Friss tételek

Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben [emeltmatek]

Nevezetes ponthalmazok a síkban:

Szakaszfelező merőleges: a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.

Szögfelező: két adott, metsző egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban.

Középpárhuzamos: két párhuzamos egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon

Két, egy adott egyenessel párhuzamos egyenes: az adott egyenestől egyenlő távolságokra lévő pontok halmaza a síkban.

A háromszögek nevezetes vonalai és pontjai:

Háromszög köré írható köre: az a kör, amely tartalmazza az adott háromszög mindhárom csúcsát (középpontja az oldalfelezők metszéspontja).

Háromszög beírható köre: a háromszög belsejében található kör, mely mindhárom oldalt belülről érinti (középpontja a szögfelezők metszéspontja).

Magasságvonal, magasságegyenes: a háromszögnek egy csúcsából a szemközti oldalegyenesére bocsátott szakaszt (egyenest) a háromszög magasságának (magasságvonalának) nevezzük.

Oldalfelező merőleges: azt az egyenest, amely egy szakasz felezőpontján halad át, és amely merőleges a szakaszra, a szakasz (oldal) felezőmerőlegesének nevezzük. (A szakasz felezőmerőlegese a szakasz két végpontjától egyenlő távol lévő pontok halmaza a síkon.)

Nevezetes ponthalmazok a térben:

Gömbfelület: egy adott O ponttól megadott r távolságban lévő pontok halmaza a térben.

Gömbtest: egy adott O ponttól r távolságnál nem nagyobb távolságra lévő pontok halmaza a térben.

Végtelen felületű hengerpalást: egy adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben.

Szakaszfelező merőleges sík: azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak

Szögfelező sík: azoknak a pontoknak a halmaza a térben, amelyek két metszősíktól egyenlő távolságban vannak.

Kocka: olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő hosszú.

Hasáb: olyan test, amelyet két egybevágó és párhuzamos sokszög, és annyi paralelogramma határol, ahány oldala van a sokszögnek.

Gúla: olyan test, amelyet egy sokszöglap, és annyi egy csúcsban összefutó háromszöglap határol, ahány oldala van a sokszögnek.

Kúp: olyan test, amelyet egy zárt vezérgörbéjű kúpfelület és egy – e kúpfelület minden alkotóját átmetsző – sík határol.

Tételek:

A háromszög oldalfelezői egy pontban metszik egymást.

A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás

Húzzuk meg az ABC háromszög A és B csúcsából induló szögfelezőit.

Ezek biztosan metszik egymás a háromszög belsejében, mert az A-nál és B-nél lévő szögek összege kevesebb, mint 180°.

Metszéspontjukat jelöljük M-mel!

M illeszkedik az A csúcsból induló szögfelezőre, ezért M ugyanakkora távolságra van a b oldaltól, mint a c oldaltól.

M illeszkedik az B csúcsból induló szögfelezőre, ezért M ugyanakkora távolságra van az a oldaltól, mint a c oldaltól.


Tehát az M pont ugyanakkora távolságra van az a és a b oldalaktól.

Azok a pontok, amelyek egyenlő távolságra vannak az a és a b oldalaktól, rajta vannak a C csúcsból induló szögfelezőn.

Igazoltuk, hogy a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást.

A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög beírt körének középpontja.

Bizonyítás

Előző tételünkből tudjuk, hogy M ugyanakkora távolságra van mindhárom oldaltól, ezért az M pont mint középpont köré szerkeszthető olyan kör, amely a háromszög mindhárom oldalát érinti.

A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.

Bizonyítás

A mellékelt ABC háromszögben az A csúcsnál lévő α szög felezője a szemközti oldalt a D csúcsban metszi.

A bizonyítandó állítás:

Hosszabbítsuk meg az AB=c oldal egyenesét A csúcson túl.

Forgassuk le erre az AC=b oldalt az A pont körül. Így kapjuk a C' pontot.

Kössük össze a kapott C' pontot a háromszög C csúcsával. Vizsgáljuk meg az AC'C háromszöget!

AZ AC'C háromszög egyenlőszárú, hiszen AC'=AC, ezért . Mivel külső szöge az ABC háromszögnek, ezért , így .

Mivel és C'A és AB egy egyenesbe esik, ezért CC’ párhuzamos AD-vel.

A párhuzamos szelők tétele szerint .

Mivel C'A=AC, így az arány .

Ezt kellett bizonyítani.

Alkalmazások:

Matematikai:

* geometriában

Matematikán kívüli:

* parabola antenna

* naperőműveknél: parabola alakú tükör

* reflektorok

* fizikában: a Földről fellőtt rakéták, űrhajók pályája:

* A rakéta pályája lehet olyan ellipszis, melynek a fellövési helytől számított távolabbi fókuszpontja a Föld középpontja.

* A műhold pályája lehet kör.

* Az űrhajó pályája lehet olyan ellipszis, melynek a fellövési helytől számított közelebbi fókuszpontja a Föld középpontja.

* A rakéta pályája lehet olyan hiperbola, amelynek egyik fókuszpontja a Föld középpontja.

Share this:

Megjegyzés küldése

 
Copyright © 2007- Érettségi vizsga tételek gyűjteménye. Designed by OddThemes | Distributed By Gooyaabi Templates