Geometria [matematika]

Geometria

44. Mi az egybevágósági transzformáció?

Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyek 1 ponthalmazt 1 ponthalmazra képeznek le. A geometriai transzformációk közül a távolságtartó leképezések az egybevágósági transzformációk. Ha a P és Q pont képe P' és Q', akkor P és Q távolsága megegyezik a P' és Q' pontok távolságával. A tengelyes és a középpontos tükrözés a pont körüli forgatás és az eltolás síkbeli egybevágósági transzformációk.

45. A sík melyik transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait!

Adott a sík egy t egyenese. Ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges t-re nem illeszkedő P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a két P -P' szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenes képe saját maga. A tengelyes tükrözés tulajdonságai:

A. A hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű: egy pontnak egy képpont felel meg, és minden képpontnak egy őse van.

B. A t egyenes minden pontja fixpont, más fixpont nincs.

C. A t egyenes és a rá merőleges egyenesek fixegyenesek, több fixegyenes nincs. Fixalakzatok a t egyenesre tengelyesen szimetrikus idomok.

D. A leképezés távolságtartó [minden szakasz egyenlő hosszság a tükörképével].

E. Szögtartó [minden szög egyenlő nagyság a tükörképével)].

F. Nem körüljárástartó [minden síkidom ellenkező körüljárás, mint a tükörképe].

G. Egyenes képe olyan egyenes, amely ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, és ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, mint az eredeti egyenes.

A fixpont olyan pont, amelynek a képe saját maga. A fixalakzat olyan alakzat, amelynek a képe saját maga.

46. A sík melyik transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek? Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait!

Adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja.

Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík tetszőleges

O-tól különböző P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre az

O pont a P-P' szakasz felező pontja.

Az O pont képe saját maga.

A középpontos tükrözés tulajdonságai:

A. A leképezés kölcsönösen egyértelmű.

B. Az O pont az egyetlen fixpontja.

C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, bár pontonként

egyik sem fix.

D. A leképezés távolságtartó, szögtartó és körüljárástartó.

E. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes

és a képe párhuzamos egymással.

47. Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, ill. egy egyenesére szimetrikusnak? Sorolja fel a középpontosan, ill. a tengelyesen szimetrikus háromszögeket, négyszögeket,sokszögeket!

Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, melyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimetrikus alakzat, melynek O a szimetriaközéppontja.

Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimetrikus alakzat. A t egyenes az alakzat tükörtengelye vagy szimetriatengelye. Középpontosan szimetrikus háromszög nincs, mert nem lehetnek párhuzamos és egyenlő hossz oldalpárjai.

Középpontosan szimetrikus négyszög a paralelogramma. A szimetriaközéppont az átlók metszéspontja. Középpontosan szimetrikusak általában a páros oldalszám szabályos sokszögek, például a szabályos 6szögek, 8szögek, 10szögek stb. Szimetriaközéppontjuk az átellenes cscsokat összekötő átlók metszéspontja, amely egyúttal a párhuzamos oldalpárok felezőmerőlegeseinek is közös pontja. De vannak más - nem szabályos - középpontosan szimetrikus páros oldalszám sokszögek is.

A kör átmérői a középpontban metszik egymást, erre a pontra a kör középpontosan szimetrikus.

Az egyenlő szár háromszög tengelyesen szimetrikus, legalább egy szimetriatengelye van.

Speciálisan a szabályos háromszög is tengelyesen szimetrikus, és három szimetriatengelye van.

A deltoidnak és a szimetrikus trapéznak legalább egy szimetriatengelye van.

A rombusznak és a téglalapnak legalább 2, és a tengelyek merőlegesek egymásra; a négyzetnek négy.

A rombusz, a téglalap [és így a négyzet is] – mivel paralelogrammák - középpontosan is szimetrikus alakzatok. A szabályos sokszögek mind tengelyesen szimetrikusak, annyi szimetriatengellyel, ahány oldaluk van. A páros oldalszámak ([pl. a szabályos háromszög középpontosan is szimetrikusak, és a tükörtengelyek a szemközti cscsokat, illetve a szemköztes oldalak felezőpontjait kötik össze. A páratlan oldalszámak középpontosan nem szimetrikusak, és a tükörtengelyek a cscsokat az átellenes oldal felezőpontjaival kötik össze. A kör tengelyesen szimetrikus minden átmérőjére.

48. A sík melyik transzformációját nevezzük pontkörüli forgatásnak? Sorolja fel a tulajdonságait!

Adott a sík egy O pontja, egy alfa szög, és egy [pozitív vagy negatív] forgásirány. Az O pont körüli alfa szögü, adott irány forgatás a sík tetszőleges O-tól különböző P pontjához azt a P' delta irány és nagyság szerint megegyezik alfával. Az O pont képe önmaga. Az O-t az elforgatás centrumának nevezzük. A pont körüli forgatás tulajdonságai:

A. Kölcsönösen egyértelmű.

B. Egyetlen fixpontja az O pont, ha csak az elforgatás szöge nem

0 fok.

C. Fixegyenese nincs, hacsak nem 0 fok vagy 180 fok az elforgatás szöge.

D. Minden olyan kör fix alakzat, amelynek a középpontja az elforgatás centruma: és minden n oldalu szabályos sokszög is az, a középpontja körül 360fok /n szöggel vagy többszörösével elforgatva.

E. Távolságtartó és szögtartó.

F. Körüljárástartó.

G. Ha a forgatás szöge nem nagyobb, mint 90 fok, akkor bármely egyenes és a képegyenes által bezárt szög megegyezik az elforgatás szögével.

49. Milyen ponttranszformációt nevezünk eltolásnak? Sorolja fel az eltolás tulajdonságait!

Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér tetszőleges P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre (P -P' =v). A hozzárendelés tulajdonságai:

A. Kölcsönösen egyértelmű.

B. Nincs fixpontja, kivéve, ha az adott vektor nulvektor.

C. Az adott vektorral párhuzamos egyenesek és síkok fixalakzatok, de pontonként egyik sem fix.

D. Távolságtartó és szögtartó.

E. Körüljárástartó.

51. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos hasonlóságnak? Sorolja fel a középpontos hasonlóság tulajdonságait!

