Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek [emeltmatek]

Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek

Húrnégyszögek:

Húrnégyszög: olyan konvex négyszög, amelynek minden oldala egy körnek egy-egy húrja.

Tétel:
Egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.

Bizonyítás:

a) Ha egy konvex négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180°.
Vegyük fel az ABCD húrnégyszöget a köré írt körével együtt. Válasszuk ki a húrnégyszög α és γ szemközti szögeit. Az α szög a C csúcsot tartalmazó BD ívhez, a γ pedig az A csúcsot tartalmazó BD ívhez tartozó kerületi szög. A kerületi és középponti szögek tétele miatt a hozzájuk tartozó középponti szögek 2α és 2γ nagyságúak. Ezek összege viszont éppen a telje szög, azaz 360°.
2α+2γ=360°, vagyis α+γ=180°. Ezt akartuk belátni.
Mivel a négyszög belső szögeinek összege 360°, ezért a másik két szemközti szög összege is 180°.

b) Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180°, akkor az húrnégyszög.
Legyen ABCD négyszög szemközti szögeinek összege 180°!
E négyszög tetszőleges három csúcsa köré mindig írható kör, ezért rajzoljuk meg az ABD csúcsok köré írható k kört! Megmutatjuk, hogy a C csúcs is rajta van ugyanezen a körön.
Vegyünk fel egy tetszőleges P pontot az A csúcsot nem tartalmazó BD köríven! Így az ABPD húrnégyszöghöz jutunk, melyben a P-nél lévő szög a húrnégyszög-tétel miatt (180°-α), azaz P-ből BD szakasz (180°-α) szögben látszik. A kerületi szögek tétele miatt azonban a k kör ezen ívének mindegyik pontjából (180°-α) szögben látszik BD. Tudjuk, hogy azon pontok halmaza, amelyekből a BD szakasz (180°-α) szögben látszik, két, a BD-re szimmetrikus körív, melyek közül az egyik az előbb megmutatott. Emiatt C csak a k kör említett ívén, vagy annak BD-re vonatkozó tükörképén lehet. Azonban a tükörképen nem lehet, mert akkor az ABCD négyszög konkáv lenne. Tehát C csúcs rajta van a k körön, vagyis ABCD húrnégyszög.

Érintőnégyszögek:

Érintőnégyszög: olyan konvex négyszög, amelynek minden oldala egy körnek egy-egy érintője.

Tétel:
Egy konvex négyszög akkor és csakis akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak hossza egyenlő.

Bizonyítás:

a) Ha egy konvex négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő.
Ez nyilvánvalóan következik abból az elemi tételből, hogy az O középpontú körhöz egy külső A pontból húzott AE és AH érintőszakaszok hossza egyenlő, mert az AO egyenes ezek szimmetriatengelye.
Az ABCD érintőnégyszögben
AE=AH
BE=BF
CF=CG
DG=DH
Felírjuk a szemközti oldalhosszak összegét:
AB+CD=AE+EB+CG+GD
AD+BC=AH+HD+BF+FC
Figyelembe véve az előző egyenlőségeket, valóban a szemközti oldalhosszak összege egyenlő.

b) Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.
A bizonyításhoz meg kell mutatnunk, hogy a feltételnek eleget tevő konvex négyszögnek van beírt köre, azaz van olyan belső pontja, amely mind a négy oldaltól egyenlő távolságra van.

1. Ha a négyszög deltoid:
A konvex deltoidnak van beírható köre, mert a tengelyes szimmetria miatt szögfelezői egy ponton haladnak át, és ez egyenlő távolságra van mind a négy oldaltól.

