Derékszögű háromszögek [emeltmatek]

Derékszögű háromszögek

Definíciók:

Derékszögű háromszög: olyan háromszög, amelynek van 90°-os szöge.

Befogó: a derékszöget közrefogó oldalakat nevezzük befogónak.

Átfogó: a derékszöggel szemközti oldal.

Magasságvonal, magasságegyenes: a háromszögnek egy csúcsából a szemközti oldalegyenesére bocsátott szakaszt (egyenest) a háromszög magasságának (magasságvonalának) nevezzük.
Derékszögű háromszögeknél a befogóhoz tartozó magasságok a másik befogóval egyeznek meg: .

Oldalfelező merőleges: azt az egyenest, amely egy szakasz felezőpontján halad át, és amely merőleges a szakaszra, a szakasz (oldal) felezőmerőlegesének nevezzük. (A szakasz felezőmerőlegese a szakasz két végpontjától egyenlő távol lévő pontok halmaza a síkon.)

Hegyesszögek szögfüggvényei:

Két háromszög hasonló, ha két szöge egyenlő. Hasonló háromszögekben az oldalak aránya egyenlő. Ebből következik, hogy bármely két derékszögű háromszög hasonló, ha egy hegyesszögük egyenlő. Ebben az esetben tehát oldalaik aránya egyenlő.

Ha a derékszögű háromszögben megváltoztatjuk az egyik hegyesszöget, akkor megváltozik az oldalak aránya, és fordítva, ha két derékszögű háromszögben az oldalak aránya eltérő, akkor azok nem hasonlóak, hegyesszögeik eltérőek.

Tehát a derékszögű háromszögekben az oldalak aránya jellemző a hegyesszögre, ezért ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük.

A derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó arányát a szög szinuszának nevezzük.

A derékszögű háromszögben a hegyesszög melletti befogó és az átfogó arányát a szög koszinuszának nevezzük.

A derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó arányát a szög tangensének nevezzük.

A derékszögű háromszögben a hegyesszög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó arányát a szög kotangensének nevezzük.

Tételek:

Magasságtétel:

Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja.

Bizonyítás

Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az m magasságra bizonyítjuk, hogy a BT (p) és az AT (q) mértani közepe. Az ATC és a CTB háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik merőleges szárú szögek, tehát egyenlők. A hasonlóság miatt megfelelő oldalaik aránya megegyezik.

Befogótétel:

Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának.

Bizonyítás

ill.

Pitagorasz-tétel:

A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.

Bizonyítás

A befogótétel miatt:

Thalész tétele

Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.

Bizonyítás

Vegyünk fel egy O középpontú kört, és annak egy AB átmérőjét, majd az A és a B pontokat kössük össze a kör egy tetszőleges C pontjával az ábra szerint.
OA=OC=r, tehát OAC háromszög egyenlő szárú, így .
OB=OC=r, tehát OBC háromszög egyenlő szárú, így .
A háromszög belső szögeinek összege 180°:

Thalész tételének megfordítása

Ha egy háromszög derékszögű, akkor a köré írható körének középpontja az átfogó felezőpontja.

Bizonyítás

Vegyünk fel egy ABC derékszögű háromszöget, és tükrözzük átfogójának felezőpontjára.
A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt BC=AC’ és AC’BC szögei 90°-osak (), tehát AC’BC téglalap. A téglalap átlói egyenlők és felezik egymást, így AF=FB=FC, vagyis F egyenlő távol van az ABC háromszög csúcsaitól, így a köré írható kör középpontja.

Alkalmazások:

Matematikai:

A matematikában a síkidomok magasságának kiszámításánál gyakran használjuk Pitagorasz tételét.

Testek térfogatának, felszínének kiszámításánál, megfelelő síkmetszetben.

Matematikán kívüli:

Fizikában az erők felbontásánál (vízszintes és függőleges komponensekre).

Forgatónyomatékok kiszámításánál, sebességek, mágneses indukcióvektor, térerősség felbontásánál.

Építészetben

Földmérésnél

A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában [emeltmatek]

A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában

Definíció: Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi.

Jelölése: A~B A alakzat hasonló B alakzathoz

Tulajdonságai:

Minden alakzat hasonló önmagához, azaz A~A

Ha A~B, akkor B~A

Ha A~B és B~C, akkor A~C

Definíció: A középpontos hasonlósági transzformáció és egybevágósági transzformáció egymás utáni végrehajtásával kapott transzformációkat hasonlósági transzformációknak nevezzük.

Ha a hasonlósági transzformáció egy λ arányú középpontos hasonlóság és egy egybevágósági transzformáció egymásutánja, akkor λ arányú hasonlósági transzformációról beszélünk.

Az egybevágósági transzformációk olyan hasonlósági transzformációk, amelyekre |λ|=1.

Ha λ=1, akkor identitás, ha λ=-1, akkor középpontos tükrözés.

Tulajdonságai:

A hasonlósági transzformáció egyenest egyenesbe transzformál.

A hasonlósági transzformáció szögtartó, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságú.

A λ arányú hasonlósági transzformáció esetén bármely A, B pontokra és A', B' képeikre teljesül, hogy A'B'/AB=|λ|

Definíció: Adott egy O pont és egy λ (O-tól különböző) valós szám. Az O középpontú, λ arányú középpontos hasonlósági transzformáció a sík egy tetszőleges, az O ponttól különböző P pontjához rendel egy P' pontot úgy, hogy P' az OP egyenes azon pontja, amelyre OP'=|λ|∙OP, és ha λ>0, akkor P' az OP félegyenes pontja, ha λ<0, p="O," p="P'.

Ha |λ|>1, akkor nagyításról, ha |λ|<1,>

Tulajdonságai:

Ha λ≠1, akkor a transzformáció egyetlen fixpontja az O középpont. Ha λ=1, akkor a tér minden pontja fixpont, azaz a transzformáció az identikus leképezés.

Az O középpontra illeszkedő egyenesek a transzformáció invariáns egyenesei. Ha λ≠1, akkor más invariáns egyenes nincs.

Bármely, az O középpontra nem illeszkedő egyenes képe az eredetivel párhuzamos, O-ra nem illeszkedő egyenes.

A középpontos hasonlóság szögtartó transzformáció, azaz bármely szög és a képe egyenlő nagyságúak.

A λ arányú középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének hossza az eredeti szakasz hosszának |λ|-szerese (aránytartó), azaz bármely A és B pontok esetén A'B'=|λ|∙AB.

A síkbeli középpontos hasonlóság nem változtatja meg az alakzatok körüljárási irányát, azaz irányítástartó.

Tétel: Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a következő feltételek egyike teljesül:

megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként egyenlő

két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és az ezek által közrefogott szögek nagysága egyenlő

két-két szögük páronként egyenlő nagyságú

két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemben levő szögek nagysága egyenlő.

Tétel: Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő, és megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak.

A következőkben néhány fontos tételt bizonyítunk be a hasonlóság alkalmazásával.

Tételek:

1. A háromszög bármely két súlyvonala úgy metszi egymást, hogy a metszéspont mindkét súlyvonalat 1:2 arányban osztja két részre, a nagyobbik rész másik végpontja a háromszög megfelelő csúcsa.

Az ABC háromszögben E az AC oldal, F a BC oldal felezőpontja. AF és BE a háromszög súlyvonalai. S pont a súlyvonalak metszéspontja, a háromszög súlypontja. Az EF szakasz a háromszög középvonala, tehát párhuzamos AB-vel és a szakasz hossza az AB oldal hosszának fele. A BEF és ABE szögek, illetve az AFE és FAB szögek váltószögek, tehát egyenlő nagyságúak. Ezért EFS és ABS háromszögek hasonlóak, tehát megfelelő oldalaik aránya egyenlő.

2∙EF=AB 2∙SF=AS 2∙SE=BS

2. Magasságtétel:
Derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja.

Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az m magasságra bizonyítjuk, hogy a BT (p) és az AT (q) mértani közepe. Az ATC és a CTB háromszögek hasonlóak, mert megfelelő szögeik merőleges szárú szögek, tehát egyenlők. A hasonlóság miatt megfelelő oldalaik aránya megegyezik.

3. Befogótétel:
Derékszögű háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete hosszának.

ill.

4. Pitagorasz-tétel:

A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.

A befogótétel miatt:

5. Két természetes szám számtani közepe nagyobb vagy egyenlő a mértani közepükkel.

Alkalmazás:

A hasonlóságot használják ki például a térképészetben is. Mivel Földünk megközelítőleg gömb alakú, geometriailag teljesen hű képét egy síkban torzítás nélkül elő nem állíthatjuk. A térkép készítésekor keresztülvihető az, hogy egy kívánt tulajdonság torzításmentes legyen, de csakis egy. A térkép lehet távolságtartó, ha a rajta ábrázolt távolságok a természetben levővel a térkép középpontjából sugarasan mérve egyformán arányosak; területtartó, ha a területek a térképen arányosak a valóságos területtel; szögtartó, ha a térképen rajzolt minden szög éppen akkora, mint a valóságban. Ezek közül síklapon egyszerre csak egy követelmény valósítható meg s a másik kettő akkor torzulást mutat.