Adott egy O pont és egy epszilon [0-tól különböző valós] szám. Az O középpontu, epszilon arány középpontos hasonlóság a sík egy tetszőleges az O ponttól különböző P pontjához az O-P egyenesen azt a P' pontot rendeli, amely O-tól |epszilon|-szor akkora távolságra van, mint P; és epszilon >0 esetén az O-P félegyenesen van, epszilon <0>1), akkor nagyítás; ha (|epszilon| <1>

A. Kölcsönösen egyértelmű.

B. Egyetlen fixpontja az O pont.

C. Minden O-ra illeszkedő egyenes fixegyenes, de pontonként nem fix.

D. Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra, akkor az egyenes és a képe párhuzamos egymással.

E. A középpontos hasonlóság aránytartó: ha a A képe A' és B képe B', C képe C', D képe D', akkor (A -B /C -D =A' -B' /C' -D').

F. A középpontos hasonlóság szögtartó.

57. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását!

Párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

A tétel egy speciális esetének megfordítása: Ha egyenesek egy szög két szárából olyan szakaszokat vágnak le, amelyek aránya mindkét száron ugyan az, akkor az egyenesek párhuzamosak.

Általános esetben nem fordítható meg a tétel, csak akkor, ha a szakaszok a szög cscsától kezdve és egymáshoz csatlakozva helyezkednek el.

59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit!

Két alakzat hasonló: Ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzathoz a másikat rendeli.

Hasonlósági transzformáció: Véges sok középpontos hasonlóság és véges sok egybevágósági transzformáció egymásutánja.

Bizonyítható, hogy két háromszög hasonló, ha megfelelő oldalainak aránya páronként egyenlő ha két -két megfelelő oldaluk aránya és az ezek által közbe zárt szögeik egyenlők. Ha két-két szögük páronként megegyezik. Ha két-két megfelelő oldaluk aránya és a nagyobb oldalakkal szemközt lévő szögeik egyenlők.

61. Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló glát, a hasonlóság aránya legyen mindkét esetben k. Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének aránya k^2, a két gla térfogatának aránya pedig k^3!

A k valós szám, két hasonló sokszög, illetve két hasonló gla pontpárjai távolságának aránya, így k pozitív szám.

A bizonyításban szükségünk van a hasonló háromszögek területei között fönnálló összefüggésre, ezért első lépésben ezzel foglalkozunk.

Tekintsünk két hasonló háromszöget, melyek hasonlóságának aránya k. Mivel a két háromszög hasonló egymáshoz, van olyan hasonlósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. Ez a transzformáció szögtartó is, így az egyik háromszög magasságát a másik háromszög magasságába viszi.

62. Milyen összefüggés van a gla alapterülete és az alappal

párhuzamos síkmetszetének területe között? Bizonyítsa be!

A gla alappal párhuzamos síkmetszetének területe gy aránylik az alapterülethez, mint ahogy a síkmetszet cscstól mért távolságának (x) négyzete aránylik a gla magasságának (m) négyzetéhez.

Bizonyítás: A két sokszög - az alappal párhuzamos metszésből adódóan – a gla cscsára nézve középpontosan hasonló. A hasonlóság aránya megegyezik a gla alaplapja éleinek és a párhuzamos síkmetszet megfelelő éleinek arányával, ez pedig megegyezik a hozzájuk tartozó glák magasságának arányával, (x /m)-mel. Tudjuk, hogy hasonló idomok területeinek aránya a hasonlósági arány négyzete. Ezért a párhuzamos síkmetszet területe gy aránylik az alapterülethez, mint a cscstól számított távolságaik négyzete [a megfelelő glák magasságainak négyzete].

Tehát:

t /T =(x /m)^2 =x^2 /m^2.

Függvények, sorozatok [matematika]

Függvények, sorozatok

100. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege n*(n +1)*(2*n +1) /6!

[Teljes indukcióval bizonyítunk.]

Az összefüggés (n =1)-re igaz: 1*2*3 /6 =1. Tegyük fel, hogy (n -1)-re igaz, és bizonyítsuk be, hogy (n -1)-ről n-re öröklődik. A feltevés szerint: 1^2 +2^2 +... +(n -1)^2 =(n -1)*n*(2*n -1) /6. Az egyenlőség mindkét oldalához n^2-et adunk: 1^2 +2^2 +... +(n -1)^2 +n^2 =n*(n -1)*(2*n -1) /6 +n^2. A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva: n*(2*n^2 -3*n +1) +6*n^2 /6 =n*(2*n^2 +3n +1) /6 =nz*(n +1)*(2*n +1) /6, ami épp a bizonyítandó állítás.

Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz, mert 1-ről 2-re, arról 3-ra, ... öröklődik; 1-re pedig beláttuk, hogy az összefüggés valóban igaz.

101. Egy számtani sorozat első eleme a1, különbsége d. Bizonyítsa be, hogy an =a1 +(n -1)*d és sn =n*a1 +an /2!

A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben [a másodiktól kezdve] bármelyik elem és a közvetlen előtte álló elem különbsége állandó. a sorozat n -edik tagja: an =a1 +(n -1)*d, mivel a1-től (n -1) lépésben jutunk el an-ig, és mindegyik lépésben d -t adunk az előző taghoz.

sn =a1 +a2 +... +an. Az egyes tagokat a1 segítségével fölírva: sn =a1 +(a1 +d) +(a1 +2*d) +... +a1 +(n -2) -d +a1 +(n -1)*d. Az összeget (an segítségével) fordított sorrendben is felírjuk: sn =an +(an -d) +(an -2*d) +... +an -(n -2)*d +an -(n -1)*d. A két összegben a d-t tartalmazó tagok páronként egymásnak ellentettje. Az egyenlőségek megfelelő oldalait összeadva a d-t tartalmazó tagok rendre kiesnek: 2sn =a1 +an +a1 +an +... +a1 +an =n*(a1 +an). így: sn =n*(a1 +an) /2.

