Hatványozás, és azonosságai, exponenciális függvényegyenlet
6. Hogyan definiáljuk az A valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát?
a^n egy olyan N tényezős szorzat, amelynek minden szorzótényezője A. A, tetszőleges valós szám, az N pedig pozitív egész szám.
a^n =a*a*a*.... [N-szer] A-túgy nevezzük, hogy a hatvány alapja, az N-et pedig úgy, hogy a hatvány kitevője, és az a^n-t pedig a hatvány mennyiségnek, vagy hatványértéknek, vagy röviden csak hatványnak szoktuk mondani.
7. Igazolja a következő azonosságokat:A, B, valós számok, n, k, pozitív egészek.
(a*b)^n =a^n*b^n
Bizonyítása:
Az (a*b)-ből n darab szorzótényezőt veszünk, s az asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az A szorzótényezőket, és a B szorzótényezőket egymás mellé írva n darab A szorzótényező, és n darab szorzótényező van. Az n darab A szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy a^n, a b darab n szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy b^n, tehát ez az azonosság azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre.
(a /b)^n =a^n /b^n
A bizonyítás során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt, hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát is.
(a /b)^n az azt jelenti, hogy (a /b)*(a /b)*(a /b) [N-szer ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet elvégzése után] a számlálóban N darab szorzótényező van, amely a^n formában is felírható, a nevezőben n darab b szorzótényező van, amely b^n formában írható.
Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a hányadosát vesszük.
Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük a közös kitevőre.
(a^n)^k bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás asszociativitását használjuk fel.
Ez az azonosság azt jelenti, hogy az (a^n)-t k-szor szorozzuk össze: (a^n)*(a^n)*(a^n)*... [K-szor] Az (a^n)-t felírhatjuk úgy is: a*a*a*a* [N-szer]. Tehát, összesen k-szor van ilyen csoportunk, tehát n*k darab a-t szorzunk össze: a^(n*k)
Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.
Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre.
8. Definiálja a nem negatív valós szám négyzetgyökét!
mivel egyenlő gyök a^2?
Egy nem negatív [a >=0] valós szám négyzetgyöke [`a] az az egyetlen nem negatív valós szám, amelynek a négyzete a: `a^2 =a
Abszolútértékben `a^2-nek minden valós a-raértelme van.
114. Ábrázolja, és jellemezze a valós számokon értelmezettx-hez hozzárendeljük az a^x függvényt!
Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a pozitív valós számok halmaza.
A függvény minden pozitív értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertálható. Az inverze, hogy x-hez hozzárendeljük az logA x-et, zérus helye nincs, szélső értéke nincs, nem korlátos [mert csak alulról korlátos].
Ha az A [alap] nagyobb, mint 1, akkor a függvény szigorúan monoton növekedő, azaz ha két x helyen nézzük a függvény értékét, a későbbi érték nagyobb lesz, ha viszont az A értéke 0-1. közötti, akkor szigorúan monoton csökken a függvény értéke.
A függvény grafikonja az y tengelyt a 0, 1 pontban mettszi, asszimptotája az x tengely, azaz közelít hozzá, de nem éri el.
12. Hogyan definiáljuk egy pozitív szám nulladik, negatív egész és racionális kitevőjű hatványait?
a^0 =1 [a >0]
Minden pozitív valós számnak a nulladik hatványa 1.
a^-n =1 /a^n [a >0, és n pozitív egész szám.] Minden pozitív valós szám negatív egész kitevőjű hatványa a szám megfelelő pozitív kitevőjű hatványának a reciproka [megfelelő pozitív számon a negatív kitevő abszolútértékét értve]. Az 1 /a^n ugyanaz, mint a (1 /a)^n. Így a^-n =(1 /a)^n. Ha az alap tört, akkor ebben az alakban érdemes a definíciót alkalmazni.
a^p /q =a g`a^p [a >0, p egész, q >1 egész]. Pozitív a szám (p /q)-adikon hatványa az a pozitív szám, amelynek a q-adik hatványa (a^p)-ediken. A tört kitevőjű hatvány gyökös alakra írható át, és megfordítva, a gyökös alak tört kitevőjű hatvány alakba írható.
13. Mit értünk egy valós szám N-edik gyökén [ahol n egypozitív egész szám]?
n`a {pozitív páros n-re, és nem negatív a-ra], az a nem negatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a. Páros n-re, és negatív a-ra nincs értelme, mivel a valós számok páros kitevőjű hatványa nem lehet negatív. Egynél nagyobb páratlan n-re: A valós szám, melynek az n-edik hatványa A.
Pl.: 3`27 =3, 4`256 =4, 5`-32 =-2
Mert: 3^3 =27, 4^4 =256, (-2)^5 =-32
14. Igazoljuk a következő azonosságokat:
A. n`(a*b) =n`a*n`b
B. n`(a /b) =n`a /n`b
C. (k`a)^n =k`(a^n)
A hatványozás-gyökvonás, gyökvonás-szorzás, és a gyökvonás-osztás művelete megcserélhető.
