1. Függvény:
Legyen X és Y két nem üres halmaz. Azt mondjuk, hogy megadtuk az X halmazon értelmezett Y-beli értékeket felvevő függvényt, ha X minden eleméhez hozzárendeltük az Y egy és csakis egy elemét. A függvény egyértelmű hozzárendelés (leképezés).
Jele: f.
2. Értelmezési tartomány:
Értelmezési tartománynak nevezzük az X halmazt. Az f függvény értelmezési tartományának jele: Df
3. Értékkészlet:
Az Y halmaz azon elemeiből álló halmaz, amelyek a hozzárendelésnél előfordulnak: Az f függvény értékkészletének jele: Rf
Megjegyzés: Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük az értelmezési tartományát, és annak minden eleméről tudjuk, hogy a függvény melyik értékkészletbeli elemet rendeli hozzá. A függvény megadása történhet formulával, táblázattal, nyíldiagrammal vagy grafikonnal – ha az értelmezési tartomány és az értékkészlet is számhalmaz. Ezek a leggyakoribb megadási módok.
4. Helyettesítési érték, vagy függvényérték:
Ha , akkor a c helyen felvett függvényértéket f(c)-vel jelöljük.
5. Zérushely:
Az értelmezési tartomány azon eleme, ahol a függvényérték nulla.
f(x0)=0
6. Függvénygrafikon:
Ha az értelmezési tartomány és az értékkészlet is számhalmaz, akkor a függvényt grafikonon tudjuk szemléltetni. A grafikon az (x;f(x)) pontok halmaza.
7. Egy-egyértelmű, vagy kölcsönösen egyértelmű függvény:
Az olyan függvényt, amelynél az értékkészlet minden elemét pontosan egy értelmezési tartománybeli elemhez rendeltük hozzá, egy-egyértelmű, vagy kölcsönösen egyértelmű függvénynek nevezzük.
8. Inverz függvény:
Legyen f olyan függvény, amely értelmezési tartománya és értékkészlete között kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot létesít. Ekkor f inverz függvényének azt az f--1 függvényt nevezzük, amelynek értelmezési tartománya az f függvény értékkészlete, és f—1(f(x))=x; xDf.
Megjegyzés: Bármely invertálható f valós függvény f—1 inverzének a grafikonját megkapjuk, ha az f grafikonját tükrözzük az y=x egyenesre, amennyiben egyenlő beosztást vettünk fel a két koordinátatengelyen.
9. Összetett függvény:
Ha adottak az f és g függvények, amelyekre teljesül, akkor értelmezhető a következő összetett függvény: minden 
esetén.
Elemi függvények:
Elsőfokú függvény
Másodfokú függvény
Abszolútértékes kifejezést tartalmazó függvény
Hatványfüggvény
Gyökfüggvény
Elsőfokú törtfüggvény
Exponenciális függvény
Logaritmusfüggvény
Trigonometrikus függvények
Függvénytranszformációk:
| A függvényérték transzformációi | A változó transzformációi |
| f(x)+c | f(x+c) |
| A függvény képe az y tengellyel párhuzamosan eltolódik |c| egységgel; | A függvény képe az x tengellyel párhuzamosan eltolódik |c| egységgel; |
| -f(x) | f(-x) |
| A függvény képe az x tengelyre tükröződik. | A függvény képe az y tengelyre tükröződik. |
| c∙f(x) | f(c∙x) |
| A függvény képe az y tengellyel párhuzamosan c-szeresére | A függvény képe az x tengellyel párhuzamosan 1/c-szeresére |
Függvények vizsgálata elemi úton:
Elemi úton vizsgálhatók azok a függvények, amelyek valamely alapfüggvény transzformációjaként előállíthatók.
Függvények vizsgálata differenciálszámítással:
A függvények vizsgálatánál elsődleges feladatunk az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata.
Ezután azt vizsgáljuk, hogy vannak-e zérushelyei, és ha vannak, akkor azokat a változó mely értékeinél veszi fel a függvény.
A függvények menetének jellemzésére bevezettünk néhány új fogalmat.
Ha az f függvény értelmezési tartományának egy intervallumában a változó bármely x1<x2 értékeinél a megfelelő függvényértékekre fennáll, hogy
| f(x1)>f(x2), akkor ott a függvény | szigorúan monoton csökkenő |
| f(x1)<f(x2), akkor ott a függvény | szigorúan monoton növekvő |
| f(x1)≥f(x2), akkor ott a függvény | monoton csökkenő |
| f(x1)≤f(x2), akkor ott a függvény | monoton növekvő |
Az f függvénynek minimuma van a változó x1 értékénél, ha a függvény az ott felvett f(x1) értéknél sehol sem vesz fel kisebb értéket.
Az f függvénynek maximuma van a változó x1 értékénél, ha a függvény az ott felvett f(x1) értéknél sehol sem vesz fel nagyobb értéket.
