Halmazok [matematika]

Halmazok

152. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlő két halmaz?

A halmaz a matematikában alapfogalom. Két halmazt akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. Halmazt megadhatunk gy, hogy felsoroljuk az elemeit. Pl.: A={{1,3,5,7,9}}

Megadhatunk halmazt egy alaphalmazzal, és egy tulajdonsággal gy, hogy a halmazba az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak, amelyekre igaz a tulajdonság. Pl.: R+={{x eleme R és x >0}}, P={{n eleme N+ és n prím}}

153. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mikor mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek?

Az A halmaz részhalmaza [része] a B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme egyben a B halmaznak is eleme. A részhalmaza B-nek, és B-nek nincs A-hoz nem tartozó eleme

154. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mit értünk A és B direkt [Descartes-féle] szorzatán?

Tegyük fel, hogy A és B nem üres halmazok. Az A*B halmaz eleme az összes olyan (a,b) alap rendezett pár, ahol a eleme A-nak, és b eleme B-nek. Az A*B halmazt az A és B halmazok direkt [Descartes-féle] szorzatának nevezzük.

155. Definiálja a következő halmazműveleteket: Unió-, Metszet-, Különbségképzés! A három művelet közül melyik kommutatív, melyik asszociatív?

Unióképzés: Az A és B halmaz uniója [egyesítése, összege] azon elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Az unióképzés: Kommutatív: A unió B = B unió A. Asszociatív: (A unió B) unió C=A unió (B unió C)=A unió B unió C

Metszetképzés: Az A és B halmaz metszete [közös része] azon elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül mindkettőnek elemei. A metszetképzés: Kommutatív: A metszet B = B metszet A Asszociatív: (A metszet B) metszet C = A metszet (B metszet C)= A metszet B metszet C

Különbségképzés: Az A és B halmazok [ebben a sorrendben vett] különbsége az A halmaz azon elemeinek halmaza, amelyek nem elemei a B halmaznak. A különbségképzés művelete nem kommutatív és nem asszociatív.

156. Mi a konjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív!

A konjunkció olyan logikai művelet, amely két kijelentést vagy állítást az "és" kötőszóval kapcsol össze egy kijelentéssé.

A művelet kommutatív: A és B = B és A. A definíció szerint ugyanis az A eredmény logikai értéke [igaz, vagy nem igaz volta] független az eredeti állítások sorrendjétől.

A művelet asszociatív: (A és B) és C = A és (B és C)

157. Mi a diszjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és asszociatív!

A diszjunkció olyan logikai művelet, mely két kijelentést a "vagy" kötőszóval egy kijelentéssé kapcsol össze.

A művelet kommutatív: A vagy B = B vagy A , a definíció szerint ugyanis az eredmény logikai értéke független az eredeti állítások sorrendjétől.

A művelet asszociatív: (A vagy B) vagy C= A vagy (B vagy C)

158. Mi a negáció? Legyen P és Q két állítás! Bizonyítsa be, hogy nem (P és q)=nem P vagy nem Q!

A negáció egyváltozós művelet. Egy A kijelentés negációja (nem A) a "nem igaz, hogy A" kijelentést, vagyis A tagadását jelenti.

Fontos összefüggés a diszjunkció és a konjunkció között:

Nem (P és Q) = nem P vagy nem Q

Háromszög tételek [matematika]

Háromszög tételek

32. Igazolja, hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobboldal van, és fordítva.

A. A háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.

B. A tétel első része: Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.

35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást.

Legyen az ABC háromszög A-B oldalának felezőmerőlegese e. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A B-C oldal felezőmerőlegese F. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van B-től és C-től. Mivel A-B és B-C metszik egymást, a felezőmerőlegeseik e és F metszik egymást [mert metsző egyenesekre merőlegesek]. Az M metszéspont egyenlő távolságra van A-tól és B-től, B-től és C-től is; vagyis mindhárom ponttól, eszerint A-tól és C-től is. Tehát M rajta van az A-C oldal felezőmerőlegesén. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

A három felezőmerőleges egyetlen közös pontja az M, a háromszög három csúcsától egyenlő távolságra van. így ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

36. Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást!

Legyen az ABC háromszög alfa szögének szögfelezője F-alfa. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van a b és a c oldaltól. A béta szög szögfelezője F-béta. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van az a oldaltól és a c oldaltól. Az Falfa és az Fbéta szögfelezők a háromszög belsejében metszik egymást, a metszéspont N, amely egyenlő távolságra van btől és ctől, és atól és ctől is, vagyis mindhárom oldaltól. Eszerint egyenlő távol van atól és btől is, tehát rajta van a epszilon szög szögfelezőjén is [kihasználjuk, hogy N a háromszög belsejében van]. A három belső szögfelező egyetlen kötös pontja az N, az ABC háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja.

37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást!

A háromszög magasságvonala a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsájtott merőleges. Egy háromszögnek három magasságvonala van. A háromszög magasságvonalai egy pontban, a háromszög magasságpontjában metszik egymást.

38. Igazolja Thálész tételét, és a tétel megfordítását!

Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk.