A. Az állítás igaz, ha n>1 [egész szám]. Páros n-re: A, és B egyaránt nem negatív szám. Páratlan n-re: A, és b tetszőleges valós számok. Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt.
Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal oldalán álló (n`(a*b))^n az egyenlő (a*b)-vel. ((n`a)*(n`b))^n =(n`a)^n*(n`b)^n [szorzat hatványára vonatkozó azonosság miatt] =a*b Páratlan n-re: ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a két oldal is azonos. Páros n-re: amikor mindkét oldal "értelmes" [vagyis nem negatív], akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak következik a két oldal egyenlősége. Ez csak akkor nem igaz, ha páros a gyökkitevő, és A, vagy b értéke negatív, s ekkor az egyik oldalnak nincs értele.
B. Az állítás igaz akkor, ha n >1 [egész szám].
Páros N esetén: A nem negatív valós szám, B pozitív valós szám Páratlan N esetén: A tetszőleges valós szám, B nullával nem egyenlő valós szám. [Mert nevezőben nem állhat 0]
Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk gyököt, hogy a számlálóból, és a nevezőből is gyököt vonunk, és a kapott két mennyiséget [a bal oldal felírási sorrendjében] elosztjuk egymással.
Bizonyítása: felhasználjuk, hogy törteket úgy hatványozunk, hogy a számlálót, és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük, valamint felhasználjuk a gyök fogalmának definícióját. A bal oldalon álló (n`(a /b))-nek az n-edik hatványát véve (a/b)-t kapunk, míg a jobb oldal n-edik hatványa: ({n`a/n`b})^n. Külön a számláló, és nevező n-edik hatványát véve ({n`a^n /n`b^n} =a /b)-t kapunk. Páratlan N esetén tetszőleges számokra igaz ez, páros N esetén pedig akkor, ha mindkét oldalon nem negatív szám áll a gyökjel alatt.
C. Az állítás igaz, ha k >=1 [egész szám], n =>1 [egész szám]. Páratlan k esetén az A tetszőleges valós szám lehet, páros k esetén pedig nem negatív valós szám. [Gyökjel alatt nem állhat negatív szám!]
Az azonosság kimondja, hogy a hatványozás, és a gyökvonás sorrendje felcserélhető egymással. Másképpen: gyökmennyiséget úgy hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a kívánt kitevőre.
Bizonyítása: k`(a^n) írható úgy: k`(a*a*a*a*... [n darab szorzótényezővel]) =k`a*k`a*k`a*... [N darab szorzótényezővel], mely írható úgy, hogy: (k`a)^n. Az azonosságokat fordított irányba is olvashatjuk, visszafelé is igazak.
15. Mit nevezünk egy valós szám normál alakjának? Írjuk fel a
következő számok normál alakját:
0.000173, 582000000, 78/582.
A pozitív valós szám normál alakja olyan két tényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője 1, vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb valós szám, a másik tényezője 10-nek az egész kitevős hatványa. Avagy: olyan szám, ami 1-nél nagyobb, vagy egyenlő, és 10-nél kisebb. Negatív valós szám normál alakja: olyan két tényezős szorzat, amelynek az egyik tényezője -1, vagy -1-nél kisebb, de -10-nél nagyobb szám, a másik tényezője pedig 10-nek az egész kitevős hatványa. [A nullát nem lehet a fentiekhez hasonló módon megadni!]
0.000173 =1.73*10^-4
582000000 =5.82*10^7
78/582 =[tizedestörtben] 0.1342 =1.342*10^-1
108. Ábrázoljuk, és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett [x-hez hozzárendeljük az abszolútérték x-et] függvényt!
Értelmezési tartomány: valós számok halmaza, és x eleme R. Érték készlete: nem negatív valós számok halmaza. Minimum helye: x =0
Minimum értéke: y =0
Zérus helye: x =0
X tengely mettszet: x =0
Y tengely mettszet: y =0
Ha x <0>0, szigorúan monoton nő a függvény. A függvény páros függvény, grafikonja szimetrikus az y tengelyre.
16. Mit jelent az A alapú logaritmus b, és milyen kikötéseket
kell tenni a-ra, és b-re?
B-nek az A alapú logaritmusa az az egyetlen valós kitevő, amelyre az a-t felemelve b-t kapunk. a^(logA b) =b
Kikötések: b >
17. Igazoljuk a következő azonosságokat:
A. logA (x*y) =logA x +logA y
B. logA (x /y) =logA x -logA y
C. logA (x^k) =k*logA x
Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra, ill. k-ra?
A. Az állítás igaz, ha x >0, y >0 [amire vonatkozik a logaritmus], az A >0 [alap], mely nem lehet egyenlő 1-gyel.
Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat adott alapú logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú logaritmusainak összegével.
Bizonyítása: A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy a logaritmus függvény szigorúan monoton.
