Trigonometria [matematika]

Trigonometria

66. Hogyan értelmezzük a hegyes szögek szögfüggvényeit?

Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik hegyes szöge alfa, ezek a derékszögű háromszögek - mivel két megfelelő szögük, alfa és a derékszög, egyenlő - mind hasonlók egymáshoz. Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Ezek az arányok csak az alfa szögtől függnek, így ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az alfa szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az egyes szögfüggvényeket, sin(alfa)-t, cos(alfa)-t, tan(alfa)-t, ctg(alfa)-t így értelmezzük:

sin(alfa) =a /c [az alfa szöggel szemközti befogó / az átfogó]

cos(alfa) =b /c [az alfa szög melletti befogó / az átfogó]

tan(alfa) =a /b [az alfa szöggel szemközti befogó / az alfa szög

melletti befogó]

ctg(alfa) =b /a [az alfa szög melletti befogó / az alfa szöggel

szemközti befogó]

(sin(alfa) =a /c)-ből (a =c*sin(alfa)), vagyis a szög szinusza megmutatja, hogy az alfa szöggel szemközti befogó hányszorosa az átfogónak. Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfüggvény is.

67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza illetve koszinusza?

Az e egységvektor pozitív irányszöge olyan alfa szög, amellyel az i egységvektort az origó körül pozitív irányba elforgatva az e-be megy át.

Sin(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor ordinátája [második koordinátája].

Cos(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor abszcisszája [első koordinátája].

68. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve kotangense?

Ha (cos(alfa) <>0) - azaz (alfa <>pi /2 +k*pi), k egész -, akkor tan(alfa) =sin(alfa) /cos(alfa).

Ha (cos(alfa) =0), akkor az alfa szög tangensét nem értelmezzük.

Ha (sin(alfa) <>0) - azaz (alfa <>k*pi), k egész -, akkor

ctg(alfa) =cos(alfa) /sin(alfa)

Ha (sin(alfa) =0), akkor az alfa szög kotangensét nem értelmezzük.

69. Számítsa ki a 30 fokos, 60 fokos, 45 fokos szögek szögfüggvényeinek pontos értékét!

A 30 fokos és a 60 fokos szögek szögfüggvényeit a 2 egység oldal szabályos háromszög segítségével számoljuk ki:

sin(30) =1 /2

sin(60) =`3 /2

cos(30) =`3 /2

cos(60) =1 /2

tan(30) =1 /`3 =`3) /3

tan(60) =`3

ctg(30) =`3

ctg(60) =1 /`3 =`3 /3

a 45 fokos szög szögfüggvényeit az egységnyi befogók egyenlő szár derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki:

sin(45) =1 /`2 =`2 /2

cos(45) =1 /`2 =`2 /2

tan(45) =1 /1 =1

ctg(45) =1 /1 =1

70. Igazolja a következő azonosságokat: Sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1 minden valós a -ra.

A szögfüggvények definíciója szerint az alfa irányszögű e egységvektor koordinátái: (cos(alfa),sin(alfa)), az általuk meghatározott derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagoras-tételt: |e|^2 =sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1.

71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldal és a közbezárt szög.

Adott egy háromszög két oldala, a és b, és a két oldal által közbezárt szög epszilon. Ekkor a háromszög területét [t-t] a következő képlet adja meg: t =a*b*sin(epszilon) /2

73. Bizonyítsa be egy kör r hosszság sugara, a hosszság húrja és az a -hoz tartozó alfa kerületi szög közötti következő összefüggést:

A =2*r*sin(alfa).

Az r sugar körben az alfa kerületi szöghöz tartozó a hr hossza: 2*r*sin(alfa).

74. Bizonyítsa be a szinusztételt!

A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben az oldalak aránya egyenlő a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

Bizonyítása:

rájuk fel a háromszög területét két féleképpen az alfa és béta szögek felhasználásával: a*c*sin(béta) /2 =b*c*sin(alfa) /2, innen: a*sin(béta) =b*sin(alfa), vagyis: a /b =sin(alfa) /sin(béta)

Közben felhasználtuk, hogy (c <>0), (b <>0), és (sin(béta) <>0), hiszen egy háromszög oldalairól, ill. szögéről van szó. Ugyanez az okoskodás a háromszög többi oldalpárjára is elvégezhető. A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából - két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül - meghatározhatjuk a kiányzó negyediket. Ha a hiányzó adat a nagyobb oldallal szemközti szög, akkor két megoldás is lehet:

egy hegyes szög és egy tompa szög. Derékszögű háromszögre [ahol a az egyik befogó, alfa az ezzel szemközti szög, c az átfogó] - a szinusztétel a (sin(alfa) =a /c) összefüggést adja.

75. Bizonyítsa be a koszinusztételt!

A koszinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben egy oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinusza szorzatának kétszeresét. C^2 =a^2 +b^2 -2*a*b*cos(epszilon).

76. Igazolja a következő azonosságokat:

Sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta)

77. Fejezze ki sin(alfa -béta) ill. cos(alfa -béta) értékét a sin(alfa +béta), ill. cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében!

Érvényesek a következő összefüggések: sin(alfa -béta) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*sin(béta) és (cos(alfa -béta) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta)).

Bizonyítása: Tudjuk, hogy sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta). rjunk béta helyébe (-bétát), majd használjuk fel, hogy sin(-béta) = -sin(béta) és cos(-béta) =cos(béta). Sin(alfa +(-béta)) =sin(alfa)*cos((-béta)) +cos(alfa)*sin((-béta)) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*cos(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk.