102. Egy mértani sorozat első eleme a1, hányadosa q. Bizonyítsa be, hogy an =a1*q^n -1 és sn =a1*(q^n) -1 /q -1 (q <>1).

A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek a q-szorosa.

A sorozat n-edik tagja: an =a1*q^(n -1), mivel a1 -től (n -1) lépésben jutunk el an -ig, és mindegyik lépésben q -val szorozzuk az előző tagot. sn =a1 +a1*q +... +a1*q^n - -2 +a1*q^n -1. sn*q =a1*q +a1*q^2 +... +a1*q^m -1 +a1*q^n -1, (q<>1). A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt: sn*q -sn =a1*q^n -a1. Innen sn-et kifejezve: sn =a1*(q^n) -1 /q -1, (q<>1). Ha q =1, akkor ak =a1 minden k =1,2,...n-re, így sn =n*a1.

104. Hogyan adható meg egy függvény? [A válaszban térjen ki a jelölésekre is!]

Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Rendeljünk hozzá az A halmaz minden eleméhez pontosan 1-1 elemet a B halmazból. az így létesített hozzárendelés a függvény. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya.

A függvényeket általában kisbetűvel jelöljük. Az f függvény az A halmaz x eleméhez egyetlen B -beli elemet rendel, ezt f(x)-szel jelöljük [f függvény értéke az x helyen]. Ez az f függvénynek az x helyen vett helyettesítési értéke. Gyakori, hogy a függvény definíciójában szereplő két halmaz közül csak az A-t adjuk meg. pl: X-et rendeljük `(x -1)-hez. [x >=1] Az f valós függvényt [valós számokon értelmezett valós értékű függvény, vagyis olyan függvény, melynek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok részhalmaza] grafikonját a koordinátasík mindazon pontjai képezik, amelyek (x,y) koordinátáira fennáll az y =f(x) összefüggés.

A függvény megadása több módon történhet, de egyértelműen tartalmaznia kell, hogy mely elemekhez mely elemeket rendel.

Számfüggvényeket sokszor képlettel adunk meg. pl.: f(x) =x^2 -1, ahol az f függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ugyanez a függvény leszűkített értelmezési tartománnyal: f:[[0,2]] hozzárendelve r-hez, f(x) =x^2 -1.

Függvényeket megadhatunk utasítással is. pl a valós számokon értelmezett egészrész [x-et rendeljük [[x]], x eleme r-nek] függvény, ahol ez a jelölés a következő utasítást jelenti: minden x valós számhoz azt a legnagyobb egész számot rendeli, amely még nem nagyobb, mint x. Megadhatunk hozzárendelést grafikon, ill. táblázat segítségével is. Fontos függvénytípus a pozitív egész számokon értelmezett függvény, mely a valós számok halmazába képez le [számsorozatok]. Valós számokon értelmezett valós függvényeket gyakran gy adunk meg, hogy csak a hozzárendelési szabályt mondjuk meg. Ilyenkor értelmezési tartománynak a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát tekintjük, amelyen a hozzárendelési szabálynak értelme van.

105. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, ill. értékkészletén?

A függvény definíciója: Adott egy A és B halmaz. Egy f függvény az A halmaz minden x eleméhez a B halmaznak pontosan egy f(x) elemét rendeli. Az A halmaz az f függvény értelmezési tartománya. A B halmaznak azok az elemei, amelyek a hozzárendelésnél föllépnek [vagyis az f(x) értékek] alkotják az f függvény értékkészletét. Az értékkészlet lehet B halmaznál szűkebb.

Az értelmezési tartomány és az értékkészlet egybe is eshet, pl. a valós számokon értelmezett értékű függvények között vannak olyanok, amelyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a valós számok halmaza.

106. Mikor nevezünk egy függvényt elsőfokúnak?

Egy f függvény elsőfokú [lineáris], ha az f függvény egy nem üres H halmazt képez le a valós számok halmazára [H a valós számok részhalmaza], és (f(x) =a*x +b), (a <>0), a,b eleme r-nek. (a >0)-ra a függvény szigorúan monoton növekvő, a <0>

Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor – a fenti képlettel megadott - elsőfok függvény grafikonja olyan egyenes, amelynek a meredeksége a, az ipszilon tengelyt pedig a

(0,b) pontban metszi. (b =0)-ra az elsőfokú függvény a két változó közötti egyenes arányosságot adja.

107. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak?

Egy f valós függvény [f:H hozzárendelve r -hez, H részhalmaza r-nek, (h <>0)] másodfokú, ha (f(x) =a*x^2 +b*x +c), ahol a,b,c eleme r-nek és (a <>0).

Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a másodfokú függvény grafikonja ipszilon tengellyel párhuzamos parabola.

109. Ábrázolja és jellemezze a nem negatív valós számok halmazán értelmezett [x-et rendeljük a `x-hez] függvényt!

Értelmezési tartomány: a nem negatív valós számok halmaza (r+0). Értékkészlete: a nem negatív valós számok halmaza (r+0). A függvény teljes értelmezési tartományán szigorúan monoton növekvő. Minimumhely: x =0. Minimum érték: y =0. Zérushely: x =0. X tengelymetszet: x =0. Y tengelymetszet: y =0. A grafikon minden x -re a görbe pontjait összekötő hr fölött halad.

110. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy:

A. periodikus?

B. páros?

C. páratlan?

D. korlátos?

A. Az f függvény periodikus, ha van olyan (c >0) valós szám, hogy az értelmezési tartománya minden x elemére (f(x +c) =f(x)) teljesül, ahol, ha x eleme a függvény értelmezési tartományának, akkor (x + -c) is. Periodikus függvény például a trigonometrikus függvények és a "törtrész"-függvény [x-et rendeljük a x törtrészéhez függvény].

