Szögfüggvények és alkalmazásuk a geometriában [emeltmatek]

Szögfüggvények és alkalmazásuk a geometriában

A szögfüggvények általános definíciója:

A koordináta-rendszer origója körül forgatott egységvektorral bármely pozitív vagy negatív szöget létrehozhatunk. Ennek segítségével értelmezzük a forgásszögek szögfüggvényeit.

Definíciók:

Az α szög szinusza a koordinátasíkon az i egységvektortól α szöggel elforgatott egységvektor második koordinátája.

A β szög koszinusza a koordinátasíkon az i egységvektortól β szöggel elforgatott egységvektor első koordinátája.

Az α szög tangense a koordinátasíkon annak a pontnak az y koordinátája, amelyet az α szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör (1;0) pontjához húzott érintőjéből kimetsz.

A β szög kotangense a koordinátasíkon annak a pontnak az x koordinátája, amelyet az β szöggel elforgatott egységvektor egyenese az origó körüli egységsugarú kör (0;1) pontjához húzott érintőjéből kimetsz.

Hegyesszögek szögfüggvényei

Két háromszög hasonló, ha két szöge egyenlő. Hasonló háromszögekben az oldalak aránya egyenlő. Ebből következik, hogy bármely két derékszögű háromszög hasonló, ha egy hegyesszögük egyenlő. Ebben az esetben tehát oldalaik aránya egyenlő.

Ha a derékszögű háromszögben megváltoztatjuk az egyik hegyesszöget, akkor megváltozik az oldalak aránya, és fordítva, ha két derékszögű háromszögben az oldalak aránya eltérő, akkor azok nem hasonlóak, hegyesszögeik eltérőek.

Tehát a derékszögű háromszögekben az oldalak aránya jellemző a hegyesszögre, ezért ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük.

Definíciók:

A derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó arányát a szög szinuszának nevezzük.

A derékszögű háromszögben a hegyesszög melletti befogó és az átfogó arányát a szög koszinuszának nevezzük.

A derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó arányát a szög tangensének nevezzük.

A derékszögű háromszögben a hegyesszög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó arányát a szög kotangensének nevezzük.

A szögfüggvények ábrázolása és jellemzése

A szinuszfüggvény
	A függvény jellemzése Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Korlátosság: korlátos Folytonosság: folytonos Periodikus, a periódusa: Zérushelyei: Maximumhelyei: Maximumértéke: Minimumhelyei: Minimumértéke: Monotonitás: Szigorúan monoton nő a intervallumon, . Szigorúan monoton csökken a intervallumon, . Paritás: páratlan függvény.
A koszinuszfüggvény
	A függvény jellemzése Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Korlátosság: korlátos Folytonosság: folytonos Periodikus, a periódusa: Zérushelyei: Maximumhelyei: Maximumértéke: Minimumhelyei: Minimumértéke: Monotonitás: Szigorúan monoton nő a intervallumon, . Szigorúan monoton csökken a intervallumon, . Paritás: páros függvény.
A tangensfüggvény
	A függvény jellemzése Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Korlátosság: nem korlátos Folytonosság: a intervallumokon folytonos ; az helyeken szakadása van. Periodikus, a periódusa: Zérushelyei: Szélsőértéke nincs. Monotonitás: Szigorúan monoton nő a intervallumokon, . Paritás: páratlan függvény.
A kotangensfüggvény
	A függvény jellemzése Értelmezési tartomány: Értékkészlet: Korlátosság: nem korlátos Folytonosság: a intervallumokon folytonos ; az helyeken szakadása van Periodikus, a periódusa: Zérushelyei: Szélsőértéke: nincs Monotonitás: Szigorúan monoton csökken a intervallumokon, . Paritás: páratlan függvény.

A szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggések:

Pótszögek szögfüggvényei:

Egy szög szinusza egyenlő pótszögének koszinuszával: .

Egy szög koszinusza egyenlő a pótszögének szinuszával: .

Az α szög tangense egyenlő a pótszögének kotangensével, ha : .

Az α szög kotangense egyenlő a pótszögének tangensével, ha : .

Kiegészítő szögek szögfüggvényei:

Az α szög szinusza egyenlő a kiegészítő szögének szinuszával: .

Az α szög koszinusza egyenlő a kiegészítő szöge koszinuszának ellentettjével: .

Az α szög tangense egyenlő a kiegészítő szöge tangensének ellentettjével, ha : .

Az α szög kotangense egyenlő a kiegészítő szöge kotangensének ellentettjével, ha : .

