetszőleges,
· λ<0 style="">a irányával ellentétes.
A definíció alapján a vektorok számmal történő szorzása nyújtást (1<|λ|) vagy zsugorítást (|λ|<1)>
Számmal történő szorzással egyállású vektorhoz jutunk. Ez fordítva is igaz: Ha adott egy nem nullvektor, akkor a vele egyállású bármely vektor előállítható annak számszorosaként.
A skaláris szorzat tulajdonságai:
α(βa)=(αβ)a
αa+βa=(α+β)a
α(a+b)=αa+αb
Az első két állítás közvetlenül az értelmezésből következik.
A harmadik állítás kimondja, hogy a vektorok szorzása skalárral a vektorösszegzésre nézve disztributív. Ez az alábbi ábra alapján is beláthatjuk:
Az a és a b vektorok ból az előző értelmezések alapján képzett v=αa+βb vektort az a, b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.
Két vektor skaláris szorzata:
Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolútértékének és hajlásszögük koszinuszának szorzatát értjük. A φ (0°≤ φ ≤180°) hajlásszöget bezáró a és b vektorok skaláris szorzata: ab=|a|∙|b|∙cosφ.
Két vektor skaláris szorzata kommutatív: ab=ba. Ez a definícióból következik, ugyanis mindkét skaláris szorzat ugyanannak a három számnak a szorzata, számok szorzása pedig kommutatív művelet.
Vektorok skaláris szorzása nem asszociatív.
Tekintsük az (ab)c szorzatot. Az ab skaláris szorzat, azaz egy szám, így az (ab)c szorzat a c vektornak egy számszorosa, az a(bc) szorzat pedig az a vektornak egy számszorosa.
Általában (ab)c≠ a(bc).
Skaláris szorzatot egy valós számmal úgy is szorozhatunk, hogy a számmal az egyik tényezőjét szorozzuk: λ(ab)=(λa)b=a(λb), ez a skaláris szorzat definíciójából következik.
Bármely a, b, c vektorokra fennáll az (a+b)c=ac+bc azonosság, azaz a skaláris szorzás a vektorösszeadásra nézve disztributív.
Egy vektor önmagával való skaláris szorzatát a vektor négyzetének mondjuk. Ekkor a két vektor hajlásszöge 0°, ezért a2=|a|2. Átalakítva: 
, azaz egy vektor abszolútértéke a vektor négyzetének négyzetgyöke.
Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor pozitív, ha egyik sem nullvektor, és hajlásszögük (0°≤ φ <90°).
Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor negatív, ha egyik sem nullvektor, és hajlásszögük (90°< φ ≤180°).
Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor
Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0, mert ekkor cos90°=0.
Ha két vektor skaláris szorzata 0, akkor az ab=|a|∙|b|∙cosφ miatt vagy cosφ=0, azaz a két vektor merőleges egymásra, vagy a vektorok között van nullvektor. A nullvektor iránya azonban tetszőleges, ezért ebben az esetben is tekinthetjük a két vektor hajlásszögét 90°-nak.
Vektoriális szorzat:
Két vektor (a, b) vektoriális szorzata olyan vektort eredményez (axb), melynek hossza a vektorok abszolútértékének és hajlásszögük szinuszának szorzata és amely ezen vektorok síkjára merőleges úgy, hogy a, b és axb ilyen sorrendben jobbrendszert alkot.
|axb|=|a|∙|b|∙sinφ.
A vektoriális szorzat néhány tulajdonsága:
axb = -(bxa)
A vektoriális szorzás nem kommutatív.
λ(axb) = (λa)xb = ax(λb)
cx(a+b) = cxa+cxb
(a+b)xc = axc+bxc
A vektoriális szorzás disztributív a vektorösszeadásra nézve.
Vektorok a koordinátarendszerben:
Helyvektorok: a sík vagy a tér azonos vonatkoztatási pontjából induló vektorok.
A koordináta-rendszerben bármely vektorhoz egyértelműen létezik egy vele egyenlő helyvektor.
A síkbeli derékszögű (x,y) koordináta-rendszer bázisvektorai az origóból az (1;0) pontba mutató i és a (0;1) pontba mutató j egységvektorok.
Ezek alapján a koordinátasík összes v vektora egyértelműen felírható i és j vektorok lineáris kombinációjaként v = v1∙j+v2∙j alakban.
Az így meghatározott v1, v2 rendezett számpárt a v vektor koordinátáinak nevezzük.
Jelölés: v(v1; v2)
Alkalmazások:
Matematikai:
A trigonometriában tetszőleges szög szinuszának és koszinuszának definiálásához használjuk a vektorkoordináta fogalmát.
A koszinusztétel ismert bizonyítása a skaláris szorzat definíciójára épül.
A koordináta-geometria legalapvetőbb segédeszközei a vektorok.
Matematikán kívüli:
Fizikai feladatokban, pl. erők, sebességek összegzésénél, felbontásánál használjuk a vektoroknál tanultakat.
A mechanikai munkát az erő- és elmozdulásvektor skaláris szorzataként értelmezzük.
Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az m magasságra bizonyítjuk, hogy a BT (p) és az AT (q) mértani közepe. Az ATC és a CTB háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik merőleges szárú szögek, tehát egyenlők. A hasonlóság miatt megfelelő oldalaik aránya megegyezik.
Thalész tétele
Bizonyítás