Vektorok [emeltmatek]

Vektorok

A vektorok irányított szakaszok, hosszuk a vektor abszolútértéke.

Definíciók:

Egyállású vektorok: olyan vektorok, amelyekhez találhatunk olyan egyenest, amely mindegyikkel párhuzamos.

Egyenlő vektorok: olyan vektorok, melyek egyállásúak, irányuk azonos és abszolútértékük egyenlő.

Nullvektor: olyan vektor, melynek abszolútértéke 0 és bármely vektorral egyállású (iránya tetszőleges).

Ellentett vektorok: abszolútértékük egyenlő, egyállásúak és ellentétes irányúak.

Egysíkú vektorok: olyan vektorok, amelyekhez találhatunk olyan síkot, amely mindegyikkel párhuzamos.

Műveletek vektorokkal:

Vektorok összegzése:

Két vektor összeadásánál egy pontból kiindulva felmérjük az egyik vektort, majd ennek végpontjába a másik vektort. Összegük az a vektor, amely az első kezdőpontjából a második végpontjába mutat.

Két vektor összeadása kommutatív művelet, ugyanis, ha az ábrán látható a és b vektort ugyanazon pontból mindkét sorrendben felmérjük, akkor egy paralelogramma alakul ki. Az a+b vektor mindkét esetben a paralelogrammának az az átlója, amely a közös kezdőpontból indul ki.

Több vektor összeadása esetén először két vektort összegezünk, majd ehhez az összegvektorhoz hozzáadunk egy újabb vektort stb.

A vektorok összeadása asszociatív művelet, ezt az ábra segítségével megmutathatjuk.

Több vektor összeadása esetén a vektorok egymás utáni felmérésével, a vektorok „egymáshoz fűzésével” szerkesztjük meg az összegvektort.

Két vektor különbsége:

Az a és b vektorok különbségén az a+(-b) összeget értjük, azaz a vektorhoz hozzáadjuk a b vektor ellentettjét.

Két vektor különbségének a megszerkesztése történhet a definíció alapján, de a különbségvektort megszerkeszthetjük úgy is, hogy a két vektort egy pontból kiindulva mérjük fel. A két vektor különbsége a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor.

Vektor szorzása számmal (skaláris szorzat):

Vektorok skaláris szorzatát több lépésben értelmezzük:

Ha a vektor nullvektor, akkor bármilyen λ valós számmal szorozzuk, a szorzat nullvektor.

Ha a≠0 és λ valós számmal szorozzuk, akkor λa olyan vektor, amelynek abszolútértéke |λ|∙|a| és iránya

· 0<λ esetén a iránya,

· λ=0 esetén λa=0, iránya tetszőleges,

· λ<0 style="">a irányával ellentétes.

A definíció alapján a vektorok számmal történő szorzása nyújtást (1<|λ|) vagy zsugorítást (|λ|<1)>

Számmal történő szorzással egyállású vektorhoz jutunk. Ez fordítva is igaz: Ha adott egy nem nullvektor, akkor a vele egyállású bármely vektor előállítható annak számszorosaként.

A skaláris szorzat tulajdonságai:

α(βa)=(αβ)a

αa+βa=(α+β)a

α(a+b)=αa+αb

Az első két állítás közvetlenül az értelmezésből következik.
A harmadik állítás kimondja, hogy a vektorok szorzása skalárral a vektorösszegzésre nézve disztributív. Ez az alábbi ábra alapján is beláthatjuk:

Az a és a b vektorok ból az előző értelmezések alapján képzett v=αa+βb vektort az a, b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

Két vektor skaláris szorzata:

Két vektor skaláris szorzatán a két vektor abszolútértékének és hajlásszögük koszinuszának szorzatát értjük. A φ (0°≤ φ ≤180°) hajlásszöget bezáró a és b vektorok skaláris szorzata: ab=|a|∙|b|∙cosφ.

Két vektor skaláris szorzata kommutatív: ab=ba. Ez a definícióból következik, ugyanis mindkét skaláris szorzat ugyanannak a három számnak a szorzata, számok szorzása pedig kommutatív művelet.

Vektorok skaláris szorzása nem asszociatív.
Tekintsük az (ab)c szorzatot. Az ab skaláris szorzat, azaz egy szám, így az (ab)c szorzat a c vektornak egy számszorosa, az a(bc) szorzat pedig az a vektornak egy számszorosa.
Általában (ab)c≠ a(bc).

Skaláris szorzatot egy valós számmal úgy is szorozhatunk, hogy a számmal az egyik tényezőjét szorozzuk: λ(ab)=(λa)b=a(λb), ez a skaláris szorzat definíciójából következik.

