Valós számok
1. Mit értünk két, vagy több szám közös osztóján; hogyan határozhatjuk meg?
Két, vagy több szám közös osztója az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója, azaz maradék nélkül meg van bennük.
A legnagyobb közös osztót úgy állítjuk elő, hogy a számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és azokat a prímszámokat, amelyek mindegyik számban szerepelnek, az előforduló legkisebb hatványkitevőre összeszorozzuk. Például:
360 =2^3*3^2*5
980 =2^2*5*7^2
1200 =2^4*3*5^2
E három szám legnagyobb közös osztója: 2^2*5 =20
Magyarázat: Azért 2^2, mert a kettes hatványai mindegyik számban szerepelnek, de a legkisebb hatványon a 980-ban. Az 5-ös is mindegyikben szerepel, s a legalacsonyabb hatványon az 1-es kitevővel a 360-ban, és a 980-ban, s a 7-es hatvány csak a 980-ban, a másik kettőben nem, s így nem közös osztó.
2. Mit értünk két, vagy több szám legkisebb közös többszöröseként; hogyan határozhatjuk meg?
Két, vagy több szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója. A számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és a bennük szereplő összes prímmtényezőt az összes előforduló legmagasabb hatványkitevőre emelve összeszorozzuk. Egyszerűen: a számok mindegyikét összeszorozzuk, és elosztjuk a legnagyobb közös osztóval.
3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két, vagy több szám relatív prím?
A pozitív egész számokat osztóik száma szerint három csoportba sorolhatjuk: 1. Egy osztója van: ebből csak egy szám van, az 1-es. 2. Kettő darab osztója van [1, és önmaga]: ezek a prím, vagy másnéven törzsszámok. 3. Kettőnél több osztója van: ezek az összetett számok. Prímszámok előállítására szolgál a "Eratosztenész-féle szita". Euklides bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van, s az is bizonyítható, hogy bármilyen "hézagok" is lehetnek a prímszámok között. Két, vagy több egész szám relatív prím, ha az 1-en kívül nincs más közös osztója, azaz a legnagyobb közös osztójuk az 1. Két szám akkor is lehet relatív prím, ha összetett, például a 6, és a 35.
Az Eratosztenész-féle szita azt jelenti, hogy a felsorolt számok közül [1-től valameddig] kihúzgálom azokat, amelyek 2-vel, 3-mal, n-nel oszthatók, s amelyek nem lettek kihúzva, azok a prím számok.
Példaként 100-ig írjuk fel a számokat, s elkezdjük kihuzogatni a 2-vel oszthatóakat, 3-mal oszthatóakat, stb., s csak a 10-ig kell elmennünk, mivel a 10 négyzete adja ki a százat, és ennek megfelelően amit nem húztunk ki, azok mind prím számok.
4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás,és szorzás kommutatív, asszociatív, ill. a szorzás azösszeadásra nézve disztributív?
Az összeadás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós számra igaz az, hogy (a +b =b +a) az összeadandók felcserélhetők.
A szorzás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós számra igaz az, hogy (a*b =b*a) a szorzat értéke nem fog megváltozni, ha a tényezőket felcseréljük.
Az összeadás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós számra igaz az, hogy ((a +b) +c =a +(b +c)) csoportosíthatunk [átzárójelezhetünk], az összeg értéke nem változik.
A szorzás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós számra igaz, hogy ((a*b)*c =a*(b*c)) átcsoportosítható, s aszorzat értéke nem fog megváltozni.
A szorzás az összeadásra nézve disztributív, mely azt jelenti az A, B, C valós számokra, hogy ((a +b)*c =a*c +b*c) összeget tagonként is szorozhatunk [felbontjuk a zárójeleket].
5. Definiálja az egyenes- és fordított arányosság fogalmát!
Két mennyiség kapcsolatát egyenes arányosságnak mondjuk, ha az egyik mennyiséget akárhányszorosára változtatva a másik mennyiség is ugyanannyiszorosára változik.
Az egyenes arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt képez a valós számok halmazára. [H a valós számok egy részhalmaza.] fx= ax, ahol az a. az egy [nem nulla] valós szám. Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor az egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja az origón átmenő egyenes. Ha az egyenesen arányos mennyiségek hányadosa állandó, és az összetartozó értékek hányadosa állandó. Az egyenes arányosságra példa az út-idő grafikon: ha hosszabb ideig megy ugyanolyan sebességgel egy tárgy, akkor arányosan több utat fog megtenni.