2. Ha a négyszög nem deltoid:
Ebben az esetben vagy mind a négy oldal különböző hosszúságú, vagy legfeljebb két szemközti oldal egyenlő hosszú, és a másik kettő egyike ezeknél nagyobb, a másik kisebb. Tehát mindkét esetben van leghosszabb oldal. Legyen ez az ábrán az AB oldal!
A feltétel az ábra jelöléseivel: AB+CD=BC+DA
Ezt átrendezve: AB-BC=DA-CD.
Mérjünk fel az AB oldalra egy BC hosszúságú, a DA oldalra pedig egy CD hosszúságú szakaszt! Így kapjuk a P és a Q pontokat. A PQ, QC és CP szakaszokat behúzva a négyszöget négy háromszögre bontottuk, amelyek közül a külső három egyenlő szárú, a belsőt pedig ezek alapjai határolják. A külső háromszögek szimmetriatengelyei a belső háromszög oldalfelező merőlegesei (a egy pontban metszik egymást), a négyszög három belső szögét pedig felezik. Ezért ez a pont egyenlő távolságra van a négyszög oldalaitól, tehát a beírható kör középpontja.

Tengelyesen szimmetrikus négyszögek:

Tengelyesen szimmetrikus négyszög: Egy négyszög tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan síkbeli tengelyes tükrözés, amelynek az adott négyszög invariáns alakzata. E tükrözés tengelyét a négyszög szimmetriatengelyének nevezzük.

1. Nincs a szimmetriatengelyen csúcs:

Ha nincs a szimmetriatengelyen csúcs, akkor a négyszög két-két csúcsa egymásnak tükörképei, vagyis a tengely két szemközti oldal közös felezőmerőlegese. E két, a tengelyre merőleges oldal párhuzamos, így ezek a négyszögek szimmetrikus trapézok (illetve azok speciális esetei: téglalap, négyzet).

A szimmetrikus trapézok húrnégyszögek.

A tengelyszimmetria miatt ezek mindegyikére igaz, hogy:

alapon fekvő szögeik egyenlő nagyságúak,

száraik egyenlő hosszúak

átlóik egyenlő hosszúak és a szimmetriatengelyen metszik egymást

2. Van a szimmetriatengelyen csúcs:

Ha van csúcs a szimmetriatengelyen, akkor a négyszög két csúcsa is a szimmetriatengelyen kell, hogy legyen, a másik kettő pedig egymásnak tükörképe. Így az ábra jelöléseivel: AD=AB és DC=BC. Tehát ezek a négyszögek a deltoidok (illetve azok speciális esetei: rombusz, négyzet).

A konvex deltoidok érintőnégyszögek.

A tengelyszimmetria miatt ezek mindegyikére igaz, hogy:

két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosszú,

egyik átlójuk merőlegesen felezi a másik átlót

egyik átlójuk (a szimmetriatengely) felezi a négyszög két szemközti szögét,

van két szemközti egyenlő nagyságú szögük.

Szimmetriatengelyek száma szerinti csoportosítás:

1 tengely: szimmetrikus trapéz és deltoid

2 tengely: rombusz és téglalap

4 tengely: négyzet

Középpontosan szimmetrikus négyszögek:

Középpontosan szimmetrikus négyszög: Egy négyszög középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, melynek az adott négyszög invariáns alakzata. E tükrözés középpontját a négyszög szimmetria-középpontjának nevezzük.

Ha egy négyszög középpontosan szimmetrikus, akkor két-két csúcsa egymásnak középpontos tükörképe, vagyis az átlók felezik egymást. Tehát középpontosan szimmetrikus négyszögek a paralelogrammák (illetve speciális eseteik: rombusz, téglalap, négyzet).

A középpontos szimmetria miatt ezek mindegyikére igaz, hogy:

szemközti oldalaik párhuzamosak,

szemközti szögeik egyenlő nagyságúak,

bármely két szomszédos belső szögük összege 180°,

szemközti oldalaik egyenlők,

van két szemközti oldaluk, amelyek párhuzamosak és egyenlő hosszúak,

átlóik felezik egymást, és metszéspontjuk a szimmetriacentrum.

Forgásszimmetrikus négyszögek:

Forgásszimmetrikus négyszög: Egy négyszög forgásszimmetrikus, ha van a síkjában olyan (az identitástól különböző) pont körüli forgatás, melynek a négyszög invariáns alakzata. E forgatás középpontját a négyszög forgáscentrumának nevezzük.