A tétel megfordítása: Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, az átfogó a kör átmérője.

55. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást!

Egy háromszög slyvonala a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. A háromszögnek 3 súly vonala van. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont a súlyvonalakat kettő egy arányban úgy osztja két részre, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felöl van.

56. Bizonyítsa be a Pitagoras-tételt, és a tétel megfordítását.

Pitagoras tétele: A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzetek területével. Algebrai alakban: A^2 +b^2 =c^2, ahol a és b a derékszögü háromszög két befogója és c az átfogója.

A Pitagoras tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő.

A Pitagoras tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

58. Bizonyítsa be, hogy a háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja!

A háromszög b cscsából induló szögfelező a szemközti oldalt kétrészre osztja. Jelöljük ezeket b1-gyel és b2-vel. A tétel állítása szerint: b1/b2=a/c.

63. Bizonyítsa be, hogy a derékszögü háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.

A derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.

64. A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre osztja. Bizonyítsa be, hogy az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe.

Ponthalmazok [matematika]

Ponthalmazok

33. Határozza meg a következő ponthalmazokat: A. Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban és a térben.

B. Két adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.

A. Két adott ponton [P-től és Q-tól] egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a P-Q szakasznak az adott síkra illeszkedő felezőmerőleges egyenese. A P-től és a Q-tól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben a P-Q szakasz felezőmerőleges síkja. Ez a sík átmegy a P-Q szakasz F felezőpontján, és merőleges a P-Q szakaszra. Ez azt jelenti, hogy a felezőmerőleges sík valamely egyenese merőleges a P-Q szakaszra.

B. Ha két adott egyenes párhuzamos, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos, és távolságukat felezi. Ha a két egyenes [e és f] metszi egymást, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az általuk bezárt szögek szögfelező egyenesei.

34. Határozza meg a következő ponthalmazokat!: A. Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon és a térben.

B. Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.

A. Három adott ponttól, A-tól, B-től, és C-től egyenlő távolságra lévő pontok a síkban azok, amelyek egyenlő távolságra vannak A-tól is és B-től is, és ugyanakkor B-től is és C-től is. Egy síkban az A-tól és B-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az A-B szakasz felezőmerőlegese: A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza pedig a B-C szakasz felezőmerőlegese. A keresett ponthalmaz tehát a két felezőmerőleges közös pontjaiból áll. Ha A,B és C háromszöget alkot, akkor a két felezőmerőlegesnek 1 közös pontja van, ez a pont mindhárom ponttól egyenlő távolságra van. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy A-C felezőmerőlegese is átmegy ezen a ponton; vagyis a háromszög három oldalfelezőmerőlegese egy pontban metszi egymást. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges párhuzamos, a két egyenesnek nincs közös pontja, tehát a keresett ponthalmaz üres. A térben az A,B és C ponttól egyenlő távolságra lévő pontok az A-B szakasz felezőmerőleges síkjának és a B-C szakasz felezőmerőleges síkjának a közös pontjai. Ha A,B és C egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges sík párhuzamos egymással, tehát a keresett ponthalmaz üres halmaz. Ha A,B és C háromszöget alkot, akkor a két sík egy egyenesben metszi egymást. Ez az egyenes az ABC háromszög köré írható kör középpontján átmenő, az ABC háromszög síkjára merőleges egyenes.

B. Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát azokban az esetekben nézzük, amikor a három egyenes közt nincs egybeeső pont. Ha a három egyenes párhuzamos, nincs a feltételeket kielégítő pont. Ha a három egyenes közül 2 párhuzamos egymással, és a harmadik egyenes metszi őket [a és b párhuzamosak, e metszi a-t és b-t,], akkor az a és b párhuzamos egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes középpárhuzamosa (p). Az a és e egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f1 és f2 szögfelező egyenesek. Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két halmaz metszete: P1 és p2 pont. P1 és p2 egyenlő távolságra van az e-től és b-től is. [Az általuk bezárt szög szögfelező egyeneseivel is dolgozhattunk volna.] a háromszög belsejében a feltételeket kielégítő pont a három belső szögfelező metszéspontja. A 2.3. És 4. Jelű síktartományban a háromszög egy belső szögfelezőjének és a másik két csúcshoz tartozó külső szögfelezőnek a metszéspontja adja a feltételeket kielégítő pontokat [minden síktartományban egyet]. Ha a három egyenes 1 pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont elégíti ki a feltételeket, a három egyenes metszéspontja.

94. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk parabolának?

A parabola azon pontok halmaza a síkban, amelyek 1, a síkban adott ponttól és 1 - az adott pontra nem illeszkedő egyenestől egyenlő távolságra vannak. Az adott pont a parabola fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese [direktrixe]. A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p). A parabolát a paramétere egyértelműen meghatározza, így a parabolák hasonlók egymáshoz.

96. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk elipszisnek?

Az elipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távolságszöge állandó, és ez az állandó nagyobb mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok [F1 és F2] az elipszis fókuszpontjai. Az adott távolság az elipszis nagytengelye. Az F1-F2 szakasz felezőmerőlegesének az elipszis tartományába eső szakasza az elipszis kistengelye.

98. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk hiperbolának?

A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távolságkülönbségének abszolút értéke állandó, és ez az állandó kisebb, mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok [F1 és F2] a hiperbola fókuszpontjai, az adott távolság a hiperbola főtengelye.

SIKTERGA [matematika]

SIKTERGA

24. Mit ért

A. Pont és egyenes távolságán?

B. Párhuzamos egyenesek távolságán?

C. Pont és sík távolságán?

D. Párhuzamos síkok távolságán?

A. Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsájtott merőlegesnek a pont és egyenes közötti szakasza hosszát értjük.

B. Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsájtott merőlegesnek a két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük.

C. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőlegesnek a pont és sík közötti szakaszának a hosszát értjük.

D. Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsájtott merőleges - két sík közötti szakaszának - hosszát értjük.

25. Mit ért két kitérő egyenes távolságán?

Egyetlen olyan egyenes van, amely két kitérő egyenes mindkettőjét merőlegesen metszi. Ezt az egyenest szokták a két kitérő egyenes normál transzverzálisának nevezni. Két kitérő egyenes távolsága a normál transzverzálisuknak az egyenesek közé eső szakaszának hossza. Ha két kitérő egyenes mindegyikére másikkal párhuzamos síkot fektetünk, akkor az így kapott két sík távolsága egyenlő a két kitérő egyenes távolságával. Az e és az f kitérő egyenesek transzverzálisát gy is megkaphatjuk, hogy az e egyenesen át az f-fel párhuzamos síkot helyezünk el, majd f-en át merőleges síkot állítunk az előbbi síkra. Ezután a két sík metszésvonalának az e egyenessel való metszéspontjában az első síkra merőlegest állítunk. Ez a keresett egyenes.

26. Mit ért

A. Egyenes és sík hajlásszögén?

B. Két sík hajlásszögén?

A. Egy, a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a sík minden egyenesére. Ha az e egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egyenes (e'). Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az egyenes és a vetület hajlásszögét értjük. Bizonyítható, hogy ez a szög a legkisebb az e egyenes és a sík egyenesei által bezárt szögek között.

B. Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge a két merőleges hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független. Megkaphatjuk ezt a szöget gy is, hogy a metsző síkokat 1, a metszésvonalakra merőleges síkkal elmetszük. Ez a sík az eredeti két síkból egy-egy egyenest metsz ki. Ezek hajlásszöge a két sík hajlásszöge.

27. Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén?

Két kitérő egyenes hajlásszöge a tér egy tetszőleges pontján átmenő, és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független.

28. Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel aháromszögek egybevágóságának alapeseteit!

Két síkbeli alakzat egybevágó, ha van a síknak egybevágósága, amely egyiket a másikba viszi. Egybevágóságnak nevezzük a síknak önmagára való távolságtartó leképezését.

A háromszögek egybevágóságának alapesetei: Két háromszög egybevágó ha:

A. Oldalaik hossza páronként egyenlő.

B. Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által közrefogott szögek egyenlők.

C. Egy-egy oldaluk hossza és bármelyik két-két megfelelő szögük egyenlő.

D. Két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközt lévő szögek egyenlők.

31. Mit nevez középvonalnak

A. Palalelogramma

B. Trapéz

C. Háromszög

esetén? Számítsa ki ezeknek a hosszát az oldalak ismeretében!

A. A palalelogramma középvonala: Két párhuzamos oldala felezőpontját összekötő szakasz. A palalelogramma középvonala párhuzamos a palalelogramma két oldalával; hossza velük megegyező.

B. A trapéz középvonala: A két szár felezőpontját összekötő szakasz. A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz párhuzamos oldalaival; hossza azok számtani közepe.

C. A háromszög középvonala: A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz. A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza az oldal hosszának a fele.

50. Hogyan mérünk szöget?

A szög legelterjedtebb mértékegysége a teljes szög 360-ad része, a fok; ennek 60ad része a perc; ennek 60ad része a másodperc. Egy körben a középponti szögek és a hozzájuk tartozó körívek hossza egyenesen arányos. Ez az összefüggés lehetőséget nyújt az ívmértékkel való szögmérésre. Az ívmérték egysége az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz a kör sugarával egyenlő hosszság körív tartozik. Neve: Egy radián.

Másképpen:

Egy radián az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz az egységsugár körben egységnyi hosszúság körív tartozik. A szög ívmértéke egy arányszám, amely azt mutatja meg, hogy a szöghöz mint középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a kör sugarának. Eszerint egység sugár körben a szög ívmértéke a szöghöz, mint középponti szöghöz, tartozó körív hossza.

A teljes szög ívmértéke: 2*R*pi/r=2*piradián.

Az egyenes szög ívmértéke: Pi radián.

A derékszög ívmértéke: Pi/2 radián.

A 60 fokos szögé: Pi/3 radián.

Alfa szög ív mértéke: Pi/180 fok * alfa fok radián.

