A kör és a parabola a koordinátasíkon [emeltmatek]

A kör és a parabola a koordinátasíkon

A kör

A kör (körvonal) a sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyek a sík egy adott pontjától adott (nullától különböző) távolságra vannak. Az adott pontot a kör középpontjának, az adott távolságot a kör sugarának, rádiuszának nevezzük.

A kör egyenlete:

Adott a C(u;v) középpontú, r sugarú kör. A középponttól a körvolnal bármely P(x;y) pontja r távolságban van. Ezért . Ez rendezett alakban: .

Ezt az egyenletet az (u;v) középpontú, r sugarú körvonal minden pontjának a koordinátái kielégítik és más pont koordinátái nem elégítik ki. Ez az egyenlet a kör egyenlete.

A rendezett alak mutatja, hogy bármely kör egyenlete másodfokú, kétismeretlenes egyenlet. Kérdéses azonban, hogy bármely másodfokú, kétismeretlenes egyenlet körnek az egyenlete-e.

A másodfokú kétismeretlenes egyenlet általános alakja:

A kör egyenletének rendezett alakjából látjuk, hogy abban nem szerepelhet xy-os tag, és azt, hogy x² és y² együtthatója egyenlő. Ezért, hogy egy másodfokú kétismeretlenes egyenlet egy kör egyenlete legyen, az együtthatóira szükséges a C=0 és az A=B feltétel.
A alakú egyenletek helyett csak a alakú másodfokú kétismeretlenes egyenletek állíthatnak elő kört. azt még külön meg kell vizsgálnunk, hogy ezek közül mind előállít-e kört.

A kapott egyenletet osszuk el A-val:

Ez az egyenlet akkor és csak akkor állít elő kört, ha a jobb oldalon (az r²-nek megfelelő helyen) pozitív szám áll, azaz: .

Ez az a három feltétel, amelyeknek meg kell felelnie egy másodfokú kétismeretlenes egyenletnek ahhoz, hogy kör egyenlete legyen.

Kör és egyenes kölcsönös helyzete:

Egy síkban körnek és egyenesnek 0, 1 vagy 2 metszéspontja lehet.

E metszéspontok koordinátáit a kör és az egyenes egyenleteiből álló egyenletrendszer valós megoldásai adják.

Az egyenletrendszerek megoldásai során kapott egyismeretlenes másodfokú egyenlet diszkriminánsának előjele határozza meg a megoldások számát.

Két kör kölcsönös helyzete:

Két kör metszéspontjainak számát a körök egyenleteiből álló egyenletrendszer valós megoldásainak száma határozza meg.

Ha két megoldás van, a két kör metsző.

Ha egy megoldás van, a két kör érinti egymást.

Ha nincs megoldás, a két körnek nincs közös pontja.

A parabola

A parabola adott egyenestől és egy adott, rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.
Az adott egyenes a parabola vezéregyenese (v), az adott pont a parabola fókuszpontja (F).
A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p>0).
A fókuszpontra illeszkedő, a vezéregyenesre merőleges egyenes a parabola szimmetriatengelye, röviden tengelye (t).
A parabola tengelyen lehelyezkedő pontja a parabola tengelypontja (T), vagy csúcspontja.
A tengelypont felezi a fókuszpont és a vezéregyenes távolságát.

A parabola csúcsponti egyenlete:

Olyan parabolákkal foglalkoztunk, amelyek tengelye párhuzamos a koordináta-rendszer egyik tengelyével.

Elsőként olyan helyzetű parabolát tekintünk, amelynek tengelye az y tengely, tengelypontja az origó és a parabola a koordináta-rendszer I. és II. negyedében van. Az ilyen parabolát már egyértelműen meghatározza a p paramétere. Fókuszpontja: .
Egyenletének felírásához a definíciója a kiindulópont: d(P;F)=d(P;v).

Az egyenlet mindkét oldalán távolságok szerepelnek, ezek nem lehetnek negatív számok, így mindkét oldal négyzetre emelésével ekvivalens átalakítást végzünk:

Rendezve: vagy

Ezt az origó tengelypontú fókuszpontú parabola tengelyponti vagy csúcsponti egyenletének nevezzük.

