Halmazok, halmazmûveletek, ezek bemutatása természetes számokkal kapcsolatos problémákon [emeltmatek]

Az 1870-es években G. Cantor (1845 -1918) a matematikának egy új fejezetét teremtette meg, ezt halmazelméletnek nevezzük. Ő a halmazokat úgy vizsgálta, hogy azokat függetlenítette elemeinek tulajdonságaitól, azoktól elvonatkoztatta. Az a gondolata, hogy a végtelen halmazok között is lehet értelmezni az "ugyanakkora", "kisebb", "nagyobb" fogalmakat, új utat nyitott a matematikában. A halmazelmélet azóta is fejlődik, fogalmai, eredményei a matematika különböző területein hasznosíthatók.

Fogalmak, definíciók:

1. Halmaz fogalmának körülírása
Üres halmaz: olyan halmaz, amelynek egyetlen eleme sincs.

Halmazok megadása:felsorolás, képlet, körülírás)


2. Részhalmaz, valódi részhalmaz fogalma

3. Műveletek halmazokkal
Unióképzés Metszetképzés

Két halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük, vagyis metszetük az üres halmaz.
Az unió disztributív a metszetre nézve:

A metszet disztributív az unióra nézve:

Különbségképzés
Komplementerhalmaz

De Morgan-azonosságok:

Szimmetrikus differencia

5. Számhalmazok
Természetes és egész számok
Racionális számok
Irracionális számok
Valós számok, számegyenes, halmazábra

6. Nevezetes ponthalmazok
Szakaszfelező merőleges, szögfelező
Kör és gömb
Parabola
Forgáskúppalást síkkal való metszetei

Tételek:

1. Egy n elemű véges halmaz részhalmazainak száma 2ⁿ.
Bizonyítás:
Mivel a halmaz elemeinek száma véges, sorszámozhatjuk az elemeket 1-től n-ig. Ha az i-edik elemet kiválasztjuk a részhalmazba, akkor ehhez az elemhez rendeljünk 1-et, ha nem, akkor 0-t. Így látható, hogy minden részhalmazhoz rendeltünk egy 0 és 1 számjegyekből álló n hosszúságú számsort, illetve minden számsorhoz tartozik egy részhalmaz, vagyis a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű (üres részhalmaznak a csak 0-ból álló, az eredeti halmaznak a csak 1-esből álló számsor felel meg). Az így képzett n hosszúságú számsorok száma 2ⁿ, tehát a részhalmazok száma is ennyi.

Bizonyítás

Alkalmazások:

Matematikai:
Függvények értelmezési tartománya, értékkészlete
Egyenlőtlenségrendszerek megoldása
Geometriai szerkesztések a mértani hely módszerével

Egyéb:
Adatok gyűjtése, rendszerezése
Biológiában a rendszertanban



Feladatok:
1.
Egy matematika versenyen 34-en indultak, ahol három feladatot tűztek ki. Mindenki megoldott legalább egy feladatot. Az elsőt 15-en, a másodikat 16-an, a harmadikat 25-en oldották meg helyesen. Mindhárom feladatot 4 versenyző tudta megoldani. Hány tanuló oldott meg pontosan két feladatot?
2.
Legyen A a rombuszok, B a téglalapok, C a deltoidok halmaza. Ezen halmazok segítségével írja fel a következő halmazokat!
a/ négyzetek halmaza
b/ azon rombuszok halmaza, amelyek nem négyzetek
c/ azon deltoidok halmaza, amelyek téglalapok
3.
Egy 39 főből álló kirándulócsoportról tudjuk, hogy tagjai közül
12-en jártak a Fátrában, 18-an a Mátrában, 16-an a Tátrában;
9-en jártak a Fátrában és Mátrában, 6-an a Fátrában és Tátrában, 7-en a Mátrában és Tátrában.
Hányan nem jártak a három hegység egyikében sem, ha négyen már mindhárom hegységben jártak?

származási hely: www.sulinet.hu Konfár László

Matematika emelt szintű érettségi tételek egy helyen [emeltmatek]

Az előbbi tételeknél felfigyelhettetek hiányosságokra. Amit a képek hiánya okoz. A word és a blogger.com közötti kompatibilitás hiányának eredménye. Ezt orvosolandóan elhelyeztem egy tárhelyen a tételek kidolgozását. Amit letölthettek az emelt szintű matematika érettségi tételek néven. Remélem sokak számára lesz hasznos.

Ha esetleg egyéb észrevételetek, kérésetek vagy bármilyen kérdésetek lenne, akkor keressétek fel az oldal hivatalos fórumát és írjátok le véleményeteket: Érettségi tételek és OKJ vizsga tételek fóruma.