Bármely a, b, c vektorokra fennáll az (a+b)c=ac+bc azonosság, azaz a skaláris szorzás a vektorösszeadásra nézve disztributív.

Egy vektor önmagával való skaláris szorzatát a vektor négyzetének mondjuk. Ekkor a két vektor hajlásszöge 0°, ezért a²=|a|². Átalakítva: , azaz egy vektor abszolútértéke a vektor négyzetének négyzetgyöke.

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor pozitív, ha egyik sem nullvektor, és hajlásszögük (0°≤ φ <90°).

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor negatív, ha egyik sem nullvektor, és hajlásszögük (90°< φ ≤180°).

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra.

Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0, mert ekkor cos90°=0.

Ha két vektor skaláris szorzata 0, akkor az ab=|a|∙|b|∙cosφ miatt vagy cosφ=0, azaz a két vektor merőleges egymásra, vagy a vektorok között van nullvektor. A nullvektor iránya azonban tetszőleges, ezért ebben az esetben is tekinthetjük a két vektor hajlásszögét 90°-nak.

Vektoriális szorzat:

Két vektor (a, b) vektoriális szorzata olyan vektort eredményez (axb), melynek hossza a vektorok abszolútértékének és hajlásszögük szinuszának szorzata és amely ezen vektorok síkjára merőleges úgy, hogy a, b és axb ilyen sorrendben jobbrendszert alkot.
|axb|=|a|∙|b|∙sinφ.

A vektoriális szorzat néhány tulajdonsága:

axb = -(bxa)
A vektoriális szorzás nem kommutatív.

λ(axb) = (λa)xb = ax(λb)

cx(a+b) = cxa+cxb
(a+b)xc = axc+bxc
A vektoriális szorzás disztributív a vektorösszeadásra nézve.

Vektorok a koordinátarendszerben:

Helyvektorok: a sík vagy a tér azonos vonatkoztatási pontjából induló vektorok.

A koordináta-rendszerben bármely vektorhoz egyértelműen létezik egy vele egyenlő helyvektor.

A síkbeli derékszögű (x,y) koordináta-rendszer bázisvektorai az origóból az (1;0) pontba mutató i és a (0;1) pontba mutató j egységvektorok.

Ezek alapján a koordinátasík összes v vektora egyértelműen felírható i és j vektorok lineáris kombinációjaként v = v₁∙j+v₂∙j alakban.
Az így meghatározott v_1, v₂ rendezett számpárt a v vektor koordinátáinak nevezzük.
Jelölés: v(v_1; v₂)

Alkalmazások:

Matematikai:

A trigonometriában tetszőleges szög szinuszának és koszinuszának definiálásához használjuk a vektorkoordináta fogalmát.

A koszinusztétel ismert bizonyítása a skaláris szorzat definíciójára épül.

A koordináta-geometria legalapvetőbb segédeszközei a vektorok.

Matematikán kívüli:

Fizikai feladatokban, pl. erők, sebességek összegzésénél, felbontásánál használjuk a vektoroknál tanultakat.

A mechanikai munkát az erő- és elmozdulásvektor skaláris szorzataként értelmezzük.

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete, kerületi szög, középponti szög [emeltmatek]

A kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete, kerületi szög, középponti szög

Kör: adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon.

Zárt körlap: azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól adott távolságnál nem nagyobb távolságra vannak.

Nyílt körlap: azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól adott távolságnál kisebb távolságra vannak.

Körgyűrű: azon pontok halmaza a síkban, amelyek két egyközepű (koncentrikus) kör között helyezkednek el.

A kör érintője: olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel, összes többi pontja pedig külső pont.

A kör szelője: olyan egyenes, amelynek két közös pontja van a körrel.

A kör húrja: a szelő körrel való metszéspontjai közé eső szakasza.

Átmérő: a kör középpontján áthaladó húr.
Az átmérő a kör leghosszabb húrja, hossza a sugár kétszerese.

Körszelet: a körlapot egy szelője két körszeletre bontja.

Középponti szög: olyan szög, melynek csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara.

Körív: A kört két pontja két körívre bontja. Minden középponti szög a körvonal egy ívét tartalmazza.

Körcikk: A körlapot két sugara két körcikkre bontja. A középponti szög és a körlap közös részét körcikknek nevezzük.

Kerületi szög: olyan konvex szög, amelyet a kör két közös végpontú húrja alkot.

Érintőszárú kerületi szög: az a konvex szög, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érintő félegyenes alkot.

Látószög: Adott három pont a síkon: A, B és P. Ha az , akkor azt mondhatjuk, hogy az AB szakasz a P pontból α szög alatt látszik.

Látószögkörív: azon pontok halmaza a síkon, amelyekből egy AB szakasz adott α szög alatt látszik. (Ez két, az AB egyenesére szimmetrikusan elhelyezkedő körív.)