Az előző parabolát tükrözzük az x tengelyre. E transzformáció miatt ennek egyenlete: .

Az elsőként tárgyalt egyenletű parabolát tükrözzük az y=x egyenesre, ekkor a parabola tengelye az x tengely lesz. Ennél a tükrözésnél a két tengely és az x, y koordináta felcserélődik.
Az ilyen helyzetű parabola egyenlete: ; rendezve: .

Az előző parabolát tükrözzük az y tengelyre. A transzformáció miatt ennek a parabolának az egyenlete: .

Az előzőekben tárgyalt parabolákat eltoljuk a koordinátasíkon egy (u;v) vektorral. Ekkor, az új helyzetben, a tengelypontjuk a T(u;v) pont lesz. Ha ezeket az új helyzetű parabolákat
(-u;-v) vektorral toljuk el, akkor visszajutunk az eredeti helyzetű parabolákhoz. Ennél a „visszatolásnál” minden P(x;y) pontból P’(x-u;y-v) pont lesz. Ennek a P’ pontnak a koordinátáiban szereplő x, y az eltolt új helyzetű parabolák koordinátái. Ezért felírhatjuk az egyenletüket.

Alkalmazások:

Matematikai:

Adott tulajdonságú ponthalmazt koordináta-geometriai eszközökkel határozunk meg.

A kör területének meghatározásánál a kör egyenletének segítségével felírt függvény határozott integrálját használjuk.

Matematikán kívüli:

A vízszintesen elhajított test pályaegyenletének meghatározásánál egy parabola egyenletét kapjuk.

Mesterséges holdak vagy az űrhajók adott sebességgel (I. kozmikus sebesség) fellőve a Föld körül körpályán keringenek. Ha a sebességük valamivel nagyobb, de az úgynevezett II. kozmikus sebességnél kisebb, akkor a pálya ellipszis. Ha a sebesség éppen a II. kozmikus sebesség, akkor a pálya parabola, ha annál nagyobb, akkor hiperbola, és a hold vagy űrhajó mindkét esetben távozik a naprendszerből.

Homogén mágneses mezőben mozgó töltött részecske, ha sebessége merőleges az indukcióvonalakra, körpályán mozog. Ezt használják ki a részecskegyorsítók működésénél, hogy a részecskéket adott pályán tudják vezetni.

Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon [emeltmatek]

Szakaszok és egyenesek a koordinátasíkon

Szakaszok:

Szakasz hossza:

A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az és végpontokkal meghatározott szakasz hossza (az vektor hossza):
.
Tetszőleges két pont távolsága az általuk meghatározott szakasz hossza.
(Bizonyítása: Pitagorasz-tétellel)

Szakasz osztópontjainak koordinátái:

Szakasz felezőpontja:

Egy szakasz felezőpontjának koordinátái egyenlők a szakaszvégpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepével. Ha és egy szakasz két végpontja, akkor a szakasz felezőpontjának koordinátái:
.

A tétel állítása abból következik, hogy a felezőpontba mutató f helyvektor a végpontokba mutató a és b helyvektorok összegének a fele, valamint f helyvektor koordinátái megegyeznek végpontjának, azaz F-nek a koordinátáival.

Szakasz harmadolópontja:

Ha az AB szakasz végpontjának koordinátái és , akkor az A-hoz közelebbi harmadolópontjának koordinátái:
;
a B-hez közelebbi harmadoló pontjának koordinátái:
.

Bizonyítás:
Az A, B, H pontokhoz vezessenek rendre az a, b, h helyvektorok.
Ekkor h felírható h = a + összegeként. Mivel H harmadolópont, ezért =. Így .
Tehát a vektorkoordinátákra vonatkozó műveletek alapján:
.
Mivel h helyvektor, ezért végpontjának (H-nak) is ezek a koordinátái.
A B végponthoz közelebbi G harmadolópont esetén hasonló bizonyítással látható be az állítás.