Cos(alfa +(-béta)) =cos(alfa)*cos((-béta)) -sin(alfa)*sin((-béta)) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk.

78. Fejezze ki tan(alfa +béta)-t tan(alfa)-val és tan(béta)-val a sin(alfa +béta), ill. a cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében!

A tan(alfa +béta) =tan(alfa) +tan(béta) /1 -tan(alfa)*tan(béta).

Térfogat számítások [matematika]

Térfogat számítások

135. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a gúlát és a kúpot?

A sokszög lapokkal határolt konvex testek a poliéderek.

Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. így egy végtelen hengerfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a görbevonal síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az így nyert véges test a henger. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a henger egyenes, egyébként ferde. Ha a síkbeli zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk [gyakori előfordulása miatt többnyire csak hengert mondunk]. A körlapok középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye. Az egyenes körhenger egyenlő oldal, ha a tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, alapsíkra merőleges síkmetszet] négyzet.

Elnevezések: a metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az összekötő görbefelület a henger palástja. A henger származtatásakor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága.

Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. így egy végtelen hasábfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a sokszög síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder a hasáb.

Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, egyébként ferde. Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli sokszögvonal szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye. A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma.

Elnevezések: a metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldallapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. A származtatáskor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. A párhuzamos síkok távolsága a hasáb magassága. A téglalap alap egyenes hasáb a téglatest; a kocka olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő.

A hasábot és a hengert - hasonló származtatásuk miatt hengerszerű testeknek nevezzük.

Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy - a sokszög síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor végtelen kettőskép szerű felületet kapunk. Ez a felület a sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a gúla. A sokszög a gúla alaplapja, a többi lap a gúla oldallapja. A

gúla oldallapjai háromszögek, amelyek közös csúcsa a gúla csúcsa, ami a rögzített pont. Az oldallapok alkotják a gúla palástját. A gúla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél. Az egyenes gúla oldalélei egyenlők. Ha az egyenes gúla alaplapja szabályos, akkor a gúla szabályos: oldallapjai egybevágó egyenlő szár háromszögek. Ha egy három oldal gúla [tetraéder] lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabályos tetraéderről beszélünk. Ez a létező 5 féle szabályos poliéder egyike.

Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy - a görbe vonal síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor egy végtelen, kettős kúpfelületet kapunk. Ez a felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a kúp. A rögzített pont a kp csúcsa. A zárt görbevonal által határolt síkidom a kp alaplapja. A kp csúcsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok a kp alkotói. A kp csúcsa és az alaplap síkja közötti távolság a kp magassága. A kp csúcsát az alaplappal összekötő görbe felület a kp palástja. Ha a kp alaplapja kör, akkor a kúp körkúp. [Ha kúpról beszélünk, többnyire körkúpra gondolunk.] A körkúp csúcsát a kör középpontjával összekötő egyenes a kp tengelye. A kp egyenes, ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez forgáskúp. Az egyenes kúp alkotói egyenlők, tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet] egyenlő szár háromszög. A kúp egyenlő oldal, ha tengelymetszete szabályos háromszög. A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat 4 tulajdonságán alapszik:

A. A térfogat pozitív szám.

B. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő.

C. Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlő.

D. Az egységnyi élű kocka térfogata 1.

A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben történik.

A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk össze. A többi poliéder térfogatának meghatározásakor felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert térfogatképleteket. Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van segítségünkre. A gúla térfogatát a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg; a görbe felületekkel határolt testek térfogatát pedig a "minden határon tl finomodó kétoldali közelítés" módszerével.

136. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, M magasság hasáb térfogata V =T*!

A bizonyítás két lépésben történik. Először bebizonyítunk egy segédtételt.

A. Bebizonyítjuk, hogyha egy téglatest egy csúcsából kiinduló 3 éle a, b, c, akkor a térfogata (V) ezek szorzata: V =a*b*c.

A két téglatest alaplapja egybevágó, térfogatuk aránya magasságuk arányával egyezik meg.

B. A paralelepipedon térfogata:

V =T*m

C. Háromszög alap hasáb térfogata (V) a hasáb alapterületének (T) és a magasságának (m) a szorzata: V =T*m.

D. A hasáb térfogata a hasáb alapterületének és magasságának szorzata: V =T*m

137. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V =r^2*pi*m!

A bizonyítás gondolatmenete:

rájunk gondolatban az r sugarú, m magasság hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszám szabályos sokszög alap hasábokat [magasságuk m].

A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a körért sokszögek területe csökken. így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A szabályos sokszög alap hasábok térfogata az "alapterület szer magasság" összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. így az azonos oldalszám köré - és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^2*pi, a kör területe. íGy akármilyen nagy oldalszámra is a köré - és beírt hasábok térfogata közé esik az (r^2*pi*m) érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha az r sugaru m magasság henger térfogata V =r^2*pi*m.

138. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasság gla térfogata (V =T*m /3)!

A. A T alapterületü m magasságu tetraéder térfogata T*m /3. A bizonyításhoz két segédtételt használunk:

a.: Ha két közös síkon álló tetraéder alapterülete (T) és magassága (m) egyenlő, akkor az alappal párhuzamos síkmetszeteik területe is egyenlő.

B.: Az azonos alapterületü és magasságu tetraéderek térfogata egyenlő.

C.: A tetraéder térfogatát - a segédtételek felhasználásával visszavezetjük a háromoldal hasáb már ismert térfogatára.