B. Az f függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és f( -x) =f(x). Páros függvények például a páros kitevőjű hatványfüggvények: x-et rendeljük a |x|-hez, x-et rendeljük a cos(x) függvényhez. A páros függvény grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimmetrikus az ipszilon tengelyre.

C. Az f függvény páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és (f( -x) = -f(x)). Páratlan függvényre példa: a páratlan kitevőjű hatványfüggvények, az x-et rendeljük a (c /x)-hez, és x-et rendeljük a sin(x)-hez. A páratlan függvények grafikonja [amennyiben megrajzolható] szimmetrikus az origóra.

D. Az f függvény korlátos, ha van egy olyan K szám, hogy az értelmezési tartomány minden x elemére (|f(x)| <=K). Korlátos függvényekre példa: x-et rendeljük sin(x)-hez, x-et rendeljük cos(x)-hez és x-et rendeljük {x}-hez.

111. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy {a,b} intervallumban monoton növekszik, ill. csökken?

Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton nő, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontjára, melyre (x1 <=f(x2)).

Az f függvény egy {a,b} intervallumban monoton csökken, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden olyan pontján, melyre (x1 =f(x2)).

Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, a függvény szigorúan monoton nő, illetve csökken.

112. Mit nevezünk egy függvény zérushelyének, szélsőértékének?

Egy f függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre (f(x) =0). A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel.

Egy f függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma vagy minimuma. Egy f függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x0 értékére, ha a függvény értelmezve van x0-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére (f(x)< =f(x0)). Egy f függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány minimum értékére, ha a függvény értelmezve van x0-ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére (f(x) > =f(x0)).

113. Mit értünk egy függvény inverzén? a derékszögű koordináta-rendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverzének grafikonja között?

Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amelyek kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítenek az értelmezési tartományuk és az értékkészletük között [vagyis az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartománynak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve]. Az f függvénynek a g függvény inverze, ha az f értelmezési tartományának minden x elemére teljesül, hogy az f(x) eleme a g értelmezési tartományának, és (g(f(x)) =x). pl.: a nem negatív valós számokon értelmezett x-et rendeljük x^2-hez, s ennek inverze, ha az x-et rendeljük a `x-hez [x nem negatív].

Ha az f és a g függvény egymásnak inverze, akkor az f értelmezési tartománya a g értékkészlete, és az f értékkészlete a g értelmezési tartománya. Ha két függvény egymásnak inverze, akkor grafikonjaik [ha megrajzolhatóak], egymásnak tükörképei az (y =x) egyenletű egyenesre. Szigorúan monoton növekvő [vagy csökkenő] függvénynek az inverze is szigorúan monoton növekvő [vagy csökkenő].

116. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x-et rendeljük a sin(x)-hez függvényt.

Értelmezési tartománya: a valós számok halmaza. Értékkészlete: a ( -1,1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható [nincs inverz függvénye]. Páratlan függvény, mert (sin(-x) =-sin(x)), minden valós x-re. Periodikus, mert (sin(x +2*k*pi) =sin(x)) minden valós x-re [k tetszőleges egész szám]. A periódus hossza 2pi. Zérushelyei: x =k*pi, k eleme Z -nek, tetszőleges. Maximumhelyei: x =pi /2 +2*k*pi, k eleme Z, tetszőleges. Maximumértéke: 1. Minimum helyei: x =3*pi /2 +2*k*pi, k eleme Z, tetszőleges. Minimumértéke: -1. Szigoruan monoton nő, ha (-pi /2 +2*k*pi <=x <=pi /2 +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Szigoruan monoton fogy, ha (pi /2 +2*k*pi <=x <=3pi /2 +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges.

117. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x-hez rendeljük a cos(x) függvényt.

Értelmezési tartomány: valós számok halmaza. Értékkészlete: a (-1,1) intervallumhoz tartozó számhalmaz. Korlátos, és nem invertálható. Páros függvény, mert (cos(-x) =cos(x))-el, minden valós x-re. Periodikus, a periódus hossza 2pi. Zérushelyei: (x =pi /2 +k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Maximumhelyei: (x =2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Maximum értéke: 1. Minimumhelyei: (x =pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Minimumértéke: -1. Szigorúan monoton nő, ha (pi +2*k*pi <=x <=2*pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges. Szigorúan monoton fogy, ha (2*k*pi <=x <=pi +2*k*pi), k eleme Z, tetszőleges.

118. Ábrázolja és jellemezze a (-pi /2,pi /2) balról zárt, jobbról nyílt intervallumon értelmezett [x-et rendeljük a tan(x)-hez] függvényt.

Értékkészlete: a valós számok halmaza. Invertálható, ugyanis minden valós értéket egyszer vesz fel, viszont nem korlátos. Páratlan, mert (tan(-x) =-tan(x)) az adott értelmezési tartományokon. Zérushelye: x =0. Szélsőértéke nincs, szigoruan monoton nő.

123. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak?

A számtani sorozat pozitív egész számokon értelmezett valós szám értékű függvény. a számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem és a közvetlenül előtte álló elem különbsége (d) állandó. A számtani sorozatban bármely 3 egymás után álló elem közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemeknek a számtani közepe.

A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek ugyanannyi szorosa. a q a mértani sorozatra jellemző állandó szorzótényező. Ha a quociens (q) pozitív, akkor a sorozat minden tagja azonos előjelű, ha a quociens negatív, akkor a tagok váltakozó előjelűek. Ha (q >1), akkor a sorozat szigoruan monoton növekvő, (0 <1)-re. Ha q =0, akkor a sorozat második elemétől kezdve minden elem 0. Ha q=1, akkor a sorozat minden eleme megegyezik. Pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely 3 egymásután álló elem közül a középső a két szélsőnek a mértani közepe. Általánosan is igaz: a pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely elem a tőle szimetrikusan elhelyezkedő elemeknek a mértani közepe.

