Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon
Szakaszok:
Szakasz hossza:
A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az 
és 
végpontokkal meghatározott szakasz hossza (az 
vektor hossza):
.
Tetszőleges két pont távolsága az általuk meghatározott szakasz hossza.
(Bizonyítása: Pitagorasz-tétellel)
Szakasz osztópontjainak koordinátái:
Szakasz felezőpontja:
Egy szakasz felezőpontjának koordinátái egyenlők a szakaszvégpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepével. Ha és egy szakasz két végpontja, akkor a szakasz 
felezőpontjának koordinátái:
.
A tétel állítása abból következik, hogy a felezőpontba mutató f helyvektor a végpontokba mutató a és b helyvektorok összegének a fele, valamint f helyvektor koordinátái megegyeznek végpontjának, azaz F-nek a koordinátáival.
Szakasz harmadolópontja:
Ha az AB szakasz végpontjának koordinátái és , akkor az A-hoz közelebbi 
harmadolópontjának koordinátái:
;
a B-hez közelebbi 
harmadoló pontjának koordinátái:
.
Bizonyítás:
Az A, B, H pontokhoz vezessenek rendre az a, b, h helyvektorok.
Ekkor h felírható h = a +
összegeként. Mivel H harmadolópont, ezért =
. Így 
.
Tehát a vektorkoordinátákra vonatkozó műveletek alapján:
.
Mivel h helyvektor, ezért végpontjának (H-nak) is ezek a koordinátái.
A B végponthoz közelebbi G harmadolópont esetén hasonló bizonyítással látható be az állítás.
Szakasz m:n arányú osztópontja:
Az AB szakasz végpontjainak helyvektorai 
és 
. A szakaszt az AP:PB=m:n arányban osztó P pont helyvektora: 
.
Az AB szakaszt osszuk fel m+n részre. Ha a P pontot úgy jelöljük ki, hogy az m+n darab szakasz közül az A pont felől m, a B pont felől n legyen, akkor AP:PB=m:n és így 
.
A P osztópont p helyvektora:
.
Az AB szakasz végpontjai és , az m:n arányú osztópontja 
. A vektorok koordinátáival a műveleteket elvégezve kapjuk, hogy 
, valamint 
.
Egyenesek:
Két különböző pont egyértelműen meghatároz egy egyenest. Ha az egyenesnek csak egy pontját adjuk meg, akkor helyzetének egyértelmű megadásához még valamilyen további adatra is szükségünk van.
A koordinátasíkon egy egyenes helyzetét egyértelműen meghatározza:
egy pontja és egy irányvektora,
egy pontja és egy normálvektora,
egy pontja és irányszöge,
egy pontja és az iránytangense (ha létezik iránytangense).
Definíciók:
Egy egyenes irányvektora az egyenessel egyállású bármely vektor, amely nem nullvektor. Jele: 
.
Egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a nullvektortól különböző bármely vektor. Jele: 
.
(Az normálvektorú egyenes irányvektora: 
.
A irányvektorú egyenes normálvektora 
.)
Egy egyenes irányszöge az egyenesnek és az x tengelynek a hajlásszöge.
Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik), az egyenes iránytangensének nevezzük. Jele: 
. (Az x tengelyre merőleges egyeneseknek nincs iránytangensük.)
(Az m iránytangensű egyenes egyik irányvektora: 
, egyik normálvektora: 
.)
Egyenes egyenlete:
Az egyenes egyenlete olyan egyenlet, amelyet az egyenes bármely pontjának a koordinátái kielégítenek, és nem elégítik ki az olyan pontok koordinátái, amelyek az egyenesnek nem pontjai.
Az egyenes egyenletének felírása:
Normálvektora adott:
Adott az egyenes 
pontjának 
helyvektora, valamint normálvektora. Az egyenes egy tetszőleges 
pontjának helyvektora 
.
Az egyenes egy irányvektora a 
vektor, 
.
Az egyenes n normálvektora és 
irányvektora egymásra merőleges, skaláris szorzatuk: 
. Ezt az egyenes vektoregyenletének nevezzük.
Koordináták segítségével érdemes átalakítanunk:
Irányvektora adott:
Ha az egyenest a pontjával és irányvektorával adjuk meg, akkor is az 
alakot használjuk az egyenlet felírásához. Ugyanis most . Az irányvektor koordinátái segítségével felírt egyenlet:
, vagy 
.
Iránytangense adott:
Ha az egyenest a pontjával és m iránytangensével adjuk meg, egyenletének felírásához szintén az alakot használjuk. Ugyanis most , valamint , ezért az egyenes egyenlete:
Ez az egyenes iránytényezős alakja.
Két pontja adott:
Ha az egyenest két pontjával, a 
, 
pontokkal adjuk meg, akkor egyik irányvektora: 
, egyik normálvektora: 
, iránytangense: 
.
Egyenletének alakjai:
Alkalmazások:
Matematikai:
Elemi geometriai problémákat alkalmas koordináta-rendszer választásával algebrailag (esetleg egyszerűbben) oldhatunk meg.
Adott tulajdonságú ponthalmazok megkereséséhez is jól használhatók a koordinátageometriai eszközök.
Alkalmazhatjuk a koordináta-rendszerben síktartományok kijelölésére.
Algebrai feladatok is lefordíthatók a koordináta-geometria nyelvére, és így egyszerűbb a megoldásuk.
Matematikán kívüli:
Koordináta-geometriai módszerekkel oldhatók meg az egyszerű lineáris programozási feladatok, melyek a gazdaság tervezés területén merülhetnek föl, például többféle termék gyártása esetén. Azt vizsgálják – különféle gyártási feltételek mellett – milyen működésnél érhető el maximális nyereség.
Egyenletes mozgások út-idő grafikonja mindig egyenes (szakasz); az egyenes vonalú mozgások vizsgálatakor a mozgás pályájának egyenlete ismeretében információkat kaphatunk a mozgásról magáról.
Megjegyzés küldése