Írjuk fel az x-et, és az y-t A hatványaként!
x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y
Ezt a jelölést alkalmazzuk a bizonyítandó egyenlőség bal oldalára, majd felhasználjuk azt, hogy egyenlő alapú hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.] =u +v logA (x*y) =logA (a^u*a^v) =logA (a^(u +v)) [Egyenlő alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevők összegét vesszük] logA x +logA y =u +v A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz. logA (x*y) =logA x +logA y
Kikötés: x >0, y >
B. Az állítás igaz, ha x >0, y >
Bizonyítása: felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és a logaritmus függvény szigorúan monoton.
x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y
logA (x /y) =logA ({a^u /a^v}) =logA (a^(u -v)) =u -v
logA x -logA y =u -v
C. Az állítás igaz akkor, ha x >0, k valós, és az A >0, de nem egyenlő 1-gyel.
Az azonosság azt mondja ki, hogy hatvány adott alapú logaritmusa megegyezik a hatvány a hatvány adott alapú logaritmusának, és a hatvány kitevőnek a szorzatával.
A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és logaritmus függvény szigorúan monoton:
x =a^u
u =logA x
A bizonyítandó egyenlőség bal oldala [felhasználva, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevő szorzatára emeljük] így írható:
logA (x^k) =logA ((a^u)^k) =logA (a^(u*k)) =u*k
A jobb oldala: k*logA x =k*u
A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.
A logaritmus alkalmazások alkalmazása megváltoztatja a logaritmikus kifejezések értelmezési tartományát. A felírás sorrendjében olvasva szűkíti, vagy szűkítheti azokat. Az egyenletek megoldásakor gyakran alkalmazzuk a fenti [A, B, C] azonosságokat fordított irányba olvasva is. A logaritmikus egyenletek megoldásakor többnyire bővül az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya. Hamis gyökök föllépését elkerülhetjük, ha az azonosságok alkalmazása előtt kikötjük a szükséges megszorításokat, és a megoldáskor kapott eredményeket ezekkel összevetjük. Ezt helyettesíthetjük a gyökök ellenőrzésével.
115. Ábrázolja, és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett A alapú logaritmus x függvényt, ha a>1, és abban az esetben, ha A 0, és 1 közötti értéket vesz föl. [Vagyis az alapot két csoportra osztjuk, 1-nél nagyobb, és 1-nél kisebb pozitív szám.]
Mind a két esetben az értelmezési tartomány a pozitív valós számok halmaza [x eleme R+], érték készlete pedig a valós számok halmaza [x eleme R]. A függvény minden értéket pontosan egyszer vesz fel, tehát invertálható. Inverze: a^x. Zérus helye: x =1. Szélső értéke nincs, és nem korlátos. Ha a>1, akkor szigorúan monoton nő, ha pozitív az alap, de 1-nél kisebb, akkor szigorúan monoton csökken a függvény. Az egyenlőtlenségek megoldásánál érdekes ez, mikor is szigorúan monoton növekszik, s a logaritmus elhagyásával rátérünk az argumentumokra, s ekkor marad a relációsjel ugyanolyan. Ha az alap 0-1. közötti [szigorúan monoton csökken a függvény], a logaritmus elhagyásával az argumentumra rátérve a relációsjel ellentétesre vált. A függvény grafikonja mind a két esetben az x tengelyt az 1, 0 pontban mettszi, aszimptotája pedig az y tengely.
23. Hogyan definiálja két negatív szám számtani, ill. mértani közepét?
Két valós szám [A, és B] számtani közepe, a két szám összegének fele: {a +b /2}. Két nem negatív valós szám [a>=0, és b>=0] mértani közepe, szorzatuk négyzetgyöke: `(a*b).
Beszélhetünk n darab valós szám számtani közepéről is, ez az adott számok összegének az n-ed része.
Beszélhetünk n darab nem negatív szám mértani közepéről is, ami az adott számok szorzatának az n-edik gyöke.
Két nem negatív szám számtani közepe nagyobb a két szám mértani közepénél, esetleg egyenlő vele, de egyenlőség csak akkor van, ha a két szám egymással egyenlő:
{a +b /2} >=`(a*b)
a >=0, b >=0
Bizonyítása: [Kettővel átszorozva] a +b >=2*`(a*b)
[Mindkét oldalt négyzetre emelve:]a^2 +2*ab +b^2 >=4*ab
[4*a*b-t átvisszük a bal oldalra:] a^2 -2*ab +b^2 >=0
[Más alakba felírva:](a -b)^2 >=0
Ez igaz, mert (a -b)-nek a négyzete [azaz egy valós szám négyzete] nem lehet negatív soha, tehát vagy nulla, vagy pozitív lehet.
Ez akkor lesz egyenlő nullával, ha az A egyenlő a b-vel, vagyis a számtani, és a mértani közép akkor egyenlő egymással, ha a két érték megegyezik egymással.
Megjegyzés küldése