A középpontos tükrözés egyenértékű a forgáscentrum körüli 180°-os elforgatással, ezért a középpontosan szimmetrikus négyszögek ezeknek a forgatásoknak is invariáns alakzatai, Így a középpontosan szimmetrikus négyszögek forgásszimmetrikusak is.

A forgásszimmetrikus négyszögek a paralelogrammák.

A négyzet a 90°-os és a 270°-os elforgatásnak is invariáns alakzata a 180°-os mellett.

Alkalmazások:

Matematikai:

Bizonyítsuk be, hogy egy hegyesszögű háromszög magasságpontjának az oldalfelező pontokra vonatkozó tükörképei a háromszög köré írható körén vannak.

A hegyesszögű ABC háromszög magasságtalppontjai rendre Ta, Tb, Tc, M a magasságpont. M’ a magasságpont BC oldal felezőpontjára vonatkozó tükörképe.
A bizonyítandó állítás, hogy ABM’C húrnégyszög.

Mutassuk meg, hogy a szemben fekvő szögeinek összege 180°!

1. Az ATcMTb négyszög belső szögösszege 360°. Így, mivel a Tc és Tb csúcsoknál lévő szögek derékszögek, az A-nál lévő α szöggel szemben az M csúcsnál 180°-α nagyságú szög van.

2. Az MBM’C négyszög a középpontos tükrözés miatt paralelogramma. Ennek M-nél fekvő szöge 180°-α, mert csúcsszögpárt alkot az előbbi ATcMTb négyszög M-nél fekvő 180°- α nagyságú szögével.

3. A paralelogramma szemközti szögei egyenlők, tehát MBM’C paralelogrammában az M-mel szemközti M’ csúcsnál is 180°- α nagyságú szög található.

4. Mivel az ABM’C négyszögben két szemközti szög α és 180°- α nagyságú, teljesül rá a húrnégyszögekre vonatkozó tétel megfordítása, vagyis húrnégyszög. Ebből az következik, hogy az M’ pont az ABC háromszög köré írható körén van.

A másik két oldalfelező pontra történő bizonyítás hasonlóképpen történhet.

Matematikán kívüli:

A szimmetrikus négyszögek fontos szerepet játszanak az építészetben (pl. mozaikdíszítések, padlók) és a művészetben.

Mivel az erőhatásokat jelképező vektorok a paralelogramma módszer segítségével adhatók össze, a fizikában is fontos szerepet játszanak a szimmetrikus négyszögekkel kapcsolatos ismeretek.

A szilárdtest-fizika is támaszkodik a szimmetrikus négyszögekkel kapcsolatos ismeretekre a kristályszerkezetek felépítésének vizsgálatakor.

Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között [emeltmatek]

Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között

Definíciók:

A háromszög csúcsai: Három, nem egy egyenesbe eső pont.

A háromszög oldalai: A háromszög csúcsait összekötő szakaszok.

A háromszög belső szöge: A háromszög egyik csúcsából induló, a másik két csúcsot tartalmazó félegyenesek által bezárt szög.

Derékszögű háromszög: Olyan háromszög, aminek egyik belső szöge derékszög.

Befogó: A derékszögű háromszögben a derékszög melletti oldalakat befogóknak nevezzük.

Átfogó: A derékszögű háromszögben a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük.

Tételek:

1. Ha egy háromszögben van két egyenlő oldal, akkor az azokkal szemben fekvő szögek egyenlők.

Bizonyítás:

Kössük össze a harmadik oldal felezéspontját az egyenlő oldalak közös csúcsával! Ekkor a háromszöget két egybevágó háromszögre bontottuk. (Három oldaluk egyenlő.)
Egybevágó háromszögek megfelelő szögei egyenlők, a tételt bebizonyítottuk.

2. Ha egy háromszögben van két egyenlő szög, akkor az azokkal szemközti oldalak egyenlők.

Bizonyítás:

Indirekt módon bizonyítjuk, az előző tétellel kerülünk ellentmondásba.