Vektorok [matematika]

Vektorok

52. Mit nevezünk vektornak? Mikor egyenlő két vektor?

Minden eltolást egy irányított szakasszal adunk meg, amelyet vektornak nevezünk. Két vektor akkor egyenlő, ha ugyanazt az eltolást adják meg, vagyis ha hosszuk és irányuk megegyezik. Két vektor akkor ellentett vektor, ha hosszuk megegyezik, az irányuk pedig ellentétes.

A vektor hossza a vektor abszolút értéke. A nulvektor abszolút értéke 0, iránya tetszőleges.

53. Hogyan definiáljuk két vektor összegét, ill. különbségét?

Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! [Legyen a két vektor A és b.] Vegyük fel a-t, és a végpontjából mérjük fel a b vektort. Az A vektor kezdőpontjából a b vektor végpontjába mutató vektor az (a +b) vektor, amely az összeg, vagy eredővektor. Az A és b vektorokkal megadott két eltolás egyetlen eltolással helyettesíthető: ezt az eltolást adja meg az (a +b) vektor.

Két [egymással nem párhuzamos] vektor összege megadható az ún. paralelogramma szabállyal is: vegyük fel a két vektort közös kezdőponttal, végpontjaikon át húzzunk a másik vektorral párhuzamosokat. Ezek a párhuzamosok az adott vektorokkal együtt egy paralelogrammát határoznak meg. Az eredővektor a paralelogrammának az adott vektorok közös kezdőpontjából kiinduló átlója.

A vektorok összeadása kommutatív: ez a paralelogramma szabállyal történő összegzésből nyilvánvaló. Több vektort úgy összegezhetünk, hogy egymáshoz csatlakozóan vesszük fel őket. Az összegvektor az elsőnek felvett vektor kezdőpontjából az utoljára felmért vektor végpontjába mutató vektor.

A vektorok összeadása asszociatív is: (a +b) +c =a +(b +c) =a +b +c.

Az a-b különbségvektor az a vektor, amelyhez a b vektort adva az a vektort kapjuk. Az (a -b) vektort úgy kapjuk meg, hogy a két vektort közös kezdőpontból vesszük fel; az (a -b) vektor a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor. A vektorkivonás nem kommutatív [az (a -b és (b -a) vektorok ellentettvektorok].

54. Mit értünk egy vektor számsorosán?

epszilon*a [a vektor epszilonszorosa epszilon <>0-ra az a vektor, amelynek abszolút értéke az A vektor abszolút értékének abszolút érték epszilonszorosa, és iránya epszilon >0 esetén megegyezik az A vektor irányával. Epszilon <0 epszilon ="0," a ="">

79. Mik a bázisvektorok?Definiálja egy vektor koordinátáit az i,j egységvektorokkal megadott koordinátarendszerben!

Ha felveszünk a síkon egy O pontot és a,b [nem párhuzamos] vektorokat, akkor a sík bármely P pontjához tartozik egy O-P helyvektor, mely egyértelműen felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre: O -P =k1*a +k2*b. A k1 és a k2 számokat úgy tekintjük, mint a O-P vektorhoz rendelt rendezett számpárt. Ily módon a helyvektorok és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ezzel a módszerrel a helyvektoroknak rendezett számpárokat feleltetünk meg.

Az adott vektorokat bázisvektoroknak nevezzük, ha két adott vektor az i és j egységvektor, ahol i-t pozitív irányú 90 fokos elforgatás viszi át j-be.

Az O-P helyvektort felbonthatjuk i és j irányú összetevőkre: O-P =k1*i +k2*j; k1 és k2 az O -P helyvektor koordinátái. A bázisvektorok a Descartes-féle koordinátarendszert állítják elő: az O pont a koordinátarendszer kezdőpontja, és az x tengely pozitív fele az i, az ipszilon tengely pozitív fele pedig a j irányba mutat.

80. Mit ért egy vektor abszolút értékén? Hogyan határozható meg egy vektor abszolút értéke a vektor koordinátái segítségével?

Tetszőleges vektor abszolút értékén az adott vektor hosszát értjük. Vetítsük az adott 0-ból kiinduló v vektort az x koordinátatengelyre. az AOT derékszögű háromszög befogóinak hossza a vektor koordinátáinak abszolút értékével, az átfogó hossza pedig a vektor abszolút értékével egyenlő. A Pitagoras-tételt felírva: |v| =`(v1^2 +v2^2), vagyis egy vektor abszolút értéke egyenlő az a koordinátái négyzetösszegéből vont négyzetgyökkel. a kapott összefüggés akkor is érvényes, ha a vektor valamelyik tengellyel párhuzamos, pl.: |v| =`(0^2 +v2^2) =|v2|.

81. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen?

Az A és b vektor skaláris szorzata: a*b =|a|*|b|*cos(epszilon) Ahol epszilon a két vektor hajlásszögét jelöli, vagyis 0 <=epszilon <=180 fok. Ha epszilon <90>90 fok [vagyis tompa szög], akkor (a*b) negatív. Ha a két vektor közt a nulvektor is szerepel, akkor a hajlásszög nincs egyértelműen meghatározva, de a nul vektor abszolút értéke 0, ezért a szorzat ekkor 0. Ezek szerint a skaláris szorzat mindig egyértelműen meghatározott.

Ha A merőleges b-re, akkor a*b =|a|*|b|*cos(90) =|a|*|b|*0 =0, vagyis a skaláris szorzatok 0.

Megfordítva:

ha (a*b =0), és az (a*b) vektorok egyike sem 0, akkor (|a| <>0), és (|b| <>0), így (a*b =|a|*|b|*cos(epszilon) =0) csak úgy állhat fenn, ha (cos(epszilon) =0), tehát A merőleges b-re.