Ívmérték, radián: 1 radián (1 rad) annak a középponti szögnek a nagysága, amelyhez az r sugarú körben r hosszúságú körív tartozik.

Tételek:

1. A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra.

Bizonyítás: indirekt úton.

Vegyük fel az O középpontú kör egy érintőjét, és húzzuk meg az érintési ponthoz tartozó sugarat. Tegyük fel, hogy az e érintő és az OE sugár nem merőlegesek egymásra. Bocsássunk merőlegest az O középpontból az e érintőre, ennek talppontját jelöljük T-vel. Ez körön kívüli pont. Az OET derékszögű háromszög, a derékszög csúcspontja T, ezért a háromszögnek OE az átfogója. Ezzel ellentmondáshoz jutunk, mert OE=r és r

2. Adott körben a körív hossza egyenesen arányos a középponti szöggel,
vagyis, ha α és β két középponti szög, i_α, és i_β a hozzájuk tartozó ívek, akkor .
Ez az összefüggés teszi lehetővé a szögek ívhosszal történő mérését is.

3. Adott körben a körcikk területe egyenesen arányos a hozzá tartozó középponti szöggel,
vagyis, ha α és β két középponti szög, t_α, és t_β a hozzájuk tartozó körcikkek területei, akkor .

4. Adott pontból adott körhöz húzott érintőszakaszok egyenlők.

Bizonyítás:
Rajzoljuk meg a külső P ponton át az adott körhöz húzható két érintőt, az érintési pontok legyenek A és B. Vegyük fel a P ponton és a kör O középpontján átmenő szakaszt. Mivel a kör tengelyesen szimmetrikus a középpontján átmenő egyenesekre, így az PO szakasz egyenesére is. Az A érintési pont tükörképe B, így a PA érintőszakasz tükörképe a PB érintőszakasz, tehát egyenlő hosszúak.

5. Szelőtétel:
A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe annak a két szakasznak, amelyek a külső pontra illeszkedő bármely szelőn a ponttól a körrel alkotott metszéspontokig terjednek.
A mellékelt ábra jelölései szerint:

A PBE és PAE háromszögek hasonlóak, mert:
, mivel mindkettő az AE ívhez tartozó kerületi szög
a P-nél fekvő szögük egyenlő.

Ebből következik, hogy megfelelő oldalaik aránya egyenlő:

Ezt szorzat alakba írva:

6. Középponti és kerületi szögek tétele:
Adott körben, adott ívhez tartozó bármely kerületi szög nagysága fele az ugyanazon ívhez tartozó középponti szög nagyságának.

Mivel a kerületi szögek többféle helyzetűek lehetnek, ezért a tétel bizonyítása több lépésben történik. Mi ebből csak egyet bizonyítsunk!

A középponti és a kerületi szög szára egy egyenesbe esik.

AOC háromszög egyenlő szárú, mert OC és OA a kör sugara. Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlők, tehát .

Mivel AOC háromszögnek β külső szöge, így az megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével, azaz , vagyis .

Alkalmazások:

Matematikai:

Szögek mérése radiánban.

Húrnégyszögek tételének bizonyításánál a középponti és kerületi szögek tételét használjuk.

Thalész tételének bizonyításánál a középponti és kerületi szögek tételét használjuk.

Matematikán kívüli:

A gépészmérnökök minden olyan alkatrész megtervezésekor használják a körre vonatkozó ismereteket, melyeknek valamelyik síkmetszete kör.

Körmozgások, forgó mozgások leírásakor a körrel kapcsolatos ismereteket használják fel a fizikában.

A látószögeket a csillagászatban is alkalmazzák.

Sokszögek, szimmetrikus sokszögek [emeltmatek]

Sokszögek, szimmetrikus sokszögek

Sokszögek tulajdonságai:

Definíciók:

Konvex sokszög: olyan sokszög, amely bármely két pontjával együtt a két pontot összekötő szakasz valamennyi pontját is tartalmazza.
(Olyan sokszög, amelynek minden szöge kisebb az egyenesszögnél.)

Konkáv sokszög: olyan sokszög, amelynek nem minden pontpárjára igaz, hogy az összekötő szakaszukat teljes egészében tartalmazza, azaz, amely nem konvex.
(Olyan sokszög, amelynek van az egyenesszögnél nagyobb szöge.)

Tengelyesen szimmetrikus sokszög: Egy sokszög tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli tengelyes tükrözés, amelynek az adott sokszög invariáns alakzata. E tükrözés tengelyét a sokszög szimmetriatengelyének nevezzük.