Két mennyiség kapcsolatát fordított arányosságnak mondjuk, ha az egyik mennyiséget akárhányszorosára növelve, a másik mennyiségnek ugyanannyiad részére kell csökkennie. A fordított arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt képez a valós számok halmazára, s a H halmaz a valós számok részhalmaza. fx =c /x [c<>0, és valós. Az x sem lehet 0, mert nevezőben nem
állhat 0.] Ha H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a
függvény grafikonja hiperbola. Az összetartozó értékpárok szorzata állandó. Fordított arányosságra példa a Boil-Mariott törvény, ami a gázok nyomása, és térfogata közti viszonyt mondja, a térfogat, és a nyomás szorzata állandó, azaz ha csökken a térfogat, növekszik a nyomás, ill. ha növekszik a térfogat, csökken a nyomás. [Természetesen ugyanarról a mennyiségű gázról van szó, és nem változik a bentlévő molekulák száma.]
9. Definiálja a racionális szám fogalmát!
Racionális számok a két egész szám hányadosaként megadható számok. Ezek p /q alakba felírhatóak, ahol p, és q egész számok, s nyilvánvaló, hogy q<>0, mert nevezőben nem állhat 0. Minden racionális szám végtelen sok módon adható meg tört alakban, egyetlen szám különböző törtalakjai egymásból egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel nyerhetők.
Pl.: 2/3 =4/6 =6/9 =-2/-3...
Egy racionális szám legegyszerűbb törtalakja az a tört, amely tovább nem egyszerűsíthető, tehát a számlálója, és a nevezője relatív prím. A szóbanforgó racionális szám egész szám, ha a legegyszerűbb törtalakjának nevezője 1. Racionális számok tizedestört alakja véges, ilyenkor a legegyszerűbb törtalakjának a nevezője olyan szám, amelynek a prím tényezői között kettőn, és ötön kívül más prímszám nem szerepel, vagy szakaszos, végtelen tizedestört, s a szakasz kevesebb számjegyből áll, mint amennyi a tört nevezője. Minden racionális szám felírható véges, vagy végtelen szakaszos tizedestört formájában, ill. minden olyan tizedestört, amelyik véges, vagy végtelen szakaszos, az átírható közönséges tört formájába. [A végtelen szakaszos tizedestörtek átírásáról bővebben a mértani sorozatnál lesz szó!]
10. Mi a számelmélet alaptétele?
Minden 1-től különböző pozitív egész szám felbontható prímszámok szorzatára. Ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Az 1-et azért nem vesszük a prímszámok közé, mert akkor nem lehetne a számokat a sorrendtől eltekintve egyértelműen prímtényezőkre bontani. Pl.: 6 =2*3 =1*2*3 =1*1*2*3 [végtelen 1-es szorzót is hozzávehetünk, de akkor már nem egyértelmű a felbontás.]
11. Bizonyítsuk be, hogy a `2 racionális szám!
A bizonyítás az indirekt, tegyük fel, hogy a `2 racionális, vagyis felírható p /q alakba, ahol a p, és a q egész számok, és tegyük fel, hogy a p, és q relatív prímek, azaz legnagyobb közös osztójuk 1. Ez azt jelenti, hogy a p /q tört már leegyszerűsített formában van, nem lehet tovább egyszerűsíteni.
A `2 =p /q-val [a feltételünk szerint], s mindkét oldalt négyzetre emelve 2 =p^2/q^2-et kapunk. Q^2-tel beszorzunk: 2q^2 =p^2. A bal oldalon 2-es szorzó van, s ennek megfelelően itt páros szám áll, s ez azt jelenti, hogy a jobb oldalon is páros számnak kell állni, vagyis a p^2 az páros.
Minden páros szá négyzete páros szám, és minden páratlan szám négyzete páratlan szám, s ez azt jelenti, hogy ne csak a p^2 páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a p 2k alakú, akkor a p^2 az 4k^2 alakú. Ezt beírva az "eredeti" egyenletünkbe: 2q^2 =4k^2 Egyszerűsítünk 2-vel: q^2 =2k^2 Mivel a jobb oldalon 2-es szorzó áll, ha ez páros, és [ugye] egyenlőség van, akkor a q^2 is páros, tehát a q is páros. Immár a q, és a p is páros, viszont az alapfeltevésünk között az volt, hogy p, és q legyenek relatív prímek, ami azt jelenti, hogy nem tudjuk tovább egyszerűsíteni. Viszont ha a p, és q is páros, akkor még tudjuk tovább egyszerűsíteni kettővel. Ez által ellentmondás alakult ki, azaz az eredeti indirekt feltevésünk, hogy a `2 felírható két egész szám hányadosaként, az megdőlt, ennek megfelelően hamis az "eredeti" feltevésünk. Ha nem írható fel p /q alakban, akkor racionális a `2.
Megjegyzés küldése