Eszerint két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra. [a nulvektort úgy tekintjük, hogy minden vektorra merőleges.]

A skaláris szorzat definíciójából nyilvánvaló, hogy a skaláris szorzat kommutatív: a*b =b*a.

Az ((a*b)*c) egy c irányvektor, az (a*(b*c)) pedig egy A irányvektor, a skaláris szorzat tehát nem asszociatív.

82. Bizonyítsa be, hogy minden (a*b*c) vektor esetében ((a+b)*c =a*c +b*c), vagyis két vektor összegének egy harmadik vektorral való skaláris szorzata széttagolható!

Ha (c =0), akkor ((a +b)*nulvektor =0), (a*nulvektor +b*nulvektor =0),tehát igaz az állítás.

Ha (c nem =0), akkor vegyük a c-vel azonos irányú e egységvektort, ekkor (c =|c|*e). Így elegendő az ((a +b)*e =a*e +b*e) állítást belátnunk ([zt abszolút érték c-vel beszorozva az eredeti állítást kapjuk]. A skaláris szorzat definíciója alapján könnyen beláthatjuk, hogy egy vektornak és egy egységvektornak a skaláris szorzata a vektornak az egységvektor egyenesén lévő előjeles vetületét adja [ez a skalárvetület].

Adott az e egységvektor. Vegyük fel az a,b vektorokat, összegük: a +b. Képezzük ezeknek az e egyenesére vonatkozó skalárvetületét. Az összeg skalárvetülete =a tagok skalárvetületeinek összegével:(a +b)*e =a*e +b*e.

83. Fejezze ki két vektor skaláris szorzatát a vektorokkoordinátáinak segítségével!

Két koordinátáival adott vektor, a (a1,a2) és b (b1,b2) skaláris szorzata:

a*b =a1*b1 +a2*b2.

bizonyítás: a =a1*i +a2*j, b =b1*i +b2*j, a*b =(a1*i +a2*i)*(b1*i +b2*i). A disztributív tulajdonság alapján a szorzás tagonként végezhető: a*b =a1*b1*i^2 +a1*b2*i*j +a2*b1*j*i +a2*b2*j^2, i*j =j*i =0, mivel i és j merőlegesek egymásra. i^2 =|i|*|i|*cos(0) =1. Hasonlóan (j^2) is 1-gyel egyenlő. Így a*b =a1*b1*1 +a2*b2*1, amiből a*b =a1*b1 +a2*b2, ezt akartuk bizonyítani.

Tehát két vektor skaláris szorzata megfelelő koordinátái szorzatának összege.

Hatványozás, és azonosságai, exponenciális függvényegyenlet [matematika]

Hatványozás, és azonosságai, exponenciális függvényegyenlet

6. Hogyan definiáljuk az A valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát?

a^n egy olyan N tényezős szorzat, amelynek minden szorzótényezője A. A, tetszőleges valós szám, az N pedig pozitív egész szám.

a^n =a*a*a*.... [N-szer] A-túgy nevezzük, hogy a hatvány alapja, az N-et pedig úgy, hogy a hatvány kitevője, és az a^n-t pedig a hatvány mennyiségnek, vagy hatványértéknek, vagy röviden csak hatványnak szoktuk mondani.

7. Igazolja a következő azonosságokat:A, B, valós számok, n, k, pozitív egészek.

(a*b)^n =a^n*b^n

Bizonyítása:

Az (a*b)-ből n darab szorzótényezőt veszünk, s az asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az A szorzótényezőket, és a B szorzótényezőket egymás mellé írva n darab A szorzótényező, és n darab szorzótényező van. Az n darab A szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy a^n, a b darab n szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy b^n, tehát ez az azonosság azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre.

(a /b)^n =a^n /b^n

A bizonyítás során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt, hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát is.

(a /b)^n az azt jelenti, hogy (a /b)*(a /b)*(a /b) [N-szer ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet elvégzése után] a számlálóban N darab szorzótényező van, amely a^n formában is felírható, a nevezőben n darab b szorzótényező van, amely b^n formában írható.

Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a hányadosát vesszük.

Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük a közös kitevőre.

(a^n)^k bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás asszociativitását használjuk fel.

Ez az azonosság azt jelenti, hogy az (a^n)-t k-szor szorozzuk össze: (a^n)*(a^n)*(a^n)*... [K-szor] Az (a^n)-t felírhatjuk úgy is: a*a*a*a* [N-szer]. Tehát, összesen k-szor van ilyen csoportunk, tehát n*k darab a-t szorzunk össze: a^(n*k)

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.

Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre.

8. Definiálja a nem negatív valós szám négyzetgyökét!

mivel egyenlő gyök a^2?

Egy nem negatív [a >=0] valós szám négyzetgyöke [`a] az az egyetlen nem negatív valós szám, amelynek a négyzete a: `a^2 =a

Abszolútértékben `a^2-nek minden valós a-raértelme van.

114. Ábrázolja, és jellemezze a valós számokon értelmezettx-hez hozzárendeljük az a^x függvényt!

Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a pozitív valós számok halmaza.

A függvény minden pozitív értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertálható. Az inverze, hogy x-hez hozzárendeljük az logA x-et, zérus helye nincs, szélső értéke nincs, nem korlátos [mert csak alulról korlátos].

Ha az A [alap] nagyobb, mint 1, akkor a függvény szigorúan monoton növekedő, azaz ha két x helyen nézzük a függvény értékét, a későbbi érték nagyobb lesz, ha viszont az A értéke 0-1. közötti, akkor szigorúan monoton csökken a függvény értéke.

A függvény grafikonja az y tengelyt a 0, 1 pontban mettszi, asszimptotája az x tengely, azaz közelít hozzá, de nem éri el.