Számhalmazok, halmazok számossága [emeltmatek]

A címben jelzett téma rendkívül nagy és összetett. Ebből következően az általunk említetendő tételek egy részének bizonyításával foglalkozunk csak ebben az írásban.

Tekintettel arra, hogy a vizsgázóknak 15 - 20 perc áll rendelkezésükre arra, hogy kifejtsék a vele kapcsolatos gondolataikat, mindenképpen válogatniuk kell az anyagból.

Semmiképpen sem szeretnénk azt a látszatot kelteni, hogy tudjuk azt, mi a célszerű vagy elvárt válogatás módja, ezért ezt a tételt három részre bontva dolgozzuk fel.
Az első, bevezető rész esetleg mindenki számára elfogatható lesz. A másik kettő pedig, két matematikai tudományágnak, a halmazelméletnek és az algebrának megfelelő továbblépést tartalmaz.

Az, hogy a vizsgázó ezek közül melyiket választja, vagy esetleg mindegyikből szemezget egy kicsit, az önálló döntése lehet.

Bevezető

Egy fontos dologra még fel kell hívni a figyelmet! A halmazelmélet axiomatikus felépítése a - történelem során fellépő - paradoxonok kezelése miatt vált szükségszerűvé.
Ennek köszönhetően tény, hogy az összes halmazok halmaza nem létezik. Ebből következően a tétel tárgyalása során csínján kell bánni az olyan fogalmakkal, mint a művelet, reláció, . . . , stb., amelyek halmazokon értelmezett hozzárendelések!


Definíciók:

1. Ekvivalens halmazok
Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha létezik közöttük bijekció (kölcsönösen egyértelmű ráképezés).

2. Véges halmaz
Egy halmaz véges, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem.

3. Végtelen halmaz
Egy halmaz végtelen, ha nem véges.

4. Halmazok számossága
Minden halmazhoz rendelünk egy számosságot oly módon, hogy az ekvivalens halmazok számossága egyenlő, és a nem ekvivalens halmazok számossága különböző.

5. Természetes számok
A véges halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

6. Pozitív egész számok
A természetes számok az üreshalmaz számossága kivételével.

7. Természetes számok összege
Legyen n és m két természetes szám. Legyenek N és M olyan diszjunkt halmazok , melyekre igaz, hogy az M számossága m, és az N számossága n. Az m+n a M és N halmazok egyesítésének a számossága.

8. Természetes számok szorzata
Legyen n és m két természetes szám. Legyenek N és M olyan halmazok, melyekre igaz, hogy az M számossága m, és az N számossága n. Az mn a M és N halmazok direktszorzatának a számossága.

9. Megszámlálhatóan végtelen halmaz
Azokat halmazokat, amelyek ekvivalensek a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük.

Tételek:

1. A halmazok ekvivalenciája reflexív, tranzitív és szimmetrikus.
Bizonyítás:
a) Alkalmazzuk a függvényt, ami egy halmaz minden elemének önmagát felelteti meg. Ez nyilvánvalóan bijekció, ezért a halmaz ekvivalens önmagával.

b)Ha két halmaz, A és B, ekvivalens, akkor létezik A->B bijekció. Tekintsük ennek inverzét, ez B->A bijekció. Ez azt jelenti, hogy B ekvivalens A-val, teljesül a szimmetrikusság feltétele.

c)Ha két halmaz, A és B, ekvivalens, akkor létezik A->B bijekció. Ha két halmaz, B és C, ekvivalens, akkor létezik B->C bijekció. Tekintsük e két bijekció szorzatát, ez nyilvánvalóan A->C bijekció. Teljesül a tranzitivitás.

2. A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve.
A bizonyítás a definíciók közvetlen alkalmazásával történhet.

3. A természetes számok halmazán az összeadás és a szorzás kommutatív és asszociatív, és a szorzás az összeadásra nézve disztributív.
A bizonyítások a definíciók közvetlen alkalmazásával és a halmazokkal végzett műveletek tulajdonságainak felhasználásával történhetnek.

4. A természetes számok halmaza végtelen halmaz
Bizonyítás:
A pozitív egész számok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának. Tekintsük azt a függvényt, aminek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, képhalmaza a pozitív egész számok halmaza, és a hozzárendelési szabálya az, hogy minden halmaz számossághoz hozzárendeli a halmaz és egy vele közös rész nélküli egyelemű halmaz egyesítésének a számosságát.
Ez a függvény bijekció, tehát a pozitív egész számok halmaza és a természetes számok halmaza ekvivalens.