B. Tetszőleges T alapterületű m magasságu gla V térfogata: V =T*m /3.

141. Bizonyítsa be, hogyha a forgáskp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata (V =r^2*pi*m /3)!

A forgáskúp térfogatának meghatározása a kör alapú henger térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. rjunk a kúpba és a kp köré egyre nagyobb oldalszám m magasság szabályos sokszög alap gúlákat, melyeknek csúcsa a forgáskúp csúcsával megegyezik. A beírt gúlák alaplapjainak csúcsai a kúp alaplapjának kerületére esnek, a köréírt gúlák alaplapjainak oldalai érintik a kp alapkörét. A kp térfogata a beírt és a körülírt glák térfogata között van. Az alapkör területe is mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. Mivel a beírt és körülírt gúlák magassága megegyezik, a térfogatuk közötti különbség is egyre kisebb lesz. Bizonyítható, hogy a beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez, (r^2*pi)-hez tart. így akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt glák térfogata közé esik egyrészt az (r^2*pi*m /3) érték, amihez a köréírt és a beírt glák térfogata tart, másrészt a kp térfogata is. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha a kp térfogata (V =r^2*pi*m /3).

142. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru gömb térfogata (V =4*r^3*pi /3)!

Az r sugaru gömb térfogata: V =4*r^3*pi /3.

143. Bizonyítsa be, hogyha a csonkakp alapjai r és R sugaru körök,

magassága pedig m, akkor térfogata (V =m*pi /3*(R^2 +R*r +r^2))!

Geometria [matematika]

Geometria

44. Mi az egybevágósági transzformáció?

Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyek 1 ponthalmazt 1 ponthalmazra képeznek le. A geometriai transzformációk közül a távolságtartó leképezések az egybevágósági transzformációk. Ha a P és Q pont képe P' és Q', akkor P és Q távolsága megegyezik a P' és Q' pontok távolságával. A tengelyes és a középpontos tükrözés a pont körüli forgatás és az eltolás síkbeli egybevágósági transzformációk.

45. A sík melyik transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait!

Adott a sík egy t egyenese. Ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges t-re nem illeszkedő P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a két P -P' szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenes képe saját maga. A tengelyes tükrözés tulajdonságai:

A. A hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű: egy pontnak egy képpont felel meg, és minden képpontnak egy őse van.

B. A t egyenes minden pontja fixpont, más fixpont nincs.

C. A t egyenes és a rá merőleges egyenesek fixegyenesek, több fixegyenes nincs. Fixalakzatok a t egyenesre tengelyesen szimetrikus idomok.

D. A leképezés távolságtartó [minden szakasz egyenlő hosszság a tükörképével].

E. Szögtartó [minden szög egyenlő nagyság a tükörképével)].

F. Nem körüljárástartó [minden síkidom ellenkező körüljárás, mint a tükörképe].

G. Egyenes képe olyan egyenes, amely ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, és ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, mint az eredeti egyenes.

A fixpont olyan pont, amelynek a képe saját maga. A fixalakzat olyan alakzat, amelynek a képe saját maga.

46. A sík melyik transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek? Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait!

Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja.

Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík tetszőleges

O-tól különböző P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre az

O pont a P-P' szakasz felező pontja.

Az O pont képe saját maga.

A középpontos tükrözés tulajdonságai:

A. A leképezés kölcsönösen egyértelmű.

B. Az O pont az egyetlen fixpontja.

C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, bár pontonként

egyik sem fix.

D. A leképezés távolságtartó, szögtartó és körüljárástartó.

E. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes

és a képe párhuzamos egymással.

47. Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, ill. egy egyenesére szimetrikusnak? Sorolja fel a középpontosan, ill. a tengelyesen szimetrikus háromszögeket, négyszögeket,sokszögeket!

Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, melyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimetrikus alakzat, melynek O a szimetriaközéppontja.

Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimetrikus alakzat. A t egyenes az alakzat tükörtengelye vagy szimetriatengelye. Középpontosan szimetrikus háromszög nincs, mert nem lehetnek párhuzamos és egyenlő hossz oldalpárjai.

Középpontosan szimetrikus négyszög a paralelogramma. A szimetriaközéppont az átlók metszéspontja. Középpontosan szimetrikusak általában a páros oldalszám szabályos sokszögek, például a szabályos 6szögek, 8szögek, 10szögek stb. Szimetriaközéppontjuk az átellenes cscsokat összekötő átlók metszéspontja, amely egyúttal a párhuzamos oldalpárok felezőmerőlegeseinek is közös pontja. De vannak más - nem szabályos - középpontosan szimetrikus páros oldalszám sokszögek is.

A kör átmérői a középpontban metszik egymást, erre a pontra a kör középpontosan szimetrikus.

Az egyenlő szár háromszög tengelyesen szimetrikus, legalább egy szimetriatengelye van.

Speciálisan a szabályos háromszög is tengelyesen szimetrikus, és három szimetriatengelye van.

A deltoidnak és a szimetrikus trapéznak legalább egy szimetriatengelye van.

A rombusznak és a téglalapnak legalább 2, és a tengelyek merőlegesek egymásra; a négyzetnek négy.

A rombusz, a téglalap [és így a négyzet is] – mivel paralelogrammák - középpontosan is szimetrikus alakzatok. A szabályos sokszögek mind tengelyesen szimetrikusak, annyi szimetriatengellyel, ahány oldaluk van. A páros oldalszámak ([pl. a szabályos háromszög középpontosan is szimetrikusak, és a tükörtengelyek a szemközti cscsokat, illetve a szemköztes oldalak felezőpontjait kötik össze. A páratlan oldalszámak középpontosan nem szimetrikusak, és a tükörtengelyek a cscsokat az átellenes oldal felezőpontjaival kötik össze. A kör tengelyesen szimetrikus minden átmérőjére.