Középpontosan szimmetrikus sokszög: Egy sokszög középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, melynek az adott sokszög invariáns alakzata. E tükrözés középpontját a sokszög szimmetria-középpontjának nevezzük.

Forgásszimmetrikus sokszög: Egy sokszög forgásszimmetrikus, ha van a síkjában olyan (az identitástól különböző) pont körüli forgatás, melynek a sokszög invariáns alakzata. E forgatás középpontját a sokszög forgáscentrumának nevezzük.

Bizonyítható, hogy ha egy sokszögnek egynél több szimmetriatengelye van, akkor azok egy pontban metszik egymást. Az ilyen sokszög forgásszimmetrikus is, és forgáscentruma a tengelyek metszéspontja.

A középpontos tükrözés egyenértékű a forgáscentrum körüli 180°-os elforgatással, ezért a középpontosan szimmetrikus sokszögek ezeknek a forgatásoknak is invariáns alakzatai, így a középpontosan szimmetrikus sokszögek forgásszimmetrikusak is.

Szabályos sokszög: olyan sokszög, amelynek oldalai és szögei egyenlők.

Érintősokszög: olyan sokszög, amelynek van beírható köre.

Húrsokszög: olyan sokszög, amelynek van köré írható köre.

Tételek:

1. Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma: .

Bizonyítás:
Az n oldalú konvex sokszög egy tetszőleges csúcsából n-3 átló húzható, mert önmagába és a két szomszédos csúcsba nem vezet átló. Ha minden csúcsból meghúzzuk az n-3 átlót, akkor összesen átlót rajzoltunk meg, hiszen minden átlóhoz két csúcs tartozik.
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

2. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2)∙180˚.

Bizonyítás:
Válasszuk ki egy n oldalú (n≥3) sokszög tetszőleges csúcsát. Ebből a csúcsból n-3 átló húzható, amely átlók a sokszög belsejében haladnak, így azt n-2 darab háromszögre bontják. A sokszög belső szögeinek összegét ezen háromszögek belső szögeinek összege adja, ami .
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

3. Az n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360°.

Bizonyítás:
Tekintsük az n oldalú konvex sokszög külső szögeit. Ezek a külső szögek és a hozzájuk tartozó belső szögek mellékszögpárt alkotnak, így összegük 180°. Ha képezzük ezeknek a külső-belső szögpároknak az összegét, -ot kapunk. Ebből a belső szögek összege, tehát a külső szögeké .
Ezzel bebizonyítottuk a tételt.

4. A szabályos n-szög belső szögeinek nagysága:.

Bizonyítás:
Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege , és a szabályos n-szögnek n egyenlő nagyságú szöge van, ezért a tétel igaz.

5. Az n oldalú szabályos sokszögek forgásszimmetrikusak, mégpedig mindegyikhez n különböző olyan elforgatás adható meg, amelynek invariáns alakzata (0°≤α<360°).

A forgáscentrum a szabályos sokszög szimmetria-középpontja, a forgatások szögei pedig:

Szabályos sokszögek kerülete, területe:

Az n oldalú szabályos sokszög kerülete oldalhosszának n-szerese.

Ha az n oldalú szabályos sokszög köré írható körének sugara R, akkor területét a , kerületét pedig a összefüggés adja.

Az n oldalú szabályos sokszög területét megadhatjuk a t=ρ∙s összefüggéssel is, ahol ρ a szabályos sokszög beírható körének sugara, s pedig kerületének a fele.

Alkalmazások:

Matematikai:

A matematikában a sokszögek segítségével ívhosszakat, görbe vonallal határolt síkidomok kerületét és területét határozhatjuk meg.
Például a kör területének meghatározásánál, ahol a körbe és a kör köré írható, 2ⁿ oldalú szabályos sokszögek területeiből, a kétoldali közelítés módszerét használva juthatunk eredményre.

Melyek azok a szabályos sokszögek, amelyekkel hézagmentesen lefedhető a sík?

Matematikán kívüli:

Kristályszerkezetekben gyakran találkozhatunk szabályos sokszögekkel, például a grafit kristályszerkezetében szabályos hatszögek fedezhetők fel.

A szabályos sokszögeket az építészetben is használják statikai és esztétikai célokra egyaránt. Szerephez jutnak modern épületek tartószerkezetének tervezésekor is.

A természetben gyakran előfordul az aranymetszés aránya (a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez), amit „isteni aránynak” tartottak az ókorban, és szívesen alkalmazták művészeti alkotásokban: szobrokon, festményeken, épületeken. A szabályos ötszög átlóinak osztásaránya éppen ez az arány.

A görbült felületekkel határolt testek számítógépes ábrázolásakor a test felületét sokszöglapokból álló felületekkel közelítik meg.

Méhsejt-szerkezetű gyepvédő rács