360 Fok ívmértéke: 2*Pi radián, ezért egy radián a 360 fok /2*pi 57.3 foknak az ívmértéke.

Koordináta geometria [matematika]

Koordináta geometria

84. Mit ért egy alakzat egyenletén?

Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza az alakzat pontjainak koordinátáiból áll; vagyis olyan egyenlet, amelyet az alakzat minden pontjának koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem.

85. rja fel az A(a1,a2) és B(b1,b2) pontok távolságának kiszámítására vonatkozó képletet, és igazolja annak helyességét!

Két pont (A(a1,a2) és B(b1,b2)) távolsága (d) a két pont által meghatározott vektor (A -B(b1 -a1,b2 -a2)) abszoltértéke. Koordinátáival adott vektor abszoltértéke a vektor koordinátái négyzetösszegének a négyzetgyöke. Gy |A -B| =`((b1 -a1)^2 +(b2 -a2)^2)

A két pont távolsága: d =`((b1 -a1)^2 +(b2 -a2)^2.

86. rja fel egy szakasz felezőpontjának, illetve harmadolópontjának koordinátáit a szakasz végpontjainak koordinátáival, és igazolja a felírt formulákat!

Szakasz felezőpontjának koordinátái: az A -B szakasz F felezőpontjának koordinátái: x ={x1 +x2 /2}, y ={y1 +y2 /2}. A végpontok koordinátáival megadott szakasz felezőpontjának koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepei. A végpontok koordinátáival megadott szakasz harmadolópontjának koordinátái: x =x1 +2*x2 /3 y =y1 +2*y2 /3. A H harmadolópont koordinátáit megkapjuk, ha a hozzá közelebbi végpont megfelelő koordinátája kétszereséhez hozzáadjuk a távolabbi végpont megfelelő koordinátáját, s ezt az összeget osztjuk 3mal.

87. Adottak egy háromszög csúcspontjainak koordinátái. Bizonyítsa be, hogy a súlypont koordinátái kiszámíthatók a csúcsok koordinátáinak számtani közepeként!

X =x1 +x2 +x3 /3 y =y1 +y2 +y3 /3 Ahol S (x,y) a három súlyvonal közös pontja.

A bizonyításhoz felhasználjuk a harmadoló pont koordinátáira vonatkozó ismereteinket.

88. Definiálja egy egyenes iránytangensét!

Egy egyenes irányvektora bármely az egyenessel párhuzamos vektor. Az egyenes iránytangense egy [v vektor(v1,v2)] irányvektorának koordinátáiból képzett (v2 /v1) hányados, ahol (v1 <>0). V2 /v1 =tan(alfa), v1 <>0 és alfa az egyenesnek az x tengely pozitív felével bezárt szöge.

Ha (v2 =0), vagyis az egyenes párhuzamos az x tengellyel, akkor iránytangense 0.

Ha v1 =0, vagyis az egyenes párhuzamos az y tengellyel, akkor nincs iránytangense.

89. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2) irányvektor egyenes egyenlete (v2x -v1y =v2x0 -v2y0)!

A P0(x0,y0) ponton átmenő v vektor(v1,v2) irányvektor egyenes egyenlete: v2x -v1y =v2x0 -v2y0.

90. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton áthaladó n vektor (n1,n2) normálvektorú egyenes egyenlete (n1*(x -x0) +n2*(y -y0) =0)!

Az egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, nulvektortól különböző vektor. A bizonyításban felhasználjuk a vektorok skaláris szorzatára vonatkozó ismereteinket.

91. Bizonyítsa be, hogy a P0(x0,y0) ponton átmenő m iránytangensű egyenes egyenlete y -y0 =m*(x -x0)!

Bizonyítása: legyen az egyenes irányvektora v vektor (v1,v2). Iránytangens csak akkor létezik, ha a v vektor nem párhuzamos az y tengellyel, vagyis (v1 <>0). Ekkor az iránytangenst [m-et] így értelmezzük: m =v2 /v1.

Induljunk ki az egyenes irányvektoros egyenletéből: v2*(x -v1)*y =v2*(x0 -v1)*y0. V1 <>0, végigosztva az egyenletet kapjuk: v2 /v1*x -y =v2 /v1*x0 -y0. Ez pedig így írható: m*x -y =m*x0 -y0. A kapott egyenletet rendezve kapjuk, hogy: y -y0 =m*(x -x0). Ha az adott pont P0(0,b), akkor y -b =m*x, vagyis y =m*x +b. Ez az egyenes iránytényezős egyenlete.

92. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének - a koordinátageometriában használatos - szükséges és elégséges feltételét!

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik, illetve normálvektoraik párhuzamosak, vagyis egymásnak skalárszorosai. Ha az egyeneseknek van iránytangensük, vagyis nem párhuzamosak az y tengellyel, akkor a párhuzamosságnak szükséges és elégséges feltétele, hogy a két egyenesnek az iránytangense [m1 és m2] egyenlő legyen: m1 =m2.

Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha irányvektoraik illetve normálvektoraik merőlegesek egymásra, vagyis irányvektoraik, illetve a normálvektoraik skaláris szorzata 0. Ha mindkét egyenesnek van iránytangense [m1 és m2], akkor a merőlegesség szükséges és elégséges feltétele, hogy iránytangenseik szorzata -1 legyen: m1*m2 =-1.