12. Hogyan definiáljuk egy pozitív szám nulladik, negatív egész és racionális kitevőjű hatványait?

a^0 =1 [a >0]

Minden pozitív valós számnak a nulladik hatványa 1.

a^-n =1 /a^n [a >0, és n pozitív egész szám.] Minden pozitív valós szám negatív egész kitevőjű hatványa a szám megfelelő pozitív kitevőjű hatványának a reciproka [megfelelő pozitív számon a negatív kitevő abszolútértékét értve]. Az 1 /a^n ugyanaz, mint a (1 /a)^n. Így a^-n =(1 /a)^n. Ha az alap tört, akkor ebben az alakban érdemes a definíciót alkalmazni.

a^p /q =a g`a^p [a >0, p egész, q >1 egész]. Pozitív a szám (p /q)-adikon hatványa az a pozitív szám, amelynek a q-adik hatványa (a^p)-ediken. A tört kitevőjű hatvány gyökös alakra írható át, és megfordítva, a gyökös alak tört kitevőjű hatvány alakba írható.

13. Mit értünk egy valós szám N-edik gyökén [ahol n egypozitív egész szám]?

n`a {pozitív páros n-re, és nem negatív a-ra], az a nem negatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a. Páros n-re, és negatív a-ra nincs értelme, mivel a valós számok páros kitevőjű hatványa nem lehet negatív. Egynél nagyobb páratlan n-re: A valós szám, melynek az n-edik hatványa A.

Pl.: 3`27 =3, 4`256 =4, 5`-32 =-2

Mert: 3^3 =27, 4^4 =256, (-2)^5 =-32

14. Igazoljuk a következő azonosságokat:

A. n`(a*b) =n`a*n`b

B. n`(a /b) =n`a /n`b

C. (k`a)^n =k`(a^n)

A hatványozás-gyökvonás, gyökvonás-szorzás, és a gyökvonás-osztás művelete megcserélhető.

A. Az állítás igaz, ha n>1 [egész szám]. Páros n-re: A, és B egyaránt nem negatív szám. Páratlan n-re: A, és b tetszőleges valós számok. Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt.

Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal oldalán álló (n`(a*b))^n az egyenlő (a*b)-vel. ((n`a)*(n`b))^n =(n`a)^n*(n`b)^n [szorzat hatványára vonatkozó azonosság miatt] =a*b Páratlan n-re: ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a két oldal is azonos. Páros n-re: amikor mindkét oldal "értelmes" [vagyis nem negatív], akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak következik a két oldal egyenlősége. Ez csak akkor nem igaz, ha páros a gyökkitevő, és A, vagy b értéke negatív, s ekkor az egyik oldalnak nincs értele.

B. Az állítás igaz akkor, ha n >1 [egész szám].

Páros N esetén: A nem negatív valós szám, B pozitív valós szám Páratlan N esetén: A tetszőleges valós szám, B nullával nem egyenlő valós szám. [Mert nevezőben nem állhat 0]

Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk gyököt, hogy a számlálóból, és a nevezőből is gyököt vonunk, és a kapott két mennyiséget [a bal oldal felírási sorrendjében] elosztjuk egymással.

Bizonyítása: felhasználjuk, hogy törteket úgy hatványozunk, hogy a számlálót, és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük, valamint felhasználjuk a gyök fogalmának definícióját. A bal oldalon álló (n`(a /b))-nek az n-edik hatványát véve (a/b)-t kapunk, míg a jobb oldal n-edik hatványa: ({n`a/n`b})^n. Külön a számláló, és nevező n-edik hatványát véve ({n`a^n /n`b^n} =a /b)-t kapunk. Páratlan N esetén tetszőleges számokra igaz ez, páros N esetén pedig akkor, ha mindkét oldalon nem negatív szám áll a gyökjel alatt.

C. Az állítás igaz, ha k >=1 [egész szám], n =>1 [egész szám]. Páratlan k esetén az A tetszőleges valós szám lehet, páros k esetén pedig nem negatív valós szám. [Gyökjel alatt nem állhat negatív szám!]

Az azonosság kimondja, hogy a hatványozás, és a gyökvonás sorrendje felcserélhető egymással. Másképpen: gyökmennyiséget úgy hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a kívánt kitevőre.

Bizonyítása: k`(a^n) írható úgy: k`(a*a*a*a*... [n darab szorzótényezővel]) =k`a*k`a*k`a*... [N darab szorzótényezővel], mely írható úgy, hogy: (k`a)^n. Az azonosságokat fordított irányba is olvashatjuk, visszafelé is igazak.

15. Mit nevezünk egy valós szám normál alakjának? Írjuk fel a

következő számok normál alakját:

0.000173, 582000000, 78/582.

A pozitív valós szám normál alakja olyan két tényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője 1, vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb valós szám, a másik tényezője 10-nek az egész kitevős hatványa. Avagy: olyan szám, ami 1-nél nagyobb, vagy egyenlő, és 10-nél kisebb. Negatív valós szám normál alakja: olyan két tényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője -1, vagy -1-nél kisebb, de -10-nél nagyobb szám, a másik tényezője pedig 10-nek az egész kitevős hatványa. [A nullát nem lehet a fentiekhez hasonló módon megadni!]

0.000173 =1.73*10^-4

582000000 =5.82*10^7

78/582 =[tizedestörtben] 0.1342 =1.342*10^-1

108. Ábrázoljuk, és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett [x-hez hozzárendeljük az abszolútérték x-et] függvényt!

Értelmezési tartomány: valós számok halmaza, és x eleme R. Érték készlete: nem negatív valós számok halmaza. Minimum helye: x =0

Minimum értéke: y =0

Zérus helye: x =0

X tengely mettszet: x =0

Y tengely mettszet: y =0

Ha x <0>0, szigorúan monoton nő a függvény. A függvény páros függvény, grafikonja szimetrikus az y tengelyre.

16. Mit jelent az A alapú logaritmus b, és milyen kikötéseket

kell tenni a-ra, és b-re?