Szakasz m:n arányú osztópontja:

Az AB szakasz végpontjainak helyvektorai és . A szakaszt az AP:PB=m:n arányban osztó P pont helyvektora: .
Az AB szakaszt osszuk fel m+n részre. Ha a P pontot úgy jelöljük ki, hogy az m+n darab szakasz közül az A pont felől m, a B pont felől n legyen, akkor AP:PB=m:n és így .

A P osztópont p helyvektora:
.
Az AB szakasz végpontjai és , az m:n arányú osztópontja . A vektorok koordinátáival a műveleteket elvégezve kapjuk, hogy , valamint .

Egyenesek:

Két különböző pont egyértelműen meghatároz egy egyenest. Ha az egyenesnek csak egy pontját adjuk meg, akkor helyzetének egyértelmű megadásához még valamilyen további adatra is szükségünk van.

A koordinátasíkon egy egyenes helyzetét egyértelműen meghatározza:

egy pontja és egy irányvektora,

egy pontja és egy normálvektora,

egy pontja és irányszöge,

egy pontja és az iránytangense (ha létezik iránytangense).

Definíciók:

Egy egyenes irányvektora az egyenessel egyállású bármely vektor, amely nem nullvektor. Jele: .

Egy egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, a nullvektortól különböző bármely vektor. Jele: .

(Az normálvektorú egyenes irányvektora: .
A irányvektorú egyenes normálvektora .)

Egy egyenes irányszöge az egyenesnek és az x tengelynek a hajlásszöge.

Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik), az egyenes iránytangensének nevezzük. Jele: . (Az x tengelyre merőleges egyeneseknek nincs iránytangensük.)

(Az m iránytangensű egyenes egyik irányvektora: , egyik normálvektora: .)

Egyenes egyenlete:

Az egyenes egyenlete olyan egyenlet, amelyet az egyenes bármely pontjának a koordinátái kielégítenek, és nem elégítik ki az olyan pontok koordinátái, amelyek az egyenesnek nem pontjai.

Az egyenes egyenletének felírása:

Normálvektora adott:

Adott az egyenes pontjának helyvektora, valamint normálvektora. Az egyenes egy tetszőleges pontjának helyvektora .

Az egyenes egy irányvektora a vektor, .

Az egyenes n normálvektora és irányvektora egymásra merőleges, skaláris szorzatuk: . Ezt az egyenes vektoregyenletének nevezzük.
Koordináták segítségével érdemes átalakítanunk:

Irányvektora adott:

Ha az egyenest a pontjával és irányvektorával adjuk meg, akkor is az alakot használjuk az egyenlet felírásához. Ugyanis most . Az irányvektor koordinátái segítségével felírt egyenlet:

, vagy .

Iránytangense adott:

Ha az egyenest a pontjával és m iránytangensével adjuk meg, egyenletének felírásához szintén az alakot használjuk. Ugyanis most , valamint , ezért az egyenes egyenlete:

Ez az egyenes iránytényezős alakja.

Két pontja adott:

Ha az egyenest két pontjával, a , pontokkal adjuk meg, akkor egyik irányvektora: , egyik normálvektora: , iránytangense: .
Egyenletének alakjai:

Alkalmazások:

Matematikai:

Elemi geometriai problémákat alkalmas koordináta-rendszer választásával algebrailag (esetleg egyszerűbben) oldhatunk meg.

Adott tulajdonságú ponthalmazok megkereséséhez is jól használhatók a koordinátageometriai eszközök.

Alkalmazhatjuk a koordináta-rendszerben síktartományok kijelölésére.

Algebrai feladatok is lefordíthatók a koordináta-geometria nyelvére, és így egyszerűbb a megoldásuk.

Matematikán kívüli:

Koordináta-geometriai módszerekkel oldhatók meg az egyszerű lineáris programozási feladatok, melyek a gazdaság tervezés területén merülhetnek föl, például többféle termék gyártása esetén. Azt vizsgálják – különféle gyártási feltételek mellett – milyen működésnél érhető el maximális nyereség.

Egyenletes mozgások út-idő grafikonja mindig egyenes (szakasz); az egyenes vonalú mozgások vizsgálatakor a mozgás pályájának egyenlete ismeretében információkat kaphatunk a mozgásról magáról.