93. Bizonyítsa be, hogy a C(u,v) középpont, r sugarú kör egyenlete ((x -u)^2 +(y -v)^2 =r^2)!

A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a körön, ha távolsága a C(u,v), középponttól, r.

A bizonyításhoz felhasználjuk a két pont távolságát megadó képletet.

95. A P paraméterű F(0,p /2) fókuszpont parabola tengelypontja a koordinátarendszer kezdőpontja, tengelye az ordinátatengely. Bizonyítsa be, hogy a parabola egyenlete (x^2 =2*p*y)!

Bizonyítása: a feltételek alapján a vezéregyenes egyenlete:

y =-P /2. A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a parabolán, ha P-nek a vezéregyenesen lévő merőleges vetületét T-vel jelölve (P -F =P -T), vagyis: `(x^2 +(y -P /2)^2) =y +P /2. Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve kapjuk az (x^2 =2*p*y) alakot, amely eqivalens az előbbi egyenlettel, mivel a feltételek miatt (y +p /2) pozitív. A kapott egyenlet az y tengelyű parabola tengelyponti egyenlete. Az x tengelyű parabola tengelyponti egyenlete: y^2 =2*p*x.

KOMGRAF [matematika]

KOMGRAF

148. Bizonyítsa be, hogy n különböző elem összes permutációjának száma nfaktoriális =n(n -1)(n -2)...3*2*1!

Adott n [különböző] elem valamely sorrendjét az adott elemek egy permutációjának nevezzük. Az n elem összes lehetséges sorrendjének a számát, vagyis az n elem permutációinak számát pn-nel jelöljük. A pn meghatározásához vegyünk egy n rekeszes dobozt, és vizsgáljuk meg, hány féleképpen lehet elhelyezni az 1,2,3,...N,n elemeket a megadott n helyre: n féleképp, n -1 féleképp, ... Kétféleképp, egyféleképp. Az első rekeszbe az n elem bármelyike választható; így ez a rekesz n féleképpen tölthető be. A második rekeszbe az első helyre beírt elem már nem választható, így a másodikba az (n -1) elem bármelyike tehető. Ez az első rekesz minden lehetséges kitöltése mellett a második rekesz kitöltésére (n -1) féle lehetőséget ad. Az első két rekesz kitöltésére tehát (n*(n -1)) lehetőség van. A harmadik rekeszbe már csak (n -2) elem közül választhatunk. gy az első három rekeszbe (n*(n -1)*(n -2)) féleképpen tehetők az elemek. Hasonlóan látható be, hogy a következő helyek mindegyike egyel kevesebb módon tölthető be, mint az előző hely. Az (n -2)-edik rekeszbe 3, az (n -1)-edik rekeszbe 2 elem közül választhatunk; az n-edik rekeszbe már csak egy elem marad.

N különböző elem összes permutációjának száma: pn =n*(n -1)*...*3*2*1. Az egyenlőség jobb oldalán az első n természetes szám szorzata áll, ennek rövid jelölése: n faktoriális. Tehát pn =n faktoriális.

149. Bizonyítsa be, hogy a különböző elem k -ad osztáj variációinakszáma n faktoriális / (n -k) faktoriális!

Adott n különböző elem, válasszunk ki közülük k-t (k <=n), és vegyük a kiválasztott k elem egy sorrendjét. gy az n elem egy k-ad osztáj variációját nyerjük. Az összes kiválasztott k -as összes lehetséges sorrendjének a száma az n elem összes k -ad osztály variációinak száma. Ennek bebizonyítására vegyünk egy k rekeszes dobozt! Ebben helyezzük el n elem közül k elemet minden lehetséges módon: n féleképp, (n -1) féleképp, ...,(N -k +1) -féleképp. Az első rekeszbe az n elem bármelyike tehető. A második rekeszbe már csak (n -1) elem közül választhatunk [egy elem ugyanis már az első rekeszben van]. Ez (n -1) féle kitöltési lehetőséget ad a második rekesz számára. Az első két rekeszbe így (n*(n -1)) féleképpen tehetők az elemek. Minden rekeszbe egyel kevesebb elem közül választhatunk, mint az előzőbe. A k-adik rekeszbe (n -k +1) elem közül választunk. A doboz teljes kitöltésére összesen (n*(n -1)*...*(N -k +1)) lehetőség adódik. Ha az eredményt (n -k) faktoriálissal bővítjük, faktoriális jelöléssel is fölírhatjuk: n*(n -1)*...*(N -k +1) =n*(n -1)*...*(N -k +1)*(n -k)*(n -k -1)*...*2*1 /(N -k)*(n -k -1)*...*2*1 =Nfaktoriális /(n -k)faktoriális.

150. Bizonyítsa be, hogy különböző elem k -ad osztály konbinációinak száma =nfaktoriális /kfaktoriális*(n -k)faktoriális.