B-nek az A alapú logaritmusa az az egyetlen valós kitevő, amelyre az a-t felemelve b-t kapunk. a^(logA b) =b

Kikötések: b >0, a >0 [és nem lehet egyenlő 1-gyel].

17. Igazoljuk a következő azonosságokat:

A. logA (x*y) =logA x +logA y

B. logA (x /y) =logA x -logA y

C. logA (x^k) =k*logA x

Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra, ill. k-ra?

A. Az állítás igaz, ha x >0, y >0 [amire vonatkozik a logaritmus], az A >0 [alap], mely nem lehet egyenlő 1-gyel.

Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat adott alapú logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú logaritmusainak összegével.

Bizonyítása: A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy a logaritmus függvény szigorúan monoton.

Írjuk fel az x-et, és az y-t A hatványaként!

x =a^u

y =a^v

u =logA x

v =logA y

Ezt a jelölést alkalmazzuk a bizonyítandó egyenlőség bal oldalára, majd felhasználjuk azt, hogy egyenlő alapú hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.] =u +v logA (x*y) =logA (a^u*a^v) =logA (a^(u +v)) [Egyenlő alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevők összegét vesszük] logA x +logA y =u +v A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz. logA (x*y) =logA x +logA y

Kikötés: x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel.

B. Az állítás igaz, ha x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel. Az azonosság azt mondja ki, hogy hányados adott alapú logaritmusa megegyezik a számláló, és a nevező ugyanilyen alapú logaritmusának különbségével.

Bizonyítása: felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és a logaritmus függvény szigorúan monoton.

x =a^u

y =a^v

u =logA x

v =logA y

logA (x /y) =logA ({a^u /a^v}) =logA (a^(u -v)) =u -v

logA x -logA y =u -v

C. Az állítás igaz akkor, ha x >0, k valós, és az A >0, de nem egyenlő 1-gyel.

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatvány adott alapú logaritmusa megegyezik a hatvány a hatvány adott alapú logaritmusának, és a hatvány kitevőnek a szorzatával.

A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és logaritmus függvény szigorúan monoton:

x =a^u

u =logA x

A bizonyítandó egyenlőség bal oldala [felhasználva, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevő szorzatára emeljük] így írható:

logA (x^k) =logA ((a^u)^k) =logA (a^(u*k)) =u*k

A jobb oldala: k*logA x =k*u

A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.

A logaritmus alkalmazások alkalmazása megváltoztatja a logaritmikus kifejezések értelmezési tartományát. A felírás sorrendjében olvasva szűkíti, vagy szűkítheti azokat. Az egyenletek megoldásakor gyakran alkalmazzuk a fenti [A, B, C] azonosságokat fordított irányba olvasva is. A logaritmikus egyenletek megoldásakor többnyire bővül az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya. Hamis gyökök föllépését elkerülhetjük, ha az azonosságok alkalmazása előtt kikötjük a szükséges megszorításokat, és a megoldáskor kapott eredményeket ezekkel összevetjük. Ezt helyettesíthetjük a gyökök ellenőrzésével.

115. Ábrázolja, és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett A alapú logaritmus x függvényt, ha a>1, és abban az esetben, ha A 0, és 1 közötti értéket vesz föl. [Vagyis az alapot két csoportra osztjuk, 1-nél nagyobb, és 1-nél kisebb pozitív szám.]

Mind a két esetben az értelmezési tartomány a pozitív valós számok halmaza [x eleme R+], érték készlete pedig a valós számok halmaza [x eleme R]. A függvény minden értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertálható. Inverze: a^x. Zérus helye: x =1. Szélső értéke nincs, és nem korlátos. Ha a>1, akkor szigorúan monoton nő, ha pozitív az alap, de 1-nél kisebb, akkor szigorúan monoton csökken a függvény. Az egyenlőtlenségek megoldásánál érdekes ez, mikor is szigorúan monoton növekszik, s a logaritmus elhagyásával rátérünk az argumentumokra, s ekkor marad a relációsjel ugyanolyan. Ha az alap 0-1. közötti [szigorúan monoton csökken a függvény], a logaritmus elhagyásával az argumentumra rátérve a relációsjel ellentétesre vált. A függvény grafikonja mind a két esetben az x tengelyt az 1, 0 pontban mettszi, aszimptotája pedig az y tengely.

23. Hogyan definiálja két negatív szám számtani, ill. mértani közepét?

Két valós szám [A, és B] számtani közepe, a két szám összegének fele: {a +b /2}. Két nem negatív valós szám [a>=0, és b>=0] mértani közepe, szorzatuk négyzetgyöke: `(a*b).

Beszélhetünk n darab valós szám számtani közepéről is, ez az adott számok összegének az n-ed része.

Beszélhetünk n darab nem negatív szám mértani közepéről is, ami az adott számok szorzatának az n-edik gyöke.

43. Mi az összefüggés két nem negatív szám számtani, és mértani közepe között? Igazoljuk az összefüggést!

Két nem negatív szám számtani közepe nagyobb a két szám mértani közepénél, esetleg egyenlő vele, de egyenlőség csak akkor van, ha a két szám egymással egyenlő:

{a +b /2} >=`(a*b)

a >=0, b >=0

Bizonyítása: [Kettővel átszorozva] a +b >=2*`(a*b)

[Mindkét oldalt négyzetre emelve:]a^2 +2*ab +b^2 >=4*ab

[4*a*b-t átvisszük a bal oldalra:] a^2 -2*ab +b^2 >=0

[Más alakba felírva:](a -b)^2 >=0

Ez igaz, mert (a -b)-nek a négyzete [azaz egy valós szám négyzete] nem lehet negatív soha, tehát vagy nulla, vagy pozitív lehet.

Ez akkor lesz egyenlő nullával, ha az A egyenlő a b-vel, vagyis a számtani, és a mértani közép akkor egyenlő egymással, ha a két érték megegyezik egymással.