48. A sík melyik transzformációját nevezzük pontkörüli forgatásnak? Sorolja fel a tulajdonságait!

Adott a sík egy O pontja, egy alfa szög, és egy [pozitív vagy negatív] forgásirány. Az O pont körüli alfa szögü, adott irány forgatás a sík tetszőleges O-tól különböző P pontjához azt a P' delta irány és nagyság szerint megegyezik alfával. Az O pont képe önmaga. Az O-t az elforgatás centrumának nevezzük. A pont körüli forgatás tulajdonságai:

A. Kölcsönösen egyértelmű.

B. Egyetlen fixpontja az O pont, ha csak az elforgatás szöge nem

0 fok.

C. Fixegyenese nincs, hacsak nem 0 fok vagy 180 fok az elforgatás szöge.

D. Minden olyan kör fix alakzat, amelynek a középpontja az elforgatás centruma: és minden n oldalu szabályos sokszög is az, a középpontja körül 360fok /n szöggel vagy többszörösével elforgatva.

E. Távolságtartó és szögtartó.

F. Körüljárástartó.

G. Ha a forgatás szöge nem nagyobb, mint 90 fok, akkor bármely egyenes és a képegyenes által bezárt szög megegyezik az elforgatás szögével.

49. Milyen ponttranszformációt nevezünk eltolásnak? Sorolja fel az eltolás tulajdonságait!

Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér tetszőleges P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre (P -P' =v). A hozzárendelés tulajdonságai:

A. Kölcsönösen egyértelmű.

B. Nincs fixpontja, kivéve, ha az adott vektor nulvektor.

C. Az adott vektorral párhuzamos egyenesek és síkok fixalakzatok, de pontonként egyik sem fix.

D. Távolságtartó és szögtartó.

E. Körüljárástartó.

51. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos hasonlóságnak? Sorolja fel a középpontos hasonlóság tulajdonságait!

Adott egy O pont és egy epszilon [0-tól különböző valós] szám. Az O középpontu, epszilon arány középpontos hasonlóság a sík egy tetszőleges az O ponttól különböző P pontjához az O-P egyenesen azt a P' pontot rendeli, amely O-tól |epszilon|-szor akkora távolságra van, mint P; és epszilon >0 esetén az O-P félegyenesen van, epszilon <0>1), akkor nagyítás; ha (|epszilon| <1>

A. Kölcsönösen egyértelmű.

B. Egyetlen fixpontja az O pont.

C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, de pontonként nem fix.

D. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és a képe párhuzamos egymással.

E. A középpontos hasonlóság aránytartó: ha a A képe A' és B képe B', C képe C', D képe D', akkor (A -B /C -D =A' -B' /C' -D').

F. A középpontos hasonlóság szögtartó.

57. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását!

Párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

A tétel egy speciális esetének megfordítása: Ha egyenesek egy szög két szárából olyan szakaszokat vágnak le, amelyek aránya mindkét száron ugyan az, akkor az egyenesek párhuzamosak.

Általános esetben nem fordítható meg a tétel, csak akkor, ha a szakaszok a szög cscsától kezdve és egymáshoz csatlakozva helyezkednek el.

59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit!

Két alakzat hasonló: Ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzathoz a másikat rendeli.

Hasonlósági transzformáció: Véges sok középpontos hasonlóság és véges sok egybevágósági transzformáció egymásutánja.

Bizonyítható, hogy két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalainak aránya páronként egyenlő ha két -két megfelelő oldaluk aránya és az ezek által közbe zárt szögeik egyenlők. Ha két-két szögük páronként megegyezik. Ha két-két megfelelő oldaluk aránya és a nagyobb oldalakkal szemközt lévő szögeik egyenlők.

61. Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló glát, a hasonlóság aránya legyen mindkét esetben k. Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének aránya k^2, a két gla térfogatának aránya pedig k^3!

A k valós szám, két hasonló sokszög, illetve két hasonló gla pontpárjai távolságának aránya, így k pozitív szám.

A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területei között fönnálló összefüggésre, ezért első lépésben ezzel foglalkozunk.

Tekintsünk két hasonló háromszöget, melyek hasonlóságának aránya k. Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Ez a transzformáció szögtartó is, így az egyik háromszög magasságát a másik háromszög magasságába viszi.

62. Milyen összefüggés van a gla alapterülete és az alappal

párhuzamos síkmetszetének területe között? Bizonyítsa be!

A gla alappal párhuzamos síkmetszetének területe gy aránylik az alapterülethez, mint ahogy a síkmetszet cscstól mért távolságának (x) négyzete aránylik a gla magasságának (m) négyzetéhez.

Bizonyítás: A két sokszög - az alappal párhuzamos metszésből adódóan – a gla cscsára nézve középpontosan hasonló. A hasonlóság aránya megegyezik a gla alaplapja éleinek és a párhuzamos síkmetszet megfelelő éleinek arányával, ez pedig megegyezik a hozzájuk tartozó glák magasságának arányával, (x /m)-mel. Tudjuk, hogy hasonló idomok területeinek aránya a hasonlósági arány négyzete. Ezért a párhuzamos síkmetszet területe gy aránylik az alapterülethez, mint a cscstól számított távolságaik négyzete [a megfelelő glák magasságainak négyzete].