Adott n különböző elem. Az n elem közül k különböző elemet választunk ki oly módon, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel. gy az n elem k -ad osztály konbinációját nyerjük. Ennek meghatározása érdekében nézzük meg, milyen kapcsolat van az n elemből alkotott k -ad osztály variációk száma és az n elemből alkotott k -ad osztály konbinációk között! Egy k-ad osztály konbinációból gy képezhetünk k-ad osztály variációt, hogy a konbináció elemeit permutáljuk. Minden egyes konbináció k faktoriális variációt ad. A konbinációk különböztek egymástól legalább egy elembe, így a kapott variációk is biztos különböznek. Ezek szerint: kfaktoriális*különböző n elem k-ad osztály konbinációja =n*(n -1)*(n -2)*...*(N -k +1) =nfaktoriális /(n -k)faktoriális, innen: különböző n elem k-ad osztály konbinációja =n*(n -1)*...*(N -k +1) /kfaktoriális =nfaktoriális /kfaktoriális*(n -k)faktoriális

159. Határozza meg egy véges halmaz részhalmazainak számát!

Egy n elemű halmaznak 2^n szám különböző részhalmaza van.

Bizonyítása: tekintsük az (a ={{a1,a2,...,An}}) halmazt! Egy részhalmazt megadhatunk oly módon, hogy az a1,a2,...,aN elemekről rendre megmondjuk, hogy benne vannak-e a részhalmazban, vagy sem. Ennek alapján az A halmaz részhalmazait megfeleltetjük 0 és 1 számjegyekből álló n tagu számsorozatoknak: a k-adik helyre aszerint írunk 0-át vagy 1-et, hogy a(k) benne van-e a részhalmazban. Ha nincs benne, 0-át; ha benne van, 1-et írunk. Ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű, így pontosan annyi részhalmaza van az A halmaznak, mint ahány 0-ákból és 1-esekből álló n tagu számsorozat van. Minden hely kitöltésére egymástól függetlenül 2 lehetőségünk van [0-át vagy 1-et írhatunk]. gy a lehetőségek száma 2^n.

160. Mit nevezünk gráfnak? Mi az n pont teljes gráf? Mi az egyszerű gráf? Mi az összefüggő gráf?

Ha véges sok adott pont közül egyeseket vonallal összekötünk, akkor a kapott ábrát gráfnak nevezzük. A pontok a gráf pontjai vagy szögpontjai, a vonalak a gráf élei. Ha egy gráfnak n pontja van [n pozitív egész szám], és mindegyik pontból pontosan 1 él vezet a többi ponthoz, akkor a gráfot n pont teljes gráfnak nevezzük.

A gráfokban előfordulhat olyan él is, amelynek mindkét végpontja ugyanaz a pont. Az ilyen él neve hurok. Két csúcsa között több élt is húzhatunk, ezek a többszörös élek.

Egy gráfot egyszerűnek nevezünk akkor, ha nincs benne sem hurok, sem többszörös él.

A gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely másik pontjába élek mentén el lehet jutni.

Trigonometria [matematika]

Trigonometria

66. Hogyan értelmezzük a hegyes szögek szögfüggvényeit?

Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik hegyes szöge alfa, ezek a derékszögű háromszögek - mivel két megfelelő szögük, alfa és a derékszög, egyenlő - mind hasonlók egymáshoz. Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Ezek az arányok csak az alfa szögtől függnek, így ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az alfa szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az egyes szögfüggvényeket, sin(alfa)-t, cos(alfa)-t, tan(alfa)-t, ctg(alfa)-t így értelmezzük:

sin(alfa) =a /c [az alfa szöggel szemközti befogó / az átfogó]

cos(alfa) =b /c [az alfa szög melletti befogó / az átfogó]

tan(alfa) =a /b [az alfa szöggel szemközti befogó / az alfa szög

melletti befogó]

ctg(alfa) =b /a [az alfa szög melletti befogó / az alfa szöggel

szemközti befogó]

(sin(alfa) =a /c)-ből (a =c*sin(alfa)), vagyis a szög szinusza megmutatja, hogy az alfa szöggel szemközti befogó hányszorosa az átfogónak. Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfüggvény is.

67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza illetve koszinusza?

Az e egységvektor pozitív irányszöge olyan alfa szög, amellyel az i egységvektort az origó körül pozitív irányba elforgatva az e-be megy át.

Sin(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor ordinátája [második koordinátája].

Cos(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor abszcisszája [első koordinátája].

68. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve kotangense?

Ha (cos(alfa) <>0) - azaz (alfa <>pi /2 +k*pi), k egész -, akkor tan(alfa) =sin(alfa) /cos(alfa).

Ha (cos(alfa) =0), akkor az alfa szög tangensét nem értelmezzük.

Ha (sin(alfa) <>0) - azaz (alfa <>k*pi), k egész -, akkor

ctg(alfa) =cos(alfa) /sin(alfa)

Ha (sin(alfa) =0), akkor az alfa szög kotangensét nem értelmezzük.