Negatív szögek szögfüggvényei:

, mert a koszinuszfüggvény páros.

,

,

, mert a szinusz-, tangens- és kotangensfüggvény páratlan.

A szögfüggvények kapcsolata:

A pitagoraszi összefüggés

Tetszőleges α szög esetén igaz, hogy .

Az összefüggés a Pitagorasz-tétel következménye.

Írjuk fel a derékszögű háromszögben a két befogót az átfogó és az egyik hegyesszög szögfüggvényeivel!

Most írjuk fel a Pitagorasz tételt ebben a háromszögben:

Osszuk el az egyenletet -tel!

Nevezetes szögek szögfüggvényei:

A szabályos háromszög és az egyenlő szárú derékszögű háromszög oldalainak segítségével kiszámíthatjuk a 30°, 60°illetve a 45°szögfüggvényeit.

A szinusztétel:
Bármely háromszögben bármely két oldal aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak az arányával.

Bizonyítás:

a) Hegyesszögű háromszög esetén:

A bal oldalak egyenlőségéből következik:

b) Tompaszögű háromszög esetén:

A bal oldalak egyenlőségéből következik:

Mivel , .
Mindkét esetben ugyanahhoz az összefüggéshez jutunk:

A koszinusztétel: Bármely háromszögben, bármely oldal négyzete megkapható úgy, hogy a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk azt a háromtényezős szorzatot, amelynek tényezői a másik két oldal és a közbezárt szög koszinusza.

Bizonyítás:

Tekintsük a következő vektorokat!

A tangenstétel:
A háromszögben alkalmazva a szokásos jelöléseket, ha a≠b:

A háromszög területének kiszámítása két oldalból és az általuk közbezárt szögből:

Most is a képletet használjuk. Mivel az m_a magasság nem ismert, azt kell kiszámolnunk.
Az ABT derékszögű háromszögben , vagyis . Ezt behelyettesítve az eredeti területképletbe a következőt kapjuk:

Derékszögű háromszög esetén:

Tompaszögű háromszög esetén:

Addíciós tételek:

Ezekből levezethető:

Szög kétszeresének szögfüggvényei (az addíciós tételek segítségével írhatjuk fel):

Hasonló gondolatmenettel kapjuk:

Alkalmazások:

Matematikai:

Szögszámítás sík- és térgeometriai problémákban

Területszámítás

Skaláris szorzat kiszámítása

Matematikán kívüli:

Térképészeti alkalmazás: Háromszögelés

Építészet

A kör és a parabola a koordinátasíkon [emeltmatek]

A kör és a parabola a koordinátasíkon

A kör

A kör (körvonal) a sík azon pontjainak halmaza (mértani helye), amelyek a sík egy adott pontjától adott (nullától különböző) távolságra vannak. Az adott pontot a kör középpontjának, az adott távolságot a kör sugarának, rádiuszának nevezzük.

A kör egyenlete:

Adott a C(u;v) középpontú, r sugarú kör. A középponttól a körvolnal bármely P(x;y) pontja r távolságban van. Ezért . Ez rendezett alakban: .

Ezt az egyenletet az (u;v) középpontú, r sugarú körvonal minden pontjának a koordinátái kielégítik és más pont koordinátái nem elégítik ki. Ez az egyenlet a kör egyenlete.

A rendezett alak mutatja, hogy bármely kör egyenlete másodfokú, kétismeretlenes egyenlet. Kérdéses azonban, hogy bármely másodfokú, kétismeretlenes egyenlet körnek az egyenlete-e.

A másodfokú kétismeretlenes egyenlet általános alakja:

A kör egyenletének rendezett alakjából látjuk, hogy abban nem szerepelhet xy-os tag, és azt, hogy x² és y² együtthatója egyenlő. Ezért, hogy egy másodfokú kétismeretlenes egyenlet egy kör egyenlete legyen, az együtthatóira szükséges a C=0 és az A=B feltétel.
A alakú egyenletek helyett csak a alakú másodfokú kétismeretlenes egyenletek állíthatnak elő kört. azt még külön meg kell vizsgálnunk, hogy ezek közül mind előállít-e kört.

A kapott egyenletet osszuk el A-val:

Ez az egyenlet akkor és csak akkor állít elő kört, ha a jobb oldalon (az r²-nek megfelelő helyen) pozitív szám áll, azaz: .

Ez az a három feltétel, amelyeknek meg kell felelnie egy másodfokú kétismeretlenes egyenletnek ahhoz, hogy kör egyenlete legyen.