Tehát:

t /T =(x /m)^2 =x^2 /m^2.

Függvények, sorozatok [matematika]

Függvények, sorozatok

100. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege n*(n +1)*(2*n +1) /6!

[Teljes indukcióval bizonyítunk.]

Az összefüggés (n =1)-re igaz: 1*2*3 /6 =1. Tegyük fel, hogy (n -1)-re igaz, és bizonyítsuk be, hogy (n -1)-ről n-re öröklődik. A feltevés szerint: 1^2 +2^2 +... +(n -1)^2 =(n -1)*n*(2*n -1) /6. Az egyenlőség mindkét oldalához n^2-et adunk: 1^2 +2^2 +... +(n -1)^2 +n^2 =n*(n -1)*(2*n -1) /6 +n^2. A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva: n*(2*n^2 -3*n +1) +6*n^2 /6 =n*(2*n^2 +3n +1) /6 =nz*(n +1)*(2*n +1) /6, ami épp a bizonyítandó állítás.

Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz, mert 1-ről 2-re, arról 3-ra, ... öröklődik; 1-re pedig beláttuk, hogy az összefüggés valóban igaz.

101. Egy számtani sorozat első eleme a1, különbsége d. Bizonyítsa be, hogy an =a1 +(n -1)*d és sn =n*a1 +an /2!

A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben [a másodiktól kezdve] bármelyik elem és a közvetlen előtte álló elem különbsége állandó. a sorozat n -edik tagja: an =a1 +(n -1)*d, mivel a1-től (n -1) lépésben jutunk el an-ig, és mindegyik lépésben d -t adunk az előző taghoz.

sn =a1 +a2 +... +an. Az egyes tagokat a1 segítségével fölírva: sn =a1 +(a1 +d) +(a1 +2*d) +... +a1 +(n -2) -d +a1 +(n -1)*d. Az összeget (an segítségével) fordított sorrendben is felírjuk: sn =an +(an -d) +(an -2*d) +... +an -(n -2)*d +an -(n -1)*d. A két összegben a d-t tartalmazó tagok páronként egymásnak ellentettje. Az egyenlőségek megfelelő oldalait összeadva a d-t tartalmazó tagok rendre kiesnek: 2sn =a1 +an +a1 +an +... +a1 +an =n*(a1 +an). így: sn =n*(a1 +an) /2.

102. Egy mértani sorozat első eleme a1, hányadosa q. Bizonyítsa be, hogy an =a1*q^n -1 és sn =a1*(q^n) -1 /q -1 (q <>1).

A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek a q-szorosa.

A sorozat n-edik tagja: an =a1*q^(n -1), mivel a1 -től (n -1) lépésben jutunk el an -ig, és mindegyik lépésben q -val szorozzuk az előző tagot. sn =a1 +a1*q +... +a1*q^n - -2 +a1*q^n -1. sn*q =a1*q +a1*q^2 +... +a1*q^m -1 +a1*q^n -1, (q<>1). A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt: sn*q -sn =a1*q^n -a1. Innen sn-et kifejezve: sn =a1*(q^n) -1 /q -1, (q<>1). Ha q =1, akkor ak =a1 minden k =1,2,...n-re, így sn =n*a1.

104. Hogyan adható meg egy függvény? [A válaszban térjen ki a jelölésekre is!]

Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Rendeljünk hozzá az A halmaz minden eleméhez pontosan 1-1 elemet a B halmazból. az így létesített hozzárendelés a függvény. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya.

A függvényeket általában kisbetűvel jelöljük. Az f függvény az A halmaz x eleméhez egyetlen B -beli elemet rendel, ezt f(x)-szel jelöljük [f függvény értéke az x helyen]. Ez az f függvénynek az x helyen vett helyettesítési értéke. Gyakori, hogy a függvény definíciójában szereplő két halmaz közül csak az A-t adjuk meg. pl: X-et rendeljük `(x -1)-hez. [x >=1] Az f valós függvényt [valós számokon értelmezett valós értékű függvény, vagyis olyan függvény, melynek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok részhalmaza] grafikonját a koordinátasík mindazon pontjai képezik, amelyek (x,y) koordinátáira fennáll az y =f(x) összefüggés.

A függvény megadása több módon történhet, de egyértelműen tartalmaznia kell, hogy mely elemekhez mely elemeket rendel.

Számfüggvényeket sokszor képlettel adunk meg. pl.: f(x) =x^2 -1, ahol az f függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ugyanez a függvény leszűkített értelmezési tartománnyal: f:[[0,2]] hozzárendelve r-hez, f(x) =x^2 -1.

Függvényeket megadhatunk utasítással is. pl a valós számokon értelmezett egészrész [x-et rendeljük [[x]], x eleme r-nek] függvény, ahol ez a jelölés a következő utasítást jelenti: minden x valós számhoz azt a legnagyobb egész számot rendeli, amely még nem nagyobb, mint x. Megadhatunk hozzárendelést grafikon, ill. táblázat segítségével is. Fontos függvénytípus a pozitív egész számokon értelmezett függvény, mely a valós számok halmazába képez le [számsorozatok]. Valós számokon értelmezett valós függvényeket gyakran gy adunk meg, hogy csak a hozzárendelési szabályt mondjuk meg. Ilyenkor értelmezési tartománynak a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát tekintjük, amelyen a hozzárendelési szabálynak értelme van.

105. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, ill. értékkészletén?