69. Számítsa ki a 30 fokos, 60 fokos, 45 fokos szögek szögfüggvényeinek pontos értékét!

A 30 fokos és a 60 fokos szögek szögfüggvényeit a 2 egység oldal szabályos háromszög segítségével számoljuk ki:

sin(30) =1 /2

sin(60) =`3 /2

cos(30) =`3 /2

cos(60) =1 /2

tan(30) =1 /`3 =`3) /3

tan(60) =`3

ctg(30) =`3

ctg(60) =1 /`3 =`3 /3

a 45 fokos szög szögfüggvényeit az egységnyi befogók egyenlő szár derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki:

sin(45) =1 /`2 =`2 /2

cos(45) =1 /`2 =`2 /2

tan(45) =1 /1 =1

ctg(45) =1 /1 =1

70. Igazolja a következő azonosságokat: Sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1 minden valós a -ra.

A szögfüggvények definíciója szerint az alfa irányszögű e egységvektor koordinátái: (cos(alfa),sin(alfa)), az általuk meghatározott derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagoras-tételt: |e|^2 =sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1.

71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldal és a közbezárt szög.

Adott egy háromszög két oldala, a és b, és a két oldal által közbezárt szög epszilon. Ekkor a háromszög területét [t-t] a következő képlet adja meg: t =a*b*sin(epszilon) /2

73. Bizonyítsa be egy kör r hosszság sugara, a hosszság húrja és az a -hoz tartozó alfa kerületi szög közötti következő összefüggést:

A =2*r*sin(alfa).

Az r sugar körben az alfa kerületi szöghöz tartozó a hr hossza: 2*r*sin(alfa).

74. Bizonyítsa be a szinusztételt!

A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben az oldalak aránya egyenlő a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

Bizonyítása:

rájuk fel a háromszög területét két féleképpen az alfa és béta szögek felhasználásával: a*c*sin(béta) /2 =b*c*sin(alfa) /2, innen: a*sin(béta) =b*sin(alfa), vagyis: a /b =sin(alfa) /sin(béta)

Közben felhasználtuk, hogy (c <>0), (b <>0), és (sin(béta) <>0), hiszen egy háromszög oldalairól, ill. szögéről van szó. Ugyanez az okoskodás a háromszög többi oldalpárjára is elvégezhető. A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából - két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül - meghatározhatjuk a kiányzó negyediket. Ha a hiányzó adat a nagyobb oldallal szemközti szög, akkor két megoldás is lehet:

egy hegyes szög és egy tompa szög. Derékszögű háromszögre [ahol a az egyik befogó, alfa az ezzel szemközti szög, c az átfogó] - a szinusztétel a (sin(alfa) =a /c) összefüggést adja.

75. Bizonyítsa be a koszinusztételt!

A koszinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben egy oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinusza szorzatának kétszeresét. C^2 =a^2 +b^2 -2*a*b*cos(epszilon).

76. Igazolja a következő azonosságokat:

Sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta)

77. Fejezze ki sin(alfa -béta) ill. cos(alfa -béta) értékét a sin(alfa +béta), ill. cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében!

Érvényesek a következő összefüggések: sin(alfa -béta) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*sin(béta) és (cos(alfa -béta) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta)).

Bizonyítása: Tudjuk, hogy sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta). rjunk béta helyébe (-bétát), majd használjuk fel, hogy sin(-béta) = -sin(béta) és cos(-béta) =cos(béta). Sin(alfa +(-béta)) =sin(alfa)*cos((-béta)) +cos(alfa)*sin((-béta)) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*cos(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk.

Cos(alfa +(-béta)) =cos(alfa)*cos((-béta)) -sin(alfa)*sin((-béta)) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk.

78. Fejezze ki tan(alfa +béta)-t tan(alfa)-val és tan(béta)-val a sin(alfa +béta), ill. a cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében!

A tan(alfa +béta) =tan(alfa) +tan(béta) /1 -tan(alfa)*tan(béta).

Térfogat számítások [matematika]

Térfogat számítások

135. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a gúlát és a kúpot?

A sokszög lapokkal határolt konvex testek a poliéderek.

Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. így egy végtelen hengerfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a görbevonal síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az így nyert véges test a henger. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a henger egyenes, egyébként ferde. Ha a síkbeli zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk [gyakori előfordulása miatt többnyire csak hengert mondunk]. A körlapok középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye. Az egyenes körhenger egyenlő oldal, ha a tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, alapsíkra merőleges síkmetszet] négyzet.

Elnevezések: a metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az összekötő görbefelület a henger palástja. A henger származtatásakor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága.

Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. így egy végtelen hasábfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a sokszög síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder a hasáb.

Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, egyébként ferde. Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli sokszögvonal szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye. A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma.

Elnevezések: a metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldallapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. A származtatáskor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. A párhuzamos síkok távolsága a hasáb magassága. A téglalap alap egyenes hasáb a téglatest; a kocka olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő.

A hasábot és a hengert - hasonló származtatásuk miatt hengerszerű testeknek nevezzük.

Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy - a sokszög síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor végtelen kettőskép szerű felületet kapunk. Ez a felület a sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a gúla. A sokszög a gúla alaplapja, a többi lap a gúla oldallapja. A

gúla oldallapjai háromszögek, amelyek közös csúcsa a gúla csúcsa, ami a rögzített pont. Az oldallapok alkotják a gúla palástját. A gúla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél. Az egyenes gúla oldalélei egyenlők. Ha az egyenes gúla alaplapja szabályos, akkor a gúla szabályos: oldallapjai egybevágó egyenlő szár háromszögek. Ha egy három oldal gúla [tetraéder] lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabályos tetraéderről beszélünk. Ez a létező 5 féle szabályos poliéder egyike.

Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy - a görbe vonal síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor egy végtelen, kettős kúpfelületet kapunk. Ez a felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a kúp. A rögzített pont a kp csúcsa. A zárt görbevonal által határolt síkidom a kp alaplapja. A kp csúcsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok a kp alkotói. A kp csúcsa és az alaplap síkja közötti távolság a kp magassága. A kp csúcsát az alaplappal összekötő görbe felület a kp palástja. Ha a kp alaplapja kör, akkor a kúp körkúp. [Ha kúpról beszélünk, többnyire körkúpra gondolunk.] A körkúp csúcsát a kör középpontjával összekötő egyenes a kp tengelye. A kp egyenes, ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez forgáskúp. Az egyenes kúp alkotói egyenlők, tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet] egyenlő szár háromszög. A kúp egyenlő oldal, ha tengelymetszete szabályos háromszög. A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat 4 tulajdonságán alapszik:

A. A térfogat pozitív szám.

B. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő.

C. Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlő.

D. Az egységnyi élű kocka térfogata 1.

A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben történik.

A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk össze. A többi poliéder térfogatának meghatározásakor felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert térfogatképleteket. Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van segítségünkre. A gúla térfogatát a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg; a görbe felületekkel határolt testek térfogatát pedig a "minden határon tl finomodó kétoldali közelítés" módszerével.

136. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, M magasság hasáb térfogata V =T*!

A bizonyítás két lépésben történik. Először bebizonyítunk egy segédtételt.

A. Bebizonyítjuk, hogyha egy téglatest egy csúcsából kiinduló 3 éle a, b, c, akkor a térfogata (V) ezek szorzata: V =a*b*c.

A két téglatest alaplapja egybevágó, térfogatuk aránya magasságuk arányával egyezik meg.

B. A paralelepipedon térfogata:

V =T*m

C. Háromszög alap hasáb térfogata (V) a hasáb alapterületének (T) és a magasságának (m) a szorzata: V =T*m.

D. A hasáb térfogata a hasáb alapterületének és magasságának szorzata: V =T*m

137. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V =r^2*pi*m!

A bizonyítás gondolatmenete:

rájunk gondolatban az r sugarú, m magasság hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszám szabályos sokszög alap hasábokat [magasságuk m].

A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a körért sokszögek területe csökken. így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A szabályos sokszög alap hasábok térfogata az "alapterület szer magasság" összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. így az azonos oldalszám köré - és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^2*pi, a kör területe. íGy akármilyen nagy oldalszámra is a köré - és beírt hasábok térfogata közé esik az (r^2*pi*m) érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha az r sugaru m magasság henger térfogata V =r^2*pi*m.

138. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasság gla térfogata (V =T*m /3)!

A. A T alapterületü m magasságu tetraéder térfogata T*m /3. A bizonyításhoz két segédtételt használunk:

a.: Ha két közös síkon álló tetraéder alapterülete (T) és magassága (m) egyenlő, akkor az alappal párhuzamos síkmetszeteik területe is egyenlő.

B.: Az azonos alapterületü és magasságu tetraéderek térfogata egyenlő.

C.: A tetraéder térfogatát - a segédtételek felhasználásával visszavezetjük a háromoldal hasáb már ismert térfogatára.

B. Tetszőleges T alapterületű m magasságu gla V térfogata: V =T*m /3.

141. Bizonyítsa be, hogyha a forgáskp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata (V =r^2*pi*m /3)!

A forgáskúp térfogatának meghatározása a kör alapú henger térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. rjunk a kúpba és a kp köré egyre nagyobb oldalszám m magasság szabályos sokszög alap gúlákat, melyeknek csúcsa a forgáskúp csúcsával megegyezik. A beírt gúlák alaplapjainak csúcsai a kúp alaplapjának kerületére esnek, a köréírt gúlák alaplapjainak oldalai érintik a kp alapkörét. A kp térfogata a beírt és a körülírt glák térfogata között van. Az alapkör területe is mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. Mivel a beírt és körülírt gúlák magassága megegyezik, a térfogatuk közötti különbség is egyre kisebb lesz. Bizonyítható, hogy a beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez, (r^2*pi)-hez tart. így akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt glák térfogata közé esik egyrészt az (r^2*pi*m /3) érték, amihez a köréírt és a beírt glák térfogata tart, másrészt a kp térfogata is. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha a kp térfogata (V =r^2*pi*m /3).

142. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru gömb térfogata (V =4*r^3*pi /3)!

Az r sugaru gömb térfogata: V =4*r^3*pi /3.

143. Bizonyítsa be, hogyha a csonkakp alapjai r és R sugaru körök,

magassága pedig m, akkor térfogata (V =m*pi /3*(R^2 +R*r +r^2))!