Az f függvénynek helyi minimuma van a változó a értékénél, ha létezik az a-nak egy olyan környezete, amelyben az f függvény az x=a-nál felvett f(a) függvényértéknél kisebb értéket nem vesz fel.
Az f függvénynek helyi maximuma van a változó b értékénél, ha létezik az b-nek egy olyan környezete, amelyben az f függvény az x=b-nél felvett f(b) függvényértéknél nagyobb értéket nem vesz fel.
A függvény menetét és szélsőértékeit az első derivált segítségével határozzuk meg, a következőképpen (x0 az első derivált zérushelye):
| |
|
|
| |
| f’ | + | 0 | + |
|
| f | k | | k | |
| f’ | + | 0 | - | |
| f | k | Max. | m | |
| f’ | - | 0 | + | |
| f | m | Min. | k | |
| f’ | - | 0 | - |
|
| f | m | | m |
Egy f függvény az [a; b] intervallumon (alulról) konvex, ha ott értelmezve van, és az intervallumon minden a <>1 <>2 <> pontpárra a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz alatt halad.
Egy f függvény az [a; b] intervallumban (alulról) konkáv, ha ott értelmezve van, és az intervallumon minden a <>1 <>2 <> pontpárra a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz felett halad.
A görbületet a második derivált segítségével határozzuk meg, a következőképpen (x0 a második derivált zérushelye):
| |
|
|
|
| f’’ |
| 0 |
|
| f | | | |
| f’’ |
| 0 | - |
| f | | Infl. |
|
| f’’ | - | 0 |
|
| f |
| Infl. | |
| f’’ | - | 0 | - |
| f |
| |
|
Ezután a határértékeket vizsgáljuk a végtelenben és a szakadáspontokban, ha vannak ilyenek.
Végül ábrázoljuk a függvényt.
Az 
függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan 
konstans, hogy minden x-re 
fennáll, hogy 
, és az 
egyenlőség. Az ilyen p számok közül a legkisebbet a függvény periódusának nevezzük.
Az függvényt páros függvénynek nevezzük, ha bármely x értékkel együtt –x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és bármely x-re 
. Páros függvény képe szimmetrikus a koordinátasík tengelyére.
Az függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha bármely x értékkel együtt –x is a függvény értelmezési tartományához tartozik és bármely x-re 
. Páratlan függvény képe szimmetrikus a koordinátasík origójára.
Lagrange-tétel:
Ha f az 
-on differenciálható, akkor van olyan c pont, hogy a< c, és 
.
A monotonitás és a differenciálhányados kapcsolata
Legyen f értelmezve valamely 
-on, és tegyük fel, hogy itt differenciálható is. Tekintve, hogy a különbségi hányados számlálójában két függvényérték, a nevezőben pedig a megfelelő argumentumok különbsége szerepel, ezért várható, hogy a derivált előjele és a függvény monotonsága között szoros kapcsolat van.
Ha 
minden 
-re, akkor az f függvény szigorúan monoton növekvő az -on.
Bizonyítás
Ha minden -re, akkor bárhogyan is adunk meg az -ból két 
pontot, a Lagrange tétel szerint van olyan 
, hogy 
.
A feltevés szerint 
és 
, ebből pedig 
következik. az két tetszőleges pontja volt, ezért tehát f szigorúan monoton növekvő függvény az -on.
Ha 
minden -re, akkor az f függvény szigorúan monoton csökkenő az -on.
Bizonyítás
Ha minden -re, akkor bárhogyan is adunk meg az -ból két pontot, a Lagrange tétel szerint van olyan , hogy .
A feltevés szerint 
és , ebből pedig 
következik. az két tetszőleges pontja volt, ezért tehát f szigorúan monoton csökkenő függvény az -on.
Alkalmazások:
Matematikai:
Szélsőérték feladatok megoldásánál
Másodfokú egyenletek megoldása
Függvényvizsgálatnál
Érintő egyenletének fölírásánál
A geometriai transzformációk ponthalmazhoz ponthalmazt rendelő függvények.
A kétszeres nagyítás inverze az ugyanilyen középpontú, ½-szeres nagyítás (azaz kicsinyítés).
A sokszögek területe olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a sokszögek halmaza, értékkészlete pedig a pozitív valós számok halmaza.
A számsorozat a pozitív egész számok halmazán értelmezett függvény, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza.
Matematikán kívüli:
Az év minden napjához egyértelműen hozzárendelhetjük az aznapi átlaghőmérsékletet. Az adatokat grafikonon ábrázolhatjuk.
A Celsius és Fahrenheit hőmérsékleti skálák közötti kapcsolatot a lineáris függvény írja le, ahol az értelmezési tartomány a Fahrenheitben mért hőmérsékletek halmaza. Ezzel az összefüggéssel kapjuk, hogy pl. 35°C-nak
Út-idő, sebesség-idő, gyorsulás-idő grafikonja
Változó erő munkájának kiszámításánál