A függvény definíciója: Adott egy A és B halmaz. Egy f függvény az A halmaz minden x eleméhez a B halmaznak pontosan egy f(x) elemét rendeli. Az A halmaz az f függvény értelmezési tartománya. A B halmaznak azok az elemei, amelyek a hozzárendelésnél föllépnek [vagyis az f(x) értékek] alkotják az f függvény értékkészletét. Az értékkészlet lehet B halmaznál szűkebb.

Az értelmezési tartomány és az értékkészlet egybe is eshet, pl. a valós számokon értelmezett értékű függvények között vannak olyanok, amelyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok halmaza.

106. Mikor nevezünk egy függvényt elsőfokúnak?

Egy f függvény elsőfokú [lineáris], ha az f függvény egy nem üres H halmazt képez le a valós számok halmazára [H a valós számok részhalmaza], és (f(x) =a*x +b), (a <>0), a,b eleme r-nek. (a >0)-ra a függvény szigorúan monoton növekvő, a <0>

Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor – a fenti képlettel megadott - elsőfok függvény grafikonja olyan egyenes, amelynek a meredeksége a, az ipszilon tengelyt pedig a

(0,b) pontban metszi. (b =0)-ra az elsőfokú függvény a két változó közötti egyenes arányosságot adja.

107. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak?

Egy f valós függvény [f:H hozzárendelve r -hez, H részhalmaza r-nek, (h <>0)] másodfokú, ha (f(x) =a*x^2 +b*x +c), ahol a,b,c eleme r-nek és (a <>0).

Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a másodfokú függvény grafikonja ipszilon tengellyel párhuzamos parabola.

109. Ábrázolja és jellemezze a nem negatív valós számok halmazán értelmezett [x-et rendeljük a `x-hez] függvényt!

Értelmezési tartomány: a nem negatív valós számok halmaza (r+0). Értékkészlete: a nem negatív valós számok halmaza (r+0). A függvény teljes értelmezési tartományán szigorúan monoton növekvő. Minimumhely: x =0. Minimum érték: y =0. Zérushely: x =0. X tengelymetszet: x =0. Y tengelymetszet: y =0. A grafikon minden x -re a görbe pontjait összekötő hr fölött halad.

110. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy:

A. periodikus?

B. páros?

C. páratlan?

D. korlátos?

A. Az f függvény periodikus, ha van olyan (c >0) valós szám, hogy az értelmezési tartománya minden x elemére (f(x +c) =f(x)) teljesül, ahol, ha x eleme a függvény értelmezési tartományának, akkor (x + -c) is. Periodikus függvény például a trigonometrikus függvények és a "törtrész"-függvény [x-et rendeljük a x törtrészéhez függvény].

B. Az f függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és f( -x) =f(x). Páros függvények például a páros kitevőjű hatványfüggvények: x-et rendeljük a |x|-hez, x-et rendeljük a cos(x) függvényhez. A páros függvény grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimmetrikus az ipszilon tengelyre.

C. Az f függvény páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és (f( -x) = -f(x)). Páratlan függvényre példa: a páratlan kitevőjű hatványfüggvények, az x-et rendeljük a (c /x)-hez, és x-et rendeljük a sin(x)-hez. A páratlan függvények grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimmetrikus az origóra.

D. Az f függvény korlátos, ha van egy olyan K szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére (|f(x)| <=K). Korlátos függvényekre példa: x-et rendeljük sin(x)-hez, x-et rendeljük cos(x)-hez és x-et rendeljük {x}-hez.

111. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy {a,b} intervallumban monoton növekszik, ill. csökken?

Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton nő, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontjára, melyre (x1 <=f(x2)).

Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton csökken, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontján, melyre (x1 =f(x2)).

Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, a függvény szigorúan monoton nő, illetve csökken.

112. Mit nevezünk egy függvény zérushelyének, szélsőértékének?

Egy f függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre (f(x) =0). A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel.

Egy f függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma vagy minimuma. Egy f függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x0 értékére, ha a függvény értelmezve van x0-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére (f(x)< =f(x0)). Egy f függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány minimum értékére, ha a függvény értelmezve van x0-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére (f(x) > =f(x0)).

113. Mit értünk egy függvény inverzén? a derékszögű koordináta-rendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverzének grafikonja között?

Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amelyek kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítenek az értelmezési tartományuk és az értékkészletük között [vagyis az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartománynak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve]. Az f függvénynek a g függvény inverze, ha az f értelmezési tartományának minden x elemére teljesül, hogy az f(x) eleme a g értelmezési tartományának, és (g(f(x)) =x). pl.: a nem negatív valós számokon értelmezett x-et rendeljük x^2-hez, s ennek inverze, ha az x-et rendeljük a `x-hez [x nem negatív].

Ha az f és a g függvény egymásnak inverze, akkor az f értelmezési tartománya a g értékkészlete, és az f értékkészlete a g értelmezési tartománya. Ha két függvény egymásnak inverze, akkor grafikonjaik [ha megrajzolhatóak], egymásnak tükörképei az (y =x) egyenletű egyenesre. Szigorúan monoton növekvő [vagy csökkenő] függvénynek az inverze is szigorúan monoton növekvő [vagy csökkenő].

116. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x-et rendeljük a sin(x)-hez függvényt.

Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza. Értékkészlete: a ( -1,1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható [nincs inverz függvénye]. Páratlan függvény, mert (sin(-x) =-sin(x)), minden valós x-re. Periodikus, mert (sin(x +2*k*pi) =sin(x)) minden valós x-re [k tetszőleges egész szám]. A periódus hossza 2pi. Zérushelyei: x =k*pi, k eleme Z -nek, tetszőleges. Maximumhelyei: x =pi /2 +2*k*pi, k eleme Z, tetszőleges. Maximumértéke: 1. Minimum helyei: x =3*pi /2 +2*k*pi, k eleme Z, tetszőleges. Minimumértéke: -1. Szigoruan monoton nő, ha (-pi /2 +2*k*pi <=x <=pi /2 +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Szigoruan monoton fogy, ha (pi /2 +2*k*pi <=x <=3pi /2 +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges.

117. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x-hez rendeljük a cos(x) függvényt.

Értelmezési tartomány: valós számok halmaza. Értékkészlete: a (-1,1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható. Páros függvény, mert (cos(-x) =cos(x))-el, minden valós x-re. Periodikus, a periódus hossza 2pi. Zérushelyei: (x =pi /2 +k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Maximumhelyei: (x =2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Maximum értéke: 1. Minimumhelyei: (x =pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Minimumértéke: -1. Szigorúan monoton nő, ha (pi +2*k*pi <=x <=2*pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Szigorúan monoton fogy, ha (2*k*pi <=x <=pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges.

118. Ábrázolja és jellemezze a (-pi /2,pi /2) balról zárt, jobbról nyílt intervallumon értelmezett [x-et rendeljük a tan(x)-hez] függvényt.

Értékkészlete: a valós számok halmaza. Invertálható, ugyanis minden valós értéket egyszer vesz fel, viszont nem korlátos. Páratlan, mert (tan(-x) =-tan(x)) az adott értelmezési tartományokon. Zérushelye: x =0. Szélsőértéke nincs, szigoruan monoton nő.

123. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak?

A számtani sorozat pozitív egész számokon értelmezett valós szám értékű függvény. a számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem és a közvetlenül előtte álló elem különbsége (d) állandó. A számtani sorozatban bármely 3 egymás után álló elem közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemeknek a számtani közepe.

A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek ugyanannyi szorosa. a q a mértani sorozatra jellemző állandó szorzótényező. Ha a quociens (q) pozitív, akkor a sorozat minden tagja azonos előjelű, ha a quociens negatív, akkor a tagok váltakozó előjelűek. Ha (q >1), akkor a sorozat szigoruan monoton növekvő, (0 <1)-re. Ha q =0, akkor a sorozat második elemétől kezdve minden elem 0. Ha q=1, akkor a sorozat minden eleme megegyezik. Pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely 3 egymásután álló elem közül a középső a két szélsőnek a mértani közepe. Általánosan is igaz: a pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely elem a tőle szimetrikusan elhelyezkedő elemeknek a mértani közepe.

Vektorok [matematika]

Vektorok

52. Mit nevezünk vektornak? Mikor egyenlő két vektor?

Minden eltolást egy irányított szakasszal adunk meg, amelyet vektornak nevezünk. Két vektor akkor egyenlő, ha ugyanazt az eltolást adják meg, vagyis ha hosszuk és irányuk megegyezik. Két vektor akkor ellentett vektor, ha hosszuk megegyezik, az irányuk pedig ellentétes.

A vektor hossza a vektor abszolút értéke. A nulvektor abszolút értéke 0, iránya tetszőleges.

53. Hogyan definiáljuk két vektor összegét, ill. különbségét?

Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! [Legyen a két vektor A és b.] Vegyük fel a-t, és a végpontjából mérjük fel a b vektort. Az A vektor kezdőpontjából a b vektor végpontjába mutató vektor az (a +b) vektor, amely az összeg, vagy eredővektor. Az A és b vektorokkal megadott két eltolás egyetlen eltolással helyettesíthető: ezt az eltolást adja meg az (a +b) vektor.

Két [egymással nem párhuzamos] vektor összege megadható az ún. paralelogramma szabállyal is: vegyük fel a két vektort közös kezdőponttal, végpontjaikon át húzzunk a másik vektorral párhuzamosokat. Ezek a párhuzamosok az adott vektorokkal együtt egy paralelogrammát határoznak meg. Az eredővektor a paralelogrammának az adott vektorok közös kezdőpontjából kiinduló átlója.

A vektorok összeadása kommutatív: ez a paralelogramma szabállyal történő összegzésből nyilvánvaló. Több vektort úgy összegezhetünk, hogy egymáshoz csatlakozóan vesszük fel őket. Az összegvektor az elsőnek felvett vektor kezdőpontjából az utoljára felmért vektor végpontjába mutató vektor.

A vektorok összeadása asszociatív is: (a +b) +c =a +(b +c) =a +b +c.

Az a-b különbségvektor az a vektor, amelyhez a b vektort adva az a vektort kapjuk. Az (a -b) vektort úgy kapjuk meg, hogy a két vektort közös kezdőpontból vesszük fel; az (a -b) vektor a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor. A vektorkivonás nem kommutatív [az (a -b és (b -a) vektorok ellentettvektorok].

54. Mit értünk egy vektor számsorosán?

epszilon*a [a vektor epszilonszorosa epszilon <>0-ra az a vektor, amelynek abszolút értéke az A vektor abszolút értékének abszolút érték epszilonszorosa, és iránya epszilon >0 esetén megegyezik az A vektor irányával. Epszilon <0 epszilon ="0," a ="">

79. Mik a bázisvektorok?Definiálja egy vektor koordinátáit az i,j egységvektorokkal megadott koordinátarendszerben!

Ha felveszünk a síkon egy O pontot és a,b [nem párhuzamos] vektorokat, akkor a sík bármely P pontjához tartozik egy O-P helyvektor, mely egyértelműen felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre: O -P =k1*a +k2*b. A k1 és a k2 számokat úgy tekintjük, mint a O-P vektorhoz rendelt rendezett számpárt. Ily módon a helyvektorok és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ezzel a módszerrel a helyvektoroknak rendezett számpárokat feleltetünk meg.