Kör és egyenes kölcsönös helyzete:

Egy síkban körnek és egyenesnek 0, 1 vagy 2 metszéspontja lehet.

E metszéspontok koordinátáit a kör és az egyenes egyenleteiből álló egyenletrendszer valós megoldásai adják.

Az egyenletrendszerek megoldásai során kapott egyismeretlenes másodfokú egyenlet diszkriminánsának előjele határozza meg a megoldások számát.

Két kör kölcsönös helyzete:

Két kör metszéspontjainak számát a körök egyenleteiből álló egyenletrendszer valós megoldásainak száma határozza meg.

Ha két megoldás van, a két kör metsző.

Ha egy megoldás van, a két kör érinti egymást.

Ha nincs megoldás, a két körnek nincs közös pontja.

A parabola

A parabola adott egyenestől és egy adott, rá nem illeszkedő ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.
Az adott egyenes a parabola vezéregyenese (v), az adott pont a parabola fókuszpontja (F).
A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p>0).
A fókuszpontra illeszkedő, a vezéregyenesre merőleges egyenes a parabola szimmetriatengelye, röviden tengelye (t).
A parabola tengelyen lehelyezkedő pontja a parabola tengelypontja (T), vagy csúcspontja.
A tengelypont felezi a fókuszpont és a vezéregyenes távolságát.

A parabola csúcsponti egyenlete:

Olyan parabolákkal foglalkoztunk, amelyek tengelye párhuzamos a koordináta-rendszer egyik tengelyével.

Elsőként olyan helyzetű parabolát tekintünk, amelynek tengelye az y tengely, tengelypontja az origó és a parabola a koordináta-rendszer I. és II. negyedében van. Az ilyen parabolát már egyértelműen meghatározza a p paramétere. Fókuszpontja: .
Egyenletének felírásához a definíciója a kiindulópont: d(P;F)=d(P;v).

Az egyenlet mindkét oldalán távolságok szerepelnek, ezek nem lehetnek negatív számok, így mindkét oldal négyzetre emelésével ekvivalens átalakítást végzünk:

Rendezve: vagy

Ezt az origó tengelypontú fókuszpontú parabola tengelyponti vagy csúcsponti egyenletének nevezzük.

Az előző parabolát tükrözzük az x tengelyre. E transzformáció miatt ennek egyenlete: .

Az elsőként tárgyalt egyenletű parabolát tükrözzük az y=x egyenesre, ekkor a parabola tengelye az x tengely lesz. Ennél a tükrözésnél a két tengely és az x, y koordináta felcserélődik.
Az ilyen helyzetű parabola egyenlete: ; rendezve: .

Az előző parabolát tükrözzük az y tengelyre. A transzformáció miatt ennek a parabolának az egyenlete: .

Az előzőekben tárgyalt parabolákat eltoljuk a koordinátasíkon egy (u;v) vektorral. Ekkor, az új helyzetben, a tengelypontjuk a T(u;v) pont lesz. Ha ezeket az új helyzetű parabolákat
(-u;-v) vektorral toljuk el, akkor visszajutunk az eredeti helyzetű parabolákhoz. Ennél a „visszatolásnál” minden P(x;y) pontból P’(x-u;y-v) pont lesz. Ennek a P’ pontnak a koordinátáiban szereplő x, y az eltolt új helyzetű parabolák koordinátái. Ezért felírhatjuk az egyenletüket.

Alkalmazások:

Matematikai:

Adott tulajdonságú ponthalmazt koordináta-geometriai eszközökkel határozunk meg.

A kör területének meghatározásánál a kör egyenletének segítségével felírt függvény határozott integrálját használjuk.

Matematikán kívüli:

A vízszintesen elhajított test pályaegyenletének meghatározásánál egy parabola egyenletét kapjuk.

Mesterséges holdak vagy az űrhajók adott sebességgel (I. kozmikus sebesség) fellőve a Föld körül körpályán keringenek. Ha a sebességük valamivel nagyobb, de az úgynevezett II. kozmikus sebességnél kisebb, akkor a pálya ellipszis. Ha a sebesség éppen a II. kozmikus sebesség, akkor a pálya parabola, ha annál nagyobb, akkor hiperbola, és a hold vagy űrhajó mindkét esetben távozik a naprendszerből.

Homogén mágneses mezőben mozgó töltött részecske, ha sebessége merőleges az indukcióvonalakra, körpályán mozog. Ezt használják ki a részecskegyorsítók működésénél, hogy a részecskéket adott pályán tudják vezetni.