3. Ha egy háromszögbe egyik oldal nagyobb, mint a másik, akkor az elsővel szemközti szög is nagyobb, mint a másodikkal szemközti.
a<baα<β

Bizonyítás:

Ha a<b, akkor a b oldalra felmérhetünk egy a hosszúságú szakaszt.
Így egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek alapon fekvő δ szöge kisebb, mint β.
Toljuk el a szaggatott vonalat α csúcsához! A keletkező szög ismét δ nagyságú, és nagyobb α-nál.
α<δ<β

4. Ha egy háromszögben van két különböző szög, akkor a nagyobb szöggel szemközt nagyobb oldal van.

α<βaa<b

Bizonyítás:

Ha α<β, akkor ismét létrehozhatunk egy egyenlő szárú háromszöget, melynek két alapn fekvő szöge α. Toljuk el a szaggatott vonalat a háromszög harmadik csúcsához! Így egy újabb egyenlő szárú háromszöget kapunk, amelynek két szára b hosszúságú, és nagyobb, mint a.

5. Pitagorasz-tétel:

A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.

Bizonyítás:

A befogótétel miatt:

6. Szinusztétel:
Bármely háromszögben bármely két oldal aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak az arányával.

Bizonyítás:

a) Hegyesszögű háromszög esetén:

A bal oldalak egyenlőségéből következik:

b) Tompaszögű háromszög esetén:

A bal oldalak egyenlőségéből következik:

Mivel , .
Mindkét esetben ugyanahhoz az összefüggéshez jutunk:

7. Koszinusztétel: Bármely háromszögben, bármely oldal négyzete megkapható úgy, hogy a másik két oldal négyzetösszegéből kivonjuk azt a háromtényezős szorzatot, amelynek tényezői a másik két oldal és a közbezárt szög koszinusza.

Bizonyítás:

Tekintsük a következő vektorokat!

8. Tangenstétel:
A háromszögben alkalmazva a szokásos jelöléseket, ha a≠b:

Alkalmazások:

Matematikai:

A háromszög oldalainak és szögeinek kiszámításánál.

Matematikán kívüli:

A fizika minden olyan területén használják ezeket az ismereteket, ahol vektorok összegzése, hajlásszögük kiszámítása a feladat.

A háromszögelésnél (tereppontok térbeli helyzetének meghatározása).

GPS (Global Positioning System)

Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei [emeltmatek]

Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei

Definíciók:

Oldalfelező merőleges: A háromszög oldalának szakaszfelező merőlegese.

Belső szögfelező: A háromszög egy belső szögének felező egyenese.

Magasságegyenes: A háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges egyenes.

Magasság: A magasságegyenes csúcs és oldal közé eső szakasza.

Külső szögfelező: A háromszög egyik külső szögének felező egyenese.

Súlyvonal: A háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezéspontjával összekötő szakasz.

Euler-egyenes: A háromszög magasságpontján és köré írt körének középpontján átmenő egyenes.

A háromszög középvonala: A háromszög két oldalának felezéspontját összekötő szakasz.

A háromszög köré írt kör középpontja: Annak a körnek a középpontja, amelynek a háromszög csúcsai pontjai.

A háromszögbe írt kör középpontja: Annak a körnek a középpontja ami érinti a háromszög minden oldalát.

A háromszög magasságpontja: A háromszög két magasságegyenesének metszéspontja.

A háromszög súlypontja: A háromszög két súlyvonalának metszéspontja.

A háromszöghöz írt kör középpontja: Olyan körnek a középpontja, ami érinti a háromszög egy oldalát és két oldalegyenesét a háromszög oldalán kívül.

A háromszög izogonális pontja: Olyan pont, melyből a háromszög oldalai egyenlő szög alatt látszanak.

A háromszög köré írt köre: Az a kör, amelynek a háromszög csúcsai pontjai.

A háromszögbe írt kör: Olyan kör, ami érinti a háromszög minden oldalát.

A háromszöghöz írt kör: Olyan kör, ami a háromszög egy oldalát és két oldalegyenesét a háromszög oldalán kívül érinti.

Feuerbach-kör (kilenc pont köre, Euler-kör): A háromszög oldalainak felezőpontjai által meghatározott háromszög köré írt köre.

Tételek:

A háromszög oldalainak felezõmerõlegesei egy pontban metszik egymást.

Legyen az ABC háromszög AB oldalának felezõmerõlegese e. Ennek minden pontja egyenlõ távolságra van A-tól és B-tõl.

A BC oldal felezõmerõlegese legyen f. Ennek minden pontja egyenlõ távolságra van B-tõl és C-tõl.

Mivel AB és BC metszi egymást, a felezõmerõlegeseik is metszik egymást, mert a metszõ egyenesekre merõlegesek.

A felezõmerõlegesek M metszéspontja egyenlõ távolságra van A-tól, B-tõl és C-tõl is, tehát rajta van az AC oldal felezõmerõlegesén is.

Az M metszéspont rajta van mindhárom felezõmerõlegesen, így egyenlõ távolságra van A, B és C csúcstól.

Tehát ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

A háromszög belsõ szögfelezõi egy pontban metszik egymást.

Mivel K ráesik az f-re, K egyenlõ távolságra van b-tõl és c-tõl.

Mivel K ráesik az f-re, K egyenlõ távolságra van a-tól és c-tõl.

Ezért K egyenlõ távolságra van a-tól és b-tõl, és ráesik a c szög szögfelezõ egyenesére is.

Mivel K egyenlõ távolságra van mindhárom oldaltól, ez a pont megfelel a háromszögbe írható kör középpontjának.

Minden háromszögnek van három hozzáírt köre.

Az előző tétel bizonyításához hasonlóan meg lehet mutatni, hogy a háromszög egy belső és két külső szögfelezője egy pontban metszi egymást. Ez a pont egyenlő távolságra van a háromszög oldalegyeneseitől.

A háromszög bármely két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont mindkét súlyvonalat 1:2 arányban osztja két részre, a nagyobbik rész másik végpontja a háromszög megfelelő csúcsa.

Az ABC háromszögben E az AC oldal, F a BC oldal felezőpontja. AF és BE a háromszög súlyvonalai. S pont a súlyvonalak metszéspontja, a háromszög súlypontja. Az EF szakasz a háromszög középvonala, tehát párhuzamos AB-vel és a szakasz hossza az AB oldal hosszának fele. A BEF és ABE szögek, illetve az AFE és FAB szögek váltószögek, tehát egyenlő nagyságúak. Ezért EFS és ABS háromszögek hasonlóak, tehát megfelelő oldalaik aránya egyenlő.

2∙EF=AB 2∙SF=AS 2∙SE=BS

A háromszög magasságegyenesei egy pontban metszik egymást.

C’B’||BC

C’A’||AC

A’B’||BA

ABA'C paralelogramma (szembelévõ oldalai párhuzamosak

CA' = AB

AC = BA'

Hasonlóan belátható, hogy:
B'C = AB
C'B = AC
B'A = CB
AC' = CB

Þ A, B, C az A'B'C' háromszög oldalfelezõ pontjai

Mc ^ AB és A'B' || AB Þ Mc ^ A'B'

Þ Mc az A'B'C' háromszög egyik oldalfelezõ merõlegese

Hasonló módon belátható, hogy Ma és Mb szintén oldalfelezõ merõlegesek.

Így az A'B'C' háromszög oldalfelezõ merõlegesei egybeesnek az ABC háromszög magasságvonalaival.

Mivel az oldalfelezõ merõlegesek egy pontban metszik egymást, az ABC háromszög magasságvonalai is.

Alkalmazások:

Matematikai:

A háromszög területe egyenlő a beírt kör sugarának és a félkerületnek a szorzatával.

A háromszög területe egyenlő a félkerület és egy oldal különbsége valamint az oldalhoz írt kör sugarának szorzatával.

Egyéb:

Egy homogén, vékony háromszög lemezt egy gombostű hegyén akarjuk egyensúlyozni. Hol támasszuk alá a tűvel, hogy ne essen le?

Három ház elektromos árammal történő ellátását egy oszlopról akarják megoldani. Hova állítsák az oszlopot, ha a lehető legkevesebb vezetéket akarják felhasználni.

Egy ismert oldalú, háromszög alaprajzú telken egy kör alaprajzú víztározót akarnak építeni. Mekkora lehet ennek a sugara?