Az adott vektorokat bázisvektoroknak nevezzük, ha két adott vektor az i és j egységvektor, ahol i-t pozitív irányú 90 fokos elforgatás viszi át j-be.

Az O-P helyvektort felbonthatjuk i és j irányú összetevőkre: O-P =k1*i +k2*j; k1 és k2 az O -P helyvektor koordinátái. A bázisvektorok a Descartes-féle koordinátarendszert állítják elő: az O pont a koordinátarendszer kezdőpontja, és az x tengely pozitív fele az i, az ipszilon tengely pozitív fele pedig a j irányba mutat.

80. Mit ért egy vektor abszolút értékén? Hogyan határozható meg egy vektor abszolút értéke a vektor koordinátái segítségével?

Tetszőleges vektor abszolút értékén az adott vektor hosszát értjük. Vetítsük az adott 0-ból kiinduló v vektort az x koordinátatengelyre. az AOT derékszögű háromszög befogóinak hossza a vektor koordinátáinak abszolút értékével, az átfogó hossza pedig a vektor abszolút értékével egyenlő. A Pitagoras-tételt felírva: |v| =`(v1^2 +v2^2), vagyis egy vektor abszolút értéke egyenlő az a koordinátái négyzetösszegéből vont négyzetgyökkel. a kapott összefüggés akkor is érvényes, ha a vektor valamelyik tengellyel párhuzamos, pl.: |v| =`(0^2 +v2^2) =|v2|.

81. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen?

Az A és b vektor skaláris szorzata: a*b =|a|*|b|*cos(epszilon) Ahol epszilon a két vektor hajlásszögét jelöli, vagyis 0 <=epszilon <=180 fok. Ha epszilon <90>90 fok [vagyis tompa szög], akkor (a*b) negatív. Ha a két vektor közt a nulvektor is szerepel, akkor a hajlásszög nincs egyértelműen meghatározva, de a nul vektor abszolút értéke 0, ezért a szorzat ekkor 0. Ezek szerint a skaláris szorzat mindig egyértelműen meghatározott.

Ha A merőleges b-re, akkor a*b =|a|*|b|*cos(90) =|a|*|b|*0 =0, vagyis a skaláris szorzatok 0.

Megfordítva:

ha (a*b =0), és az (a*b) vektorok egyike sem 0, akkor (|a| <>0), és (|b| <>0), így (a*b =|a|*|b|*cos(epszilon) =0) csak úgy állhat fenn, ha (cos(epszilon) =0), tehát A merőleges b-re.

Eszerint két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra. [a nulvektort úgy tekintjük, hogy minden vektorra merőleges.]

A skaláris szorzat definíciójából nyilvánvaló, hogy a skaláris szorzat kommutatív: a*b =b*a.

Az ((a*b)*c) egy c irányvektor, az (a*(b*c)) pedig egy A irányvektor, a skaláris szorzat tehát nem asszociatív.

82. Bizonyítsa be, hogy minden (a*b*c) vektor esetében ((a+b)*c =a*c +b*c), vagyis két vektor összegének egy harmadik vektorral való skaláris szorzata széttagolható!

Ha (c =0), akkor ((a +b)*nulvektor =0), (a*nulvektor +b*nulvektor =0),tehát igaz az állítás.

Ha (c nem =0), akkor vegyük a c-vel azonos irányú e egységvektort, ekkor (c =|c|*e). Így elegendő az ((a +b)*e =a*e +b*e) állítást belátnunk ([zt abszolút érték c-vel beszorozva az eredeti állítást kapjuk]. A skaláris szorzat definíciója alapján könnyen beláthatjuk, hogy egy vektornak és egy egységvektornak a skaláris szorzata a vektornak az egységvektor egyenesén lévő előjeles vetületét adja [ez a skalárvetület].

Adott az e egységvektor. Vegyük fel az a,b vektorokat, összegük: a +b. Képezzük ezeknek az e egyenesére vonatkozó skalárvetületét. Az összeg skalárvetülete =a tagok skalárvetületeinek összegével:(a +b)*e =a*e +b*e.

83. Fejezze ki két vektor skaláris szorzatát a vektorokkoordinátáinak segítségével!

Két koordinátáival adott vektor, a (a1,a2) és b (b1,b2) skaláris szorzata:

a*b =a1*b1 +a2*b2.

bizonyítás: a =a1*i +a2*j, b =b1*i +b2*j, a*b =(a1*i +a2*i)*(b1*i +b2*i). A disztributív tulajdonság alapján a szorzás tagonként végezhető: a*b =a1*b1*i^2 +a1*b2*i*j +a2*b1*j*i +a2*b2*j^2, i*j =j*i =0, mivel i és j merőlegesek egymásra. i^2 =|i|*|i|*cos(0) =1. Hasonlóan (j^2) is 1-gyel egyenlő. Így a*b =a1*b1*1 +a2*b2*1, amiből a*b =a1*b1 +a2*b2, ezt akartuk bizonyítani.

Tehát két vektor skaláris szorzata megfelelő koordinátái szorzatának összege.