Gyökvonás, gyökfüggvény [emeltmatek]

Definíciók:

1. Négyzetgyök definíciója

2. n-edik gyök definíciója
Ha a gyökkitevő páros szám - 2k (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely nemnegatív a valós szám 2k-adik gyöke olyan nemnegatív szám, amelynek 2k-adik hatványa a.
Ha a gyökkitevő páratlan szám - 2k+1 (k pozitív egész számot jelöl), akkor valamely a valós szám 2k+1-edik gyöke olyan szám, amelynek 2k+1-edik hatványa a.

3. Gyökfüggvények

hozzárendelési szabállyal megadott függvények tulajdonságai:

1. páratlan gyökkitevő esetén
• a függvény minden valós számra értelmezve van
• értékkészlete a valós számok halmaza
• szigorúan monton növekedő

2. páros gyökkitevő esetén
• a függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív számok halmaza
• értékkészlete a nemnegatív számok halmaza
• szigorúan monoton növekedő
• minimuma x= 0 helyen van, értéke 0

Tételek

1. A 2 négyzetgyöke irracionális.

2. Négyzetgyökvonás azonosságai:

3. n-edik gyökvonás azonosságai (Az alábbiakban minden páros kitevőjű gyök alatt csak nem negatív szám állhat!)

• Szorzat n-edik gyöke:

A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. A bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján ab. Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonosságai és a definíció alapján:

Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.

• Hányados n-edik gyöke:

A bizonyításhoz emeljük n-edik hatványra az egyenlőség mindkét oldalát. Bal oldal n-edik hatványa a definíció alapján

Jobb oldal n-edik hatványa a hatványozás azonossága és a definíció alapján:

Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és n-edik hatványai is egyenlők, igaz az egyenlőség.

• k-adik hatvány n-edik gyöke:

Pozitív egész k esetén a bal oldal átalakításával eljuthatunk a jobb oldalon álló kifejezéshez.

A bizonyítás negatív k egész esetén is hasonlóan történik.

• k-adik gyök n-edik gyöke:

A bal oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója és a hatványozás azonosságai alapján:

A jobb oldal nk-adik hatványa a gyökvonás definíciója alapján szintén a. Mivel eredetileg a bal és jobb oldal azonos előjelű, és nk-adik hatványa is egyenlő, igaz az egyenlőség.

Alkalmazások:

Matematikai:
• másod- és magasabbfokú egyenletek megoldása
• gyökös egyenletek megoldása
• mértani sorozatok

Egyéb:
• kamatszámítás
• inga lengésidejének meghatározása
• harmonikus rezgőmozgás körfrekvenciájanak kiszámítása

www.sulinet.hu Konfár László

Pozitív számok nevezetes közepei. Adatsokaságok jellemzői [emeltmatek]

Definíciók:

1. Nevezetes közepek
• Két pozitív szám számtani (vagy aritmetikai) közepének nevezzük a két szám összegének a felét:

• Két pozitív szám mértani (vagy geometriai) közepének nevezzük a két szám szorzatának négyzetgyökét:

• Két pozitív szám harmonikus közepének nevezzük a két szám reciprokából számított számtani közép reciprokát:

• Két pozitív szám négyzetes közepének nevezzük azt a számot, amelyet a két szám négyzetének számtani közepéből négyzetgyökvonással kapunk:

2. Statisztikai sokaság


3. Adatok rendszerezése


4. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés


5. Szórás


6. Átlag


7. Medián
Adatsokaság mediánja a nagyság szerint rendezett adatok közül a középső, ha az adatok száma páratlan, és ha az adatok száma páros, akkor a medián a két középső szám számtani közepe.


8. Módusz
A statisztikai sokaságban leggyakrabban előforduló érték a módusz.


Tételek:

Nevezetes közepek közötti összefüggések.

(Az egyenlőségek akkor és csak akkor teljesülnek, ha a=b.)

Bizonyítások:

▪ G(a;b)≤A(a;b)

▪ H(a;b)≤G(a;b)
Alkalmazzuk a már bizonyított számtani és mértani közép közötti összefüggést az 1/a illetve 1/b pozitív számokra, majd vegyük az egyenlőtlenség mindkét (pozitív) oldalának reciprokát.

▪ A(a;b)≤N(a;b)
A bizonyítandó egyenlőtlenség:

Az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, így a két oldal négyzetre emelése ekvivalens átalakítás, amelyből kapjuk, hogy:

Ez az állítás igaz, és mivel minden lépés megfordítható, a kiinduló állítás is igaz. Az utolsó egyenlőtlenségből következik, hogy egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a = b.

Alkalmazások:

Matematikai:
1. Szélsőérték feladatok megoldása.
2. Egyenlőtlenségek bizonyítása.

Egyéb:
1. Átlagsebesség meghatározása.
2. Véletlenszerű illetve reprezentatív mintavétel adatsokaságának jellemzése.

Feladatok:

1.
A Kaposvári KK előbbi felkészülési tornára benevezett csapata tagjainak magasságai a következők a műsorfüzet szerint: 187, 203, 190, 199, 210, 195, 200, 204, 198, 188, 207 cm. Számítsuk ki a magasságok szóródásának mérőszámait! (Terjedelem, abszolút átlagos eltérés, variancia, szórás.)

2.
Miért használunk többféle statisztikai középértéket! Mutassunk példákat, hogy mikor érdemes a móduszt, mediánt, maximumot, minimumot tekinteni.

3.
120 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkora területű téglalap alakú telket lehet körülkeríteni?

4.
Igazoljuk a következő egyenlőtlenséget!

www.sulinet.hu Konfár László

Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában [emeltmatek]

Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában

Teljes indukció:

Teljes indukcióval olyan állítást (sejtést) bizonyíthatunk, amely az n pozitív egész számoktól függ.

A bizonyítás lépései:

a) Az állításról (sejtésről) előzetesen ellenőrzéssel (megfigyeléssel) belátjuk, hogy az állítás igaz n=1-re.

b) Feltesszük, hogy az állítás valamely k pozitív egész számra igaz.

c) Megnézzük, hogy a k-ra feltételezett állításból következik-e, hogy k+1-re is igaz. Ha igaznak találjuk, akkor az állítás n-ről n+1-re „öröklődik”, azaz n=1-től kezdve minden pozitív egész számra igaz.

Tétel:

Az minden valós x helyen deriválható, és .

Bizonyítás: Teljes indukcióval

1)

2) Tegyük fel, hogy n=k-ra igaz:

3) Bizonyítsuk n=k+1-re az állítást!
Mivel , használhatjuk a szorzat deriválására vonatkozó szabályt:

A „skatulya-elv”

Ha n darab tárgyat k darab skatulyában helyezünk el, és n>k∙p, akkor biztosan lesz olyan skatulya, amelyikbe legalább p+1 darab tárgy kerül.

Egyszerű gráf:
Ha egy gráfban nincs sem párhuzamos él, sem hurokél, akkor azt egyszerű gráfnak nevezzük.

Tétel:

Bármely egyszerű gráfnak van legalább két egyenlő fokszámú pontja.

Tegyük fel, hogy egy n csúcsú gráf esetén minden csúcs különböző fokszámú.

Ekkor a fokszámok 0, 1, ..., n-1 lehetnek, ez pontosan n-féle különböző fokszám.

Figyeljük meg, hogy a 0 és az n-1 kizárják egymást, ugyanis ha valamelyik csúcs fokszáma n-1, az azt jelenti, hogy az összes többi csúccsal össze van kötve, míg a 0 fokszámú csúcs semelyik csúccsal, így ezzel sincsen összekötve. Ezzel ellentmondásra jutottunk.

Az előző gondolatmenetből adódóan tehát egy n csúcsú gráfban mindössze n-1-féle különböző fokszám lehet, így a skatulya-elvet használva megállapíthatjuk, hogy az n csúcs között az n-1-féle fokszámot nem tudjuk kiosztani oly módon, hogy minden csúcs fokszáma különböző legyen.

Indirekt feltevésünkből, miszerint van olyan egyszerű gráf, amelyben minden csúcs fokszáma különböző, önmagával ellentmondó következtetést vontunk le, tehát nem lehet a feltevésünk igaz. Ezzel a feltevés ellentétét, a feladat állítását igazoltuk.

Direkt bizonyítás:

Igaz állításokból indulva, helyes logikai következtetések alapján bizonyítjuk az állítást.

Tétel:

Pitagorasz-tétel:

A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével.

A befogótétel miatt:

Indirekt bizonyítás:

Az állítás tagadásának feltételezéséből, helyes logikai lépések során ellentmondásra jutunk.

Tétel:

A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra.

Vegyük fel az O középpontú kör egy érintőjét, és húzzuk meg az érintési ponthoz tartozó sugarat. Tegyük fel, hogy az e érintő és az OE sugár nem merőlegesek egymásra. Bocsássunk merőlegest az O középpontból az e érintőre, ennek talppontját jelöljük T-vel. Ez körön kívüli pont. Az OET derékszögű háromszög, a derékszög csúcspontja T, ezért a háromszögnek OE az átfogója. Ezzel ellentmondáshoz jutunk, mert OE=r és r

Tétel:

A irracionális szám.

A bizonyítás indirekt módon történik.

Tfh.: racionális szám, azaz felírható alakban, ahol a;bZ, b≠0, és (a;b)=1.

páros a is páros a

Tehát:

páros a is páros a (b is páros)

egyszerűsíthető 2-vel; nem teljesül az indirekt